Лицо (геометрия) - Face (geometry)

В сплошная геометрия, а лицо это квартира (планарный ) поверхность, составляющая часть границы твердого объекта;^[1] трехмерное тело, ограниченное исключительно гранями, есть многогранник.

В более технических трактовках геометрии многогранников и многомерных многогранники, этот термин также используется для обозначения элемента любой размерности более общего многогранника (в любом количестве измерений).^[2]

Многоугольное лицо

В элементарной геометрии лицо это многоугольник^{[примечание 1]} на границе многогранник.^[2][3] Другие названия многоугольного лица включают: сторона многогранника и плитка евклидовой плоскости мозаика.

Например, любой из шести квадраты это ограничивало куб это грань куба. Иногда "лицо" также используется для обозначения двухмерных черт 4-многогранник. В этом смысле четырехмерный тессеракт имеет 24 квадратных лица, каждое делит два из 8 кубический клетки.

Регулярные примеры от Символ Шлефли

Многогранник	Звездный многогранник	Евклидова мозаика	Гиперболическая мозаика	4-многогранник
{4,3}	{5/2,5}	{4,4}	{4,5}	{4,3,3}
В куб имеет 3 квадрата лица на вершину.	В малый звездчатый додекаэдр имеет 5 пентаграмматический граней на вершину.	В квадратная черепица в евклидовой плоскости имеет 4 квадрата лица на вершину.	В квадратная черепица порядка 5 имеет 5 квадратных лица на вершину.	В тессеракт имеет 3 квадрата лица за край.

Количество многоугольных граней многогранника

Любые выпуклый многогранник поверхность имеет Эйлерова характеристика

${\displaystyle V-E+F=2,}$

где V это количество вершины, E это количество края, и F количество лиц. Это уравнение известно как Формула многогранника Эйлера. Таким образом, количество граней на 2 больше, чем превышение количества ребер над количеством вершин. Например, куб имеет 12 ребер и 8 вершин, а значит, 6 граней.

k-лицо

В многомерной геометрии грани многогранник особенности всех размеров.^[2][4][5] Лицо измерения k называется k-лицо. Например, многоугольные грани обычного многогранника - это 2-грани. В теория множеств, набор граней многогранника включает сам многогранник и пустое множество, где пустое множество предназначено для согласованности с учетом «размерности» -1. Для любого п-полигон (п-мерный многогранник), −1 ≤ k ≤ п.

Например, с таким значением лица куб составляют сам куб (3-гранный), его (квадрат) грани (2-грани), (линейные) ребра (1-грани), (точечные) вершины (0-грани) и пустое множество. Ниже приведены лица из 4-мерный многогранник:

• 4-гранный - 4-х мерный 4-многогранник сам
• 3-гранный - 3-х мерный клетки (многогранник лица)
• 2-гранный - 2-мерный гребни (многоугольный лица)
• 1-лица - 1-мерные края
• 0-лица - 0-мерные вершины
• пустое множество, имеющее размерность -1

В некоторых областях математики, таких как многогранная комбинаторика, многогранник по определению выпуклый. Формально грань многогранника п это пересечение п с любым закрыто полупространство граница которого не пересекается с внутренностью п.^[6] Из этого определения следует, что множество граней многогранника включает сам многогранник и пустое множество.^[4][5]

В других областях математики, таких как теории абстрактные многогранники и звездные многогранники, требование выпуклости ослаблено. Абстрактная теория по-прежнему требует, чтобы набор граней включал сам многогранник и пустое множество.

Сотовый или 3-х сторонний

А ячейка это многогранник элемент (3-гранный) 4-мерного многогранника или 3-мерной мозаики или выше. Ячейки грани для 4-многогранников и 3-сот.

Примеры:

Регулярные примеры от Символ Шлефли

4-многогранники		3-соты
{4,3,3}	{5,3,3}	{4,3,4}	{5,3,4}
В тессеракт имеет 3 кубических ячейки (3-грани) на ребро.	В 120 ячеек имеет 3 додекаэдр ячеек (3-х граней) на каждый край.	В кубические соты заполняет евклидово 3-мерное пространство кубами с 4 ячейками (3-гранями) на ребро.	В додекаэдрические соты порядка 4 заполняет трехмерное гиперболическое пространство додекаэдрами, по 4 ячейки (3-грани) на ребро.

Фасет или (п-1) -лицо

В многомерной геометрии грани (также называется гиперграфы)^[7] из п-полигопами являются (п-1) -грани (грани размерности на единицу меньше самого многогранника).^[8] Многогранник ограничен своими гранями.

Например:

• Грани отрезок являются его 0-гранями или вершины.
• Грани многоугольник это его 1-грань или края.
• Грани многогранник или самолет черепица это его 2 лица.
• Грани 4D многогранник или 3-соты это его 3 лица или клетки.
• Грани 5D многогранник или 4-соты - это его 4 лица.

Ридж или (п-2) -лицо

В соответствующей терминологии, (п − 2)-лицос п-полигопи называются гребни (также субфасеты).^[9] Гребень рассматривается как граница между двумя гранями многогранника или соты.

Например:

• Гряды 2D многоугольник или 1D мозаика являются его 0-гранями или вершины.
• Гряды 3D многогранник или самолет черепица это его 1-грань или края.
• Гряды а 4D многогранник или 3-соты это 2-х сторонние или просто лица.
• Гряды а 5D многогранник или 4-соты являются его 3-гранными или клетки.

Пик или (п-3) -лицо

(п − 3)-лицос п-полигопи называются вершины. Пик содержит ось вращения граней и гребней в правильном многограннике или сотах.

Например:

• Вершины 3D многогранник или самолет черепица являются его 0-гранями или вершины.
• Вершины 4D многогранник или 3-соты это его 1-грань или края.
• Вершины 5D многогранник или 4-соты - это его 2-гранные или просто лица.

Смотрите также

• Решетка для лица

Заметки

1. Некоторые другие многоугольники, не являющиеся гранями, также важны для многогранников и мозаик. Они включают Полигоны Петри, фигуры вершин и грани (плоские многоугольники, образованные копланарными вершинами, не лежащими на одной грани многогранника).

использованная литература

1. Энциклопедический словарь Мерриам-Вебстера (Одиннадцатое изд.). Спрингфилд, Массачусетс: Мерриам-Вебстер. 2004.
2. Матушек, Иржи (2002), Лекции по дискретной геометрии, Тексты для выпускников по математике, 212, Спрингер, 5.3. Грани выпуклого многогранника, с. 86, ISBN  9780387953748.
3. Кромвель, Питер Р. (1999), Многогранники, Cambridge University Press, стр. 13, ISBN  9780521664059.
4. Грюнбаум, Бранко (2003), Выпуклые многогранники, Тексты для выпускников по математике, 221 (2-е изд.), Springer, p.17.
5. Циглер, Гюнтер М. (1995), Лекции по многогранникам, Тексты для выпускников по математике, 152, Спрингер, определение 2.1, с. 51, ISBN  9780387943657.
6. Матушек (2002) и Зиглер (1995) используйте немного другое, но эквивалентное определение, которое сводится к пересечению п с гиперплоскостью, не пересекающей внутренности п или все пространство.
7. N.W. Джонсон: Геометрии и преобразования, (2018) ISBN  978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии, 11.1 Многогранники и соты, стр.225
8. Матушек (2002), п. 87; Грюнбаум (2003), п. 27; Зиглер (1995), п. 17.
9. Матушек (2002), п. 87; Зиглер (1995), п. 71.

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Лицо". MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Фасет». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. "Сторона". MathWorld.