Поперечный (геометрия) - Transversal (geometry)

В геометрия, а поперечный это линия который проходит через две строки в одном самолет в двух разных точки. Поперечные сечения играют роль в установлении того, есть ли две другие линии в Евклидова плоскость находятся параллельно. Пересечения трансверсали с двумя линиями образуют пары углов разных типов: последовательные внутренние углы, соответствующие углы, и альтернативные углы. Как следствие Евклидова параллельный постулат, если две прямые параллельны, последовательные внутренние углы равны дополнительный, соответствующие углы равны, а альтернативные углы равны.


Восемь углов трансверсали. (Вертикальные углы Такие как ${displaystyle alpha}$ и ${displaystyle gamma}$ всегда конгруэнтны.)		Поперечный между непараллельными линиями. Последовательные углы не являются дополнительными.	Поперечный между параллельными линиями. Последовательные углы являются дополнительными.

Углы поперечного

Трансверсаль дает 8 углов, как показано на графике слева вверху:

4 с каждой из двух линий, а именно α, β, γ и δ, а затем α₁, β₁, γ₁ и δ₁; и
4 из которых интерьер (между двумя линиями), а именно α, β, γ₁ и δ₁ и 4 из которых внешний вид, а именно α₁, β₁, γ и δ.

Трансверсаль, разрезающая две параллельные линии на прямые углы называется перпендикулярно поперечный. В этом случае все 8 углов прямые. ^[1]

Когда линии параллельно, случай, который часто рассматривается, трансверсаль дает несколько конгруэнтный и несколько дополнительные углы. Некоторые из этих пар углов имеют определенные названия и обсуждаются ниже:^[2]^[3]соответствующие углы, альтернативные углы и последовательные углы.

Альтернативные углы

Одна пара альтернативных углов. С параллельными линиями они совпадают.

Альтернативные углы - это четыре пары углов, которые:

иметь четкие вершина точки,
лежат по разные стороны от поперечной и
оба угла являются внутренними или оба угла являются внешними.

Если два угла одной пары совпадают (равны по мере), то углы каждой из других пар также совпадают.

Предложение 1.27 Евклида Элементы, теорема абсолютная геометрия (следовательно, действует как в гиперболический и Евклидова геометрия ), доказывает, что если углы пары альтернативных углов трансверсали конгруэнтны, то две прямые параллельны (не пересекаются).

Из Евклида следует параллельный постулат что если две прямые параллельны, то углы пары чередующихся углов трансверсали совпадают (предложение 1.29 Евклида Элементы).

Соответствующие углы

Одна пара соответствующих углов. С параллельными линиями они совпадают.

Соответствующие углы - это четыре пары углов, которые:

имеют различные точки вершин,
лежать по одну сторону от поперечной и
один угол внутренний, а другой внешний.

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда два угла любой пары соответствующих углов любой трансверсали конгруэнтны (равны по мере).

Предложение 1.28 Евклида Элементы, теорема абсолютная геометрия (следовательно, действует как в гиперболический и Евклидова геометрия ), доказывает, что если углы пары соответствующих углов трансверсали конгруэнтны, то две прямые параллельны (не пересекаются).

Из Евклида следует параллельный постулат что если две прямые параллельны, то углы пары соответствующих углов трансверсали совпадают (предложение 1.29 Евклида Элементы).

Если углы одной пары соответствующих углов совпадают, то углы каждой из других пар также совпадают. На различных изображениях с параллельными линиями на этой странице соответствующие пары углов: α = α₁, β = β₁, γ = γ₁ и δ = δ₁.

Последовательные внутренние углы

Одна пара последовательных углов. С параллельными линиями они в сумме дают два прямые углы

Последовательные внутренние углы - это две пары углов, которые:^[4]^[2]

имеют различные точки вершин,
лежать по одну сторону от поперечной и
оба внутренние.

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда два угла любой пары последовательных внутренних углов любой трансверсали являются дополнительными (в сумме равны 180 °).

Предложение 1.28 Евклида Элементы, теорема абсолютная геометрия (следовательно, действует как в гиперболический и Евклидова геометрия ), доказывает, что если углы пары последовательных внутренних углов являются дополнительными, то эти две прямые параллельны (не пересекаются).

Из Евклида следует параллельный постулат что если две прямые параллельны, то углы пары последовательных внутренних углов трансверсали являются дополнительными (предложение 1.29 Евклида Элементы).

Если одна пара последовательных внутренних углов является дополнительной, другая пара также является дополнительной.

Другие характеристики трансверсалей

Если три прямые в общем положении образуют треугольник, затем разрезаются трансверсалью, длины шести полученных отрезков удовлетворяют условию Теорема Менелая.

Связанные теоремы

Евклид формулировка параллельный постулат может быть выражено в терминах трансверсали. В частности, если внутренние углы на одной стороне трансверсали меньше двух прямых углов, линии должны пересекаться. Фактически, Евклид использует ту же фразу на греческом языке, которая обычно переводится как «поперечный».^[5]

Предложение 27 Евклида гласит, что если трансверсаль пересекает две прямые, так что чередующиеся внутренние углы конгруэнтны, то прямые параллельны. Евклид доказывает это от противного: Если линии не параллельны, они должны пересекаться, и образуется треугольник. Тогда один из альтернативных углов является внешним углом, равным другому углу, который является противоположным внутренним углом в треугольнике. Это противоречит предложению 16, которое гласит, что внешний угол треугольника всегда больше, чем противоположные внутренние углы.^[6]^[7]

Предложение Евклида 28 расширяет этот результат двумя способами. Во-первых, если трансверсаль пересекает две прямые, так что соответствующие углы совпадают, то прямые параллельны. Во-вторых, если трансверсаль пересекает две прямые, так что внутренние углы на одной стороне трансверсали являются дополнительными, то прямые параллельны. Они следуют из предыдущего предложения, если применить тот факт, что противоположные углы пересекающихся прямых равны (Предложение 15) и что смежные углы на прямой являются дополнительными (Предложение 13). Как отмечает Прокл Евклид дает только три из шести возможных таких критериев для параллельных прямых.^[8]^[9]

Предложение 29 Евклида является обратным двум предыдущим. Во-первых, если трансверсаль пересекает две параллельные прямые, то альтернативные внутренние углы конгруэнтны. Если нет, то один угол больше другого, что означает, что его добавка меньше, чем добавка другого угла. Это означает, что есть внутренние углы на одной стороне трансверсали, которые меньше двух прямых углов, что противоречит пятому постулату. Предложение продолжается, утверждая, что на трансверсале двух параллельных прямых соответствующие углы совпадают, а внутренние углы на одной стороне равны двум прямым углам. Эти утверждения следуют так же, как предложение 28 следует из предложения 27.^[10]^[11]

Доказательство Евклида существенно использует пятый постулат, однако современные трактовки геометрии используют Аксиома Playfair вместо. Чтобы доказать предложение 29 в предположении аксиомы Плейфэра, пусть трансверсаль пересекает две параллельные прямые и предположим, что чередующиеся внутренние углы не равны. Проведите третью линию через точку, где трансверсаль пересекает первую линию, но под углом, равным углу, который образует трансверсаль со второй линией. В результате через точку проходят две разные линии, обе параллельны другой прямой, что противоречит аксиоме.^[12]^[13]

В высших измерениях

В пространствах с более высокой размерностью линия, которая пересекает каждую из множества линий в различных точках, является поперечный этого набора строк. В отличие от двумерного (плоского) случая наличие трансверсалей не гарантируется для наборов из более чем двух прямых.

В евклидовом трехмерном пространстве a Regulus это набор косые линии, $р$ , так что через каждую точку на каждой строке $р$ , проходит пересечение $р$ и через каждую точку пересечения $р$ проходит линия $р$ . Набор трансверсалей регуляра $р$ также является регулятором, называемым противоположный регулятор, $р о$ . В этом пространстве три взаимно наклонных линии всегда можно продолжить до регуля.