Конгруэнтность (геометрия) - Congruence (geometry)

Пример конгруэнтности. Два треугольника слева равны, а третий - похожий им. Последний треугольник не совпадает и не похож ни на один из остальных. Конгруэнтность позволяет изменять некоторые свойства, такие как местоположение и ориентацию, но оставляет другие неизменными, например расстояния и углы. Неизмененные свойства называются инварианты.

В геометрия, две фигуры или предметы конгруэнтный если у них то же самое форма и размер, или если он имеет ту же форму и размер, что и зеркальное изображение другого.^[1]

Более формально, два набора точки называются конгруэнтный тогда и только тогда, когда одно может быть преобразовано в другое изометрия, т.е. комбинация жесткие движения, а именно перевод, а вращение, а отражение. Это означает, что любой объект можно перемещать и отражать (но не изменять размер) так, чтобы он точно совпадал с другим объектом. Таким образом, две отдельные плоские фигуры на листе бумаги являются конгруэнтными, если мы можем вырезать их, а затем полностью сопоставить. Переворачивание бумаги разрешено.

Эта диаграмма иллюстрирует геометрический принцип конгруэнтности треугольника угол-угол-сторона: для данного треугольника ABC и треугольника A'B'C 'треугольник ABC конгруэнтен треугольнику A'B'C' тогда и только тогда, когда: угол CAB конгруэнтен углу C'A'B ', а угол ABC конгруэнтен углу A'B'C', а BC конгруэнтен B'C '.

В элементарной геометрии слово конгруэнтный часто используется следующим образом.^[2] Слово равный часто используется вместо конгруэнтный для этих объектов.

Два отрезки линии конгруэнтны, если имеют одинаковую длину.
Два углы конгруэнтны, если имеют одинаковую меру.
Два круги конгруэнтны, если они имеют одинаковый диаметр.

В этом смысле, две плоские фигуры совпадают означает, что их соответствующие характеристики являются «конгруэнтными» или «равными», включая не только их соответствующие стороны и углы, но также их соответствующие диагонали, периметры и площади.

Родственная концепция сходство применяется, если объекты имеют одинаковую форму, но не обязательно имеют одинаковый размер. (В большинстве определений конгруэнтность рассматривается как форма подобия, хотя меньшинство требует, чтобы объекты имели разные размеры, чтобы считаться подобными.)

Определение конгруэнтности многоугольников

Оранжевый и зеленый четырехугольники совпадают; синий им не соответствует. У всех троих одинаковые периметр и площадь. (Порядок сторон синего четырехугольника «смешанный», в результате два внутренних угла и одна диагональ не совпадают.)

Для того чтобы два многоугольника были конгруэнтными, они должны иметь равное количество сторон (и, следовательно, равное количество - то же количество - вершин). Два многоугольника с п стороны конгруэнтны тогда и только тогда, когда каждая из них имеет численно идентичные последовательности (даже если по часовой стрелке для одного многоугольника и против часовой стрелки для другого) сторона-угол-сторона-угол -... для п стороны и п углы.

Конгруэнтность многоугольников можно установить графически следующим образом:

Сначала сопоставьте и пометьте соответствующие вершины двух фигур.
Во-вторых, нарисуйте вектор от одной из вершин одной из фигур к соответствующей вершине другой фигуры. Переведите первая фигура по этому вектору, чтобы эти две вершины совпадали.
В третьих, вращать переведенная фигура о совмещенной вершине, пока одна пара соответствующие стороны совпадения.
В-четвертых, отражать повернутая фигура около этой совпадающей стороны, пока цифры не совпадут.

Если в какой-то момент шаг не может быть завершен, многоугольники не совпадают.

Конгруэнтность треугольников

Два треугольники конгруэнтны, если соответствующие им стороны равны по длине, а соответствующие им углы равны по мере.

Если треугольник ABC конгруэнтен треугольнику DEF, математически это соотношение можно записать как:

{displaystyle riangle mathrm {ABC} cong riangle mathrm {DEF}.}

Во многих случаях достаточно установить равенство трех соответствующих частей и использовать один из следующих результатов, чтобы вывести конгруэнтность двух треугольников.

Форма треугольника определяется с точностью до конгруэнтности путем указания двух сторон и угла между ними (SAS), двух углов и стороны между ними (ASA) или двух углов и соответствующей смежной стороны (AAS). Однако указание двух сторон и прилегающего угла (SSA) может дать два различных возможных треугольника.

Определение конгруэнтности

Достаточно доказательств соответствия между двумя треугольниками в Евклидово пространство можно показать с помощью следующих сравнений:

SAS (Сторона-угол-Сторона): если две пары сторон двух треугольников равны по длине, а включенные углы равны при измерении, то треугольники совпадают.
SSS (Сторона-Сторона-Сторона): если три пары сторон двух треугольников равны по длине, то треугольники совпадают.
КАК (Угол-Сторона-Угол): Если две пары углов двух треугольников равны по размеру, а включенные стороны равны по длине, то треугольники равны.

Постулат ASA внесен Фалес Милетский (Греческий). В большинстве систем аксиом три критерия - SAS, SSS и ASA - устанавливаются как теоремы. в Школьная группа по изучению математики система SAS принимается за один (# 15) из 22 постулатов.

ААС (Угол-угол-сторона): если две пары углов двух треугольников равны по размеру, и пара соответствующих не включенных сторон равны по длине, то треугольники совпадают. AAS эквивалентен условию ASA тем фактом, что если заданы любые два угла, то это же и третий угол, поскольку их сумма должна составлять 180 °. ASA и AAS иногда объединяются в одно состояние, AAcorrS - любые два угла и соответствующая сторона.^[3]
RHS (Прямоугольная сторона гипотенузы), также известная как HL (Гипотенуза-Нога): если два прямоугольных треугольника имеют гипотенузы одинаковой длины, а пара более коротких сторон равны по длине, то треугольники равны.

Боковой угол

Условие SSA (side-side-angle), которое определяет две стороны и невключенный угол (также известный как ASS, или angle-side-side) само по себе не доказывает совпадения. Чтобы продемонстрировать соответствие, требуется дополнительная информация, такая как измерение соответствующих углов и в некоторых случаях длины двух пар соответствующих сторон. Есть несколько возможных случаев:

Если два треугольника удовлетворяют условию SSA, а длина стороны, противоположной углу, больше или равна длине соседней стороны (SSA, или длинная сторона-короткий боковой угол), то эти два треугольника совпадают. Противоположная сторона иногда длиннее, когда соответствующие углы острые, но она всегда длиннее, когда соответствующие углы прямые или тупые. Если угол является прямым углом, также известный как постулат гипотенузы (HL) или условие прямоугольной стороны гипотенузы (RHS), третья сторона может быть вычислена с использованием Теорема Пифагора тем самым позволяя применить постулат SSS.

Если два треугольника удовлетворяют условию SSA, а соответствующие углы являются острыми, а длина стороны, противоположной углу, равна длине смежной стороны, умноженной на синус угла, то два треугольника конгруэнтны.

Если два треугольника удовлетворяют условию SSA и соответствующие углы являются острыми и длина стороны, противоположной углу, больше, чем длина смежной стороны, умноженная на синус угла (но меньше длины соседней стороны), тогда нельзя показать, что два треугольника конгруэнтны. Это двусмысленный случай и два разных треугольника могут быть сформированы из данной информации, но дополнительная информация, позволяющая различать их, может привести к доказательству соответствия.

Угол-угол-угол

В евклидовой геометрии AAA (угол-угол-угол) (или просто AA, поскольку в евклидовой геометрии углы треугольника в сумме составляют 180 °) не предоставляет информации о размере двух треугольников и, следовательно, доказывает только сходство а не конгруэнтность в евклидовом пространстве.

Однако в сферическая геометрия и гиперболическая геометрия (где сумма углов треугольника зависит от его размера) AAA достаточно для сравнения на заданной кривизне поверхности.^[4]

CPCTC

Этот акроним означает Соответствующие части конгруэнтных треугольников конгруэнтны сокращенный вариант определения конгруэнтных треугольников.^[5]^[6]

Более подробно, это краткий способ сказать, что если треугольники $ABC$ и $DEF$ конгруэнтны, то есть

{displaystyle riangle ABCcong riangle DEF,}

с соответствующими парами углов при вершинах $А$ и $D$ ; $B$ и $E$ ; и $C$ и $F$ , а с соответствующими парами сторон $AB$ и $DE$ ; $до н.э$ и $EF$ ; и $CA$ и $FD$ , то верны следующие утверждения:

{displaystyle {overline {AB}} cong {overline {DE}}}

{displaystyle {overline {BC}} cong {overline {EF}}}

{displaystyle {overline {AC}} cong {overline {DF}}}

{displaystyle angle BACcong angle EDF}

{displaystyle angle ABCcong angle DEF}

{displaystyle angle BCAcong angle EFD.}

Утверждение часто используется в качестве обоснования в доказательствах элементарной геометрии, когда требуется заключение о конгруэнтности частей двух треугольников после того, как конгруэнтность треугольников была установлена. Например, если два треугольника конгруэнтны SSS критерии и утверждение, что соответствующие углы конгруэнтны, необходимо в доказательстве, тогда CPCTC может использоваться как обоснование этого утверждения.

Связанная теорема CPCFC, в котором «треугольники» заменены на «фигуры», так что теорема применима к любой паре полигоны или же многогранники которые совпадают.

Определение конгруэнтности в аналитической геометрии

В Евклидова система, соответствие фундаментально; это аналог равенства для чисел. В аналитическая геометрия, конгруэнтность может быть определена интуитивно так: два отображения фигур в одну декартову систему координат конгруэнтны тогда и только тогда, когда любой две точки в первом отображении, Евклидово расстояние между ними равно евклидову расстоянию между соответствующими точками во втором отображении.

Более формальное определение гласит, что два подмножества А и B из Евклидово пространство р^п называются конгруэнтными, если существует изометрия ж : р^п → р^п (элемент Евклидова группа E(п)) с ж(А) = B. Конгруэнтность - это отношение эквивалентности.

Конгруэнтные конические сечения

Два конических участка совпадают, если их эксцентриситет и еще один отличительный параметр, характеризующий их, равны. Их эксцентриситет определяет их формы, равенства которых достаточно для установления сходства, а второй параметр затем устанавливает размер. С двух круги, параболы, или же прямоугольные гиперболы всегда имеют одинаковый эксцентриситет (в частности, 0 в случае кругов, 1 в случае парабол и ${displaystyle {sqrt {2}}}$ в случае прямоугольных гипербол) две окружности, параболы или прямоугольные гиперболы должны иметь только одно другое общее значение параметра, определяющее их размер, чтобы они были конгруэнтными.

Конгруэнтные многогранники

Для двух многогранники с таким же номером E ребер, такое же количество лица, и такое же количество сторон на соответствующих гранях, существует набор не более E измерения, которые могут установить, конгруэнтны ли многогранники.^[7]^[8] За кубики, которые имеют 12 граней, необходимо только 9 измерений.

Конгруэнтные треугольники на сфере

Как и в случае плоских треугольников, на сфере два треугольника, разделяющие одну и ту же последовательность угол-сторона-угол (ASA), обязательно конгруэнтны (то есть у них есть три одинаковые стороны и три одинаковых угла).^[9] Это можно увидеть следующим образом: можно разместить одну из вершин с заданным углом на южном полюсе и провести сторону с заданной длиной вверх по нулевому меридиану. Знание обоих углов на обоих концах сегмента фиксированной длины гарантирует, что две другие стороны исходят с однозначно определенной траекторией и, таким образом, встретятся друг с другом в однозначно определенной точке; таким образом, ASA действительна.

Теоремы сравнения сторона-угол-сторона (SAS) и сторона-сторона-сторона (SSS) также верны для сферы; кроме того, если два сферических треугольника имеют одинаковую последовательность угол-угол-угол (AAA), они конгруэнтны (в отличие от плоских треугольников).^[9]

Теорема сравнения плоскость-треугольник угол-угол-сторона (AAS) не верна для сферических треугольников.^[10] Как и в плоской геометрии, боковой угол (SSA) не подразумевает конгруэнтности.

Обозначение

Обычно для сравнения используется символ равенства с тильда над ним, ≅, соответствующий Unicode символ «примерно равно» (U + 2245). В Великобритании трехбалочный знак равенства ≡ (U + 2261) иногда используется.

Смотрите также

CPCTC (Соответствующие части конгруэнтных треугольников равны)
Изометрия евклидовой плоскости
Изометрия

внешняя ссылка

ССС в Разрезать узел
SSA в Разрезать узел
Интерактивная анимация, демонстрирующая Конгруэнтные многоугольники, Конгруэнтные углы, Конгруэнтные отрезки линии, Конгруэнтные треугольники в Math Open Reference

[1] Clapham, C .; Николсон, Дж. (2009). «Оксфордский краткий математический словарь, конгруэнтные числа» (PDF). Эддисон-Уэсли. п. 167. Архивировано 29 октября 2013 года.. Получено 2 июн 2017.CS1 maint: BOT: статус исходного URL-адреса неизвестен (связь)

[2] «Конгруэнтность». Открытый справочник по математике. 2009 г.. Получено 2 июн 2017.

[3] Парр, Х. Э. (1970). Повторный курс школьной математики. Учебники математики второе издание. G Bell and Sons Ltd. ISBN 0-7135-1717-4.

[4] Корнел, Антонио (2002). Геометрия для средней школы. Учебники математики второе издание. Bookmark Inc. ISBN 971-569-441-1.

[5] Джейкобс, Гарольд Р. (1974), Геометрия, W.H. Фримен, стр. 160, ISBN 0-7167-0456-0 Джейкобс использует небольшую вариацию фразы

[6] «Конгруэнтные треугольники». Записки Клиффа. Получено 2014-02-04.

[7] Борисов Александр; Дикинсон, Марк; Гастингс, Стюарт (март 2010). «Задача конгруэнтности для многогранников». Американский математический ежемесячный журнал. 117: 232–249. arXiv:0811.4197. Дои:10.4169 / 000298910X480081.

[8] Крич, Алекса. "Проблема конгруэнтности" (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) 11 ноября 2013 г.

[Bolin-9] а ^б Болин, Майкл (9 сентября 2003 г.). «Исследование сферической геометрии» (PDF). С. 6–7.

[10] Холлиер, Л. «Слайд 89 из 112».

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]