Символ Шлефли - Schläfli symbol - Wikipedia

В додекаэдр - правильный многогранник с символом Шлефли {5,3}, имеющий 3 пятиугольники вокруг каждого вершина.

В геометрия, то Символ Шлефли является обозначением вида {п,q,р, ...} который определяет правильные многогранники и мозаики.

Символ Шлефли назван в честь швейцарского математика XIX века. Людвиг Шлефли,^[1]:143 кто обобщил Евклидова геометрия к более чем трех измерениям и обнаружил все их выпуклые правильные многогранники, включая шесть, которые встречаются в четырех измерениях.

Определение

Символ Шлефли - это рекурсивный описание,^[1]:129 начиная с {п} для п-сторонний правильный многоугольник то есть выпуклый. Например, {3} - это равносторонний треугольник, {4} - это квадрат, {5} выпуклый правильный пятиугольник и так далее.

Обычный звездные многоугольники не являются выпуклыми, и их символы Шлефли {^п/_q} содержать неприводимые дроби ^п/_q, куда п - количество вершин, а q является их номер поворота. Эквивалентно, {^п/_q} создается из вершин {п}, подключены каждые q. Например, {⁵⁄₂} это пентаграмма; {​⁵⁄₁} это пятиугольник.

А правильный многогранник который имеет q обычный п-сторонний многоугольники вокруг каждого вершина представлен {п,q}. Например, куб имеет 3 квадрата вокруг каждой вершины и представлен как {4,3}.

Обычный 4-мерный многогранник, с р {п,q} обычный многогранные клетки вокруг каждого края представлен {п,q,р}. Например, тессеракт, {4,3,3}, имеет 3 кубики, {4,3}, по краю.

В целом правильный многогранник {п,q,р,...,у,z} имеет z {п,q,р,...,у} грани вокруг каждого вершина горы, где пик - это вершина в многограннике, ребро в 4-многограннике, лицо в 5-многограннике клетка в 6-многограннике и (п-3) -лицо в п-полигон.

Характеристики

Правильный многогранник имеет правильный вершина фигуры. Вершинная фигура правильного многогранника {п,q,р,...,у,z} является {q,р,...,у,z}.

Правильные многогранники могут иметь звездный многоугольник элементы, такие как пентаграмма, с символом {⁵⁄₂}, представленные вершинами пятиугольник но подключал поочередно.

Символ Шлефли может представлять конечное выпуклый многогранник, бесконечный мозаика из Евклидово пространство, или бесконечная мозаика гиперболическое пространство, в зависимости от угловой дефект строительства. Положительный угловой дефект позволяет фигуре вершины складывать в более высокое измерение и возвращается в себя как многогранник. Дефект с нулевым углом разбивает пространство мозаикой того же размера, что и фасеты. Дефект с отрицательным углом не может существовать в обычном пространстве, но может быть построен в гиперболическом пространстве.

Обычно фасет или вершина считается конечным многогранником, но иногда сама может рассматриваться как мозаика.

Правильный многогранник также имеет двойственный многогранник в лице Символ Шлефли элементы в обратном порядке. Автодуальный регулярный многогранник будет иметь симметричный символ Шлефли.

Помимо описания евклидовых многогранников, символы Шлефли могут использоваться для описания сферических многогранников или сферических сот.^[1]:138

История и вариации

Работы Шлефли при его жизни были почти неизвестны, а его система обозначений для описания многогранников была переоткрыта независимо несколькими другими авторами. Особенно, Торольд Госсет заново открыл символ Шлефли, который он написал как | п | q | р | ... | z | а не скобками и запятыми, как это сделал Шлефли.^[1]:144

Форма Госсета имеет большую симметрию, поэтому количество измерений - это количество вертикальных полос, а символ в точности включает подсимволы для фигуры фасета и вершины. Госсет считает | п как оператор, который можно применить к | q | ... | z | создать многогранник с п-угольные грани, вершина которых равна | q | ... | z |.

Случаи

Группы симметрии

Символы Шлефли тесно связаны с (конечным) отражение группы симметрии, которые точно соответствуют конечным Группы Кокстера и указываются с теми же индексами, но вместо квадратных скобок [п,q,р, ...]. Такие группы часто называют правильными многогранниками, которые они порождают. Например, [3,3] - это группа Кокстера для рефлексивных тетраэдрическая симметрия, [3,4] является отражающим октаэдрическая симметрия, а [3,5] является отражающим икосаэдрическая симметрия.

Правильные многоугольники (плоскость)

Правильные выпуклые и звездчатые многоугольники с 3–12 вершинами, помеченные символами Шлефли.

Символ Шлефли (выпуклой) правильный многоугольник с п ребра {п}. Например, обычный пятиугольник представлен {5}.

Для (невыпуклого) звездные многоугольники, конструктивное обозначение {^п⁄_q}, где п - количество вершин и q - 1 - количество пропущенных вершин при рисовании каждого ребра звезды. Например, {⁵⁄₂} представляет пентаграмма.

Правильные многогранники (3 измерения)

Символ Шлефли на регулярной многогранник является {п,q} если это лица находятся п-угольники, и каждая вершина окружена q лица ( вершина фигуры это q-гон).

Например, {5,3} - это обычный додекаэдр. Он имеет пятиугольные (5 ребер) грани и по 3 пятиугольника вокруг каждой вершины.

Увидеть 5 выпуклых Платоновы тела, 4 невыпуклые Многогранники Кеплера-Пуансо.

Топологически регулярный двумерный мозаика можно рассматривать как аналог (3-мерного) многогранника, но такой, что угловой дефект равно нулю. Таким образом, символы Шлефли можно определить и для регулярных мозаика из Евклидово или же гиперболический пространство аналогично многогранникам. Аналогия верна и для более высоких измерений.

Например, шестиугольная черепица представлен {6,3}.

Правильные 4-многогранники (4 измерения)

Символ Шлефли на регулярной 4-многогранник имеет вид {п,q,р}. Его (двумерные) грани правильные. п-gons ({п}) клетки - правильные многогранники типа {п,q} фигуры вершин - правильные многогранники типа {q,р}, а фигуры ребер - правильные р-gons (type {р}).

Увидеть шесть выпуклый правильный и 10 правильные звездные 4-многогранники.

Например, 120 ячеек представлен {5,3,3}. Это сделано из додекаэдр ячеек {5,3} и имеет по 3 ячейки по каждому краю.

Существует одна регулярная мозаика евклидова 3-мерного пространства: кубические соты, с символом Шлефли {4,3,4}, состоящим из кубических ячеек и 4 кубов вокруг каждого края.

Есть также 4 обычных компактных гиперболических мозаики, включая {5,3,4}, гиперболические мелкие додекаэдрические соты, который заполняет пространство додекаэдр клетки.

Обычный п-политопы (высшие измерения)

Для многомерных правильные многогранники, символ Шлефли рекурсивно определяется как {п₁, п₂,...,п_п − 1} если грани имеют символ Шлефли {п₁,п₂,...,п_п − 2} и фигуры вершин имеют символ Шлефли {п₂,п₃,...,п_п − 1}.

Вершинная фигура грани многогранника и грань вершинной фигуры одного и того же многогранника одинаковы: {п₂,п₃,...,п_п − 2}.

Есть только 3 правильных многогранника в пяти измерениях и выше: симплекс, {3,3,3, ..., 3}; то кросс-многогранник, {3,3, ..., 3,4}; и гиперкуб, {4,3,3, ..., 3}. Не существует невыпуклых правильных многогранников выше четырех измерений.

Двойные многогранники

Если многогранник размерности n ≥ 2 имеет символ Шлефли {п₁,п₂, ..., п_п − 1} тогда его двойной имеет символ Шлефли {п_п − 1, ..., п₂,п₁}.

Если последовательность палиндромный, т.е. одинаково вперед и назад, многогранник самодвойственный. Каждый двумерный правильный многогранник (многоугольник) самодвойственен.

Призматические многогранники

Однородные призматические многогранники можно определить и назвать как Декартово произведение (с оператором "×") регулярных многогранников меньшей размерности.

• В 0D точка представлен (). Его Диаграмма Кокстера пусто. Его Обозначение Кокстера симметрия] [.
• В 1D отрезок представлен {}. Его Диаграмма Кокстера является . Его симметрия [].
• В 2D прямоугольник представлен как {} × {}. Его Диаграмма Кокстера является . Его симметрия [2].
• В 3D п-гональный призма представлен как {} × {п}. Его диаграмма Кокстера имеет вид . Его симметрия [2,п].
• В 4D униформа {п,q} -гранная призма представлена ​​как {} × {п,q}. Его диаграмма Кокстера имеет вид . Его симметрия [2,п,q].
• В 4D униформа п-q дуопризма представлен как {п} × {q}. Его диаграмма Кокстера имеет вид . Его симметрия [п,2,q].

Призматические двойники или бипирамиды могут быть представлены как составные символы, но с добавление оператор "+".

• В 2D ромб представлен как {} + {}. Его диаграмма Кокстера имеет вид . Его симметрия [2].
• В 3D п-гональная бипирамида, представлена ​​как {} + {п}. Его диаграмма Кокстера имеет вид . Его симметрия [2,п].
• В 4D {п,q} -эдральная бипирамида представлена ​​как {} + {п,q}. Его диаграмма Кокстера имеет вид . Его симметрия [п,q].
• В 4D п-q дуопирамида представлен как {п} + {q}. Его диаграмма Кокстера имеет вид . Его симметрия [п,2,q].

Пирамидальные многогранники, содержащие ортогонально смещенные вершины, можно представить с помощью оператора соединения «∨». Каждая пара вершин между соединенными фигурами соединена ребрами.

В 2D равнобедренный треугольник можно представить как () ∨ {} = () ∨ [() ∨ ()].

В 3D:

• А дигональный дисфеноид можно представить как {} ∨ {} = [() ∨ ()] ∨ [() ∨ ()].
• А p-угольная пирамида представлен как () ∨ {п}.

В 4D:

• А p-q-эдральная пирамида представлен как () ∨ {п,q}.
• А 5-элементный представляется как () ∨ [() ∨ {3}] или [() ∨ ()] ∨ {3} = {} ∨ {3}.
• Квадратная пирамидальная пирамида представлена ​​как () ∨ [() ∨ {4}] или [() ∨ ()] ∨ {4} = {} ∨ {4}.

При смешивании операторов порядок действий от высшего к низшему - ×, +, ∨.

Осевые многогранники, содержащие вершины на параллельных смещенных гиперплоскостях, могут быть представлены символом || оператор. Равномерная призма {п}||{п} и антипризма {п}||р{п}.

Расширение символов Шлефли

Многоугольники и мозаики кругов

Усеченный правильный многоугольник удваивается по сторонам. Правильный многоугольник с четными сторонами можно разделить пополам. Измененный четный правильный 2n-угольник порождает звездная фигура соединение, 2 {n}.

Форма	Символ Шлефли	Симметрия	Диаграмма Кокстера		Пример, {6}
Обычный	{п}	[п]				Шестиугольник
Усеченный	t {p} = {2p}	[[p]] = [2p]	=			Усеченный шестиугольник (Додекагон)	=
Изменено и Голосовой	а {2p} = β {p}	[2p]	=			Переделанный шестиугольник (Гексаграмма)	=
Половина и Пренебрежительно	h {2p} = s {p} = {p}	[1^+, 2p] = [p]	= =			Половина шестиугольника (Треугольник)	= =

Многогранники и мозаики

Coxeter расширил использование символа Шлефли до квазирегулярные многогранники путем добавления вертикального размера к символу. Это была отправная точка для более общего Диаграмма Кокстера. Норман Джонсон упрощенные обозначения вертикальных символов с р префикс. T-нотация является наиболее общей и напрямую соответствует кольцам диаграммы Кокстера. Символы имеют соответствующие чередование, заменяя кольца с дыры на диаграмме Кокстера и час префикс, обозначающий половина, конструкция ограничена требованием четного порядка соседних ветвей и снижает порядок симметрии вдвое. Связанный оператор, а за изменен, показан с двумя вложенными отверстиями, представляет собой составной многогранник с обеими чередующимися половинами, сохраняя исходную полную симметрию. А пренебрежительно представляет собой половину формы усечения, а голоскуб - обе половины попеременного усечения.

Форма	Символы Шлефли			Симметрия	Диаграмма Кокстера		Пример, {4,3}
Обычный	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$	{p, q}	т0{p, q}	[p, q] или же [(p, q, 2)]				Куб
Усеченный	${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$	т {р, д}	т0,1{p, q}					Усеченный куб
Bitruncation (Усеченное двойное)	${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}}$	2t {p, q}	т1,2{p, q}					Усеченный октаэдр
Исправленный (Квазирегулярный )	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$	г {р, д}	т1{p, q}					Кубооктаэдр
Биректификация (Обычный двойной)	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}}$	2r {p, q}	т2{p, q}					Октаэдр
Собранный (Ректифицированный ректификованный )	${\displaystyle r{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$	рр {р, q}	т0,2{p, q}					Ромбокубооктаэдр
Усеченный (Усеченное исправленное)	${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$	tr {p, q}	т0,1,2{p, q}					Усеченный кубооктаэдр

Чередования, четверти и пренебрежения

Чередования имеют половину симметрии групп Кокстера и представлены незаполненными кольцами. Возможны два варианта выбора половины вершин, но символ не указывает, какая именно. Формы четверти показаны здесь со знаком + внутри полого кольца, что означает, что они представляют собой два независимых чередования.

Чередования

Форма	Символы Шлефли			Симметрия	Диаграмма Кокстера		Пример, {4,3}
Чередующийся (полу) обычный	${\displaystyle h{\begin{Bmatrix}2p,q\end{Bmatrix}}}$	h {2p, q}	ht0{2p, q}	[1^+, 2p, q]	=			Демикуб (Тетраэдр )
Курносый обычный	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}p,2q\end{Bmatrix}}}$	s {p, 2q}	ht0,1{p, 2q}	[п^+, 2q]
Курносый двойной обычный	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}q,2p\end{Bmatrix}}}$	s {q, 2p}	ht1,2{2p, q}	[2p, q^+]				Курносый октаэдр (Икосаэдр )
Переменный выпрямленный (p и q четные)	${\displaystyle h{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$	ч {р, д}	ht1{p, q}	[p, 1^+, q]
Переменный ректификованный ректификованный (p и q четные)	${\displaystyle hr{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$	hrr {p, q}	ht0,2{p, q}	[(p, q, 2^+)]
Четвертованный (p и q четные)	${\displaystyle q{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$	д {р, д}	ht0ht2{p, q}	[1^+, p, q, 1^+]
Курносый исправленный Курносый квазирегулярный	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$	sr {p, q}	ht0,1,2{p, q}	[p, q]^+				Курносый кубооктаэдр (Курносый куб)

Переделал и голозуб

Измененные и голонубчатые формы обладают полной симметрией группы Кокстера и представлены двойными незаполненными кольцами, но могут быть представлены как соединения.

Переделал и голозуб

Форма	Символы Шлефли			Симметрия	Диаграмма Кокстера		Пример, {4,3}
Изменен обычный	${\displaystyle a{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$	а {р, д}	в0{p, q}	[p, q]	= ∪			Звездчатый октаэдр
Голоснуб двойной обычный	SS{q, п}	ß {q, p}	в0,1{q, p}	[p, q]				Соединение двух икосаэдров

SS, похожий на греческую букву бета (β) - буква немецкого алфавита Eszett.

Полихора и соты

Линейные семейства

Форма	Символ Шлефли			Диаграмма Кокстера		Пример, {4,3,3}
Обычный	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}}$	{p, q, r}	т0{p, q, r}				Тессеракт
Усеченный	${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}}$	т {р, д, г}	т0,1{p, q, r}				Усеченный тессеракт
Исправленный	${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}p\\q,r\end{array}}\right\}}$	г {р, д, г}	т1{p, q, r}				Исправленный тессеракт	=
Bitruncated		2t {p, q, r}	т1,2{p, q, r}				Обрезанный тессеракт
Двунаправленный (Выпрямленный двойной)	${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}q,p\\r\end{array}}\right\}}$	2r {p, q, r} = r {r, q, p}	т2{p, q, r}				Выпрямленный 16-элементный	=
Усеченный (Усеченное двойное)	${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}r,q,p\end{Bmatrix}}}$	3t {p, q, r} = t {r, q, p}	т2,3{p, q, r}				Обрезанный тессеракт
Триректифицированный (Двойной)	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}r,q,p\end{Bmatrix}}}$	3r {p, q, r} = {r, q, p}	т3{p, q, r} = {r, q, p}				16 ячеек
Собранный	${\displaystyle r\left\{{\begin{array}{l}p\\q,r\end{array}}\right\}}$	rr {p, q, r}	т0,2{p, q, r}				Кантеллированный тессеракт	=
Усеченный	${\displaystyle t\left\{{\begin{array}{l}p\\q,r\end{array}}\right\}}$	tr {p, q, r}	т0,1,2{p, q, r}				Усеченный тессеракт	=
Runcinated (Расширенный )	${\displaystyle e_{3}{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}}$	е3{p, q, r}	т0,3{p, q, r}				Бегущий тессеракт
Runcitruncated			т0,1,3{p, q, r}				Выполнить усеченный тессеракт
Усеченный			т0,1,2,3{p, q, r}				Омниусеченный тессеракт

Чередования, четверти и пренебрежения

Чередования

Форма	Символ Шлефли			Диаграмма Кокстера		Пример, {4,3,3}
Чередования
Половина п даже	${\displaystyle h{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}}$	h {p, q, r}	ht0{p, q, r}				16 ячеек
Четверть p и r даже	${\displaystyle q{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}}$	д {р, д, г}	ht0ht3{p, q, r}
Курносый д даже	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}}$	s {p, q, r}	ht0,1{p, q, r}				Курносый 24-элементный
Курносый исправленный г даже	${\displaystyle s\left\{{\begin{array}{l}p\\q,r\end{array}}\right\}}$	sr {p, q, r}	ht0,1,2{p, q, r}				Курносый 24-элементный	=
Альтернативная дуопризма		с {п} с {q}	ht0,1,2,3{p, 2, q}				Большой дуоантипризм

Бифуркационные семьи

Бифуркационные семьи

Форма	Расширенный символ Шлефли			Диаграмма Кокстера		Примеры
Квазирегулярный	${\displaystyle \left\{p,{q \atop q}\right\}}$	{p, q^1,1}	т0{p, q^1,1}				16 ячеек
Усеченный	${\displaystyle t\left\{p,{q \atop q}\right\}}$	т {р, д^1,1}	т0,1{p, q^1,1}				Усеченная 16-ячеечная
Исправленный	${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}p\\q\\q\end{array}}\right\}}$	г {р, д^1,1}	т1{p, q^1,1}				24-элементный
Собранный	${\displaystyle r\left\{{\begin{array}{l}p\\q\\q\end{array}}\right\}}$	rr {p, q^1,1}	т0,2,3{p, q^1,1}				Собранный 16-элементный
Усеченный	${\displaystyle t\left\{{\begin{array}{l}p\\q\\q\end{array}}\right\}}$	tr {p, q^1,1}	т0,1,2,3{p, q^1,1}				Cantitruncated 16-элементный
Курносый исправленный	${\displaystyle s\left\{{\begin{array}{l}p\\q\\q\end{array}}\right\}}$	sr {p, q^1,1}	ht0,1,2,3{p, q^1,1}				Курносый 24-элементный
Квазирегулярный	${\displaystyle \left\{r,{p \atop q}\right\}}$	{г, / д , р}	т0{г, / д , р}
Усеченный	${\displaystyle t\left\{r,{p \atop q}\right\}}$	т {г, / д , р}	т0,1{г, / д , р}
Исправленный	${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}r\\p\\q\end{array}}\right\}}$	г {г, / д , р}	т1{г, / д , р}
Собранный	${\displaystyle r\left\{{\begin{array}{l}r\\p\\q\end{array}}\right\}}$	rr {r, / q , p}	т0,2,3{г, / д , р}
Усеченный	${\displaystyle t\left\{{\begin{array}{l}r\\p\\q\end{array}}\right\}}$	тр {г, / д , р}	т0,1,2,3{г, / д , р}
Курносый исправленный	${\displaystyle s\left\{{\begin{array}{l}p\\q\\r\end{array}}\right\}}$	sr {p, / q, r}	ht0,1,2,3{р, / д , г}

Мозаики

Сферический

{2, n} с {2,2n} ???

т {2, п} {} + {n}

Обычный

{2,∞} {3,6}

{4,4} {6,3}

Полурегулярный

с {4,4} е {3,6} sr {2, ∞} sr {6,3} рр {6,3}

г {6,3} т {6,3} т {2, ∞} tr {6,3} tr {4,4}

Гиперболический

sr {5,4} sr {6,4} sr {7,4} sr {8,4} sr {∞, 4} с {5,4} sr {6,5} с {6,4} ср {8,6} sr {7,7} с {8,4} с {4,6} sr {∞, ∞} sr {7,3} ср {8,3} sr {∞, 3}

с {3,8} {3,7} {3,8} {3,∞} ч {8,3} ч {6,4} q {4,6} рр {7,3} рр {8,3} rr {∞, 3} час2{8,3} г {7,3} г {8,3} т {7,3} т {8,3} г {∞, 3}

т {∞, 3} рр {5,4} rr {6,4} рр {7,4} рр {8,4} rr {∞, 4} {4,5} {4,6} {4,7} {4,8} {4,∞} г {5,4} г {6,4} tr {6,3} tr {7,3} ???

tr {8,3} ??? tr {∞, 3} г {7,4} г {8,4} tr {5,4} ??? tr {6,4} tr {7,4} tr {8,4} tr {∞, 4} т {5,4} тр {6,5} т {6,4} тр {8,6} т {7,4}

т {8,4} т {∞, 4} г {∞, 4} {5,4} {5,5} {5,6} {5,∞} рр {6,5} г {6,5} т {4,5} т {5,5} т {6,5} г {∞, 5} {6,4} {6,5} {6,6}

{6,8} рр {8,6} г {8,6} т {4,6} т {5,6} т {6,6} т {8,6} {7,3} {7,4} {7,7} т {3,7} т {4,7} т {7,7} {8,3} {8,4} {8,6} {8,8}

т {6,8} т {3,8} т {8,8} {∞,3} {∞,4} {∞,5} {∞,∞} т {3, ∞} т {4, ∞}

Рекомендации

1. Кокстер, H.S.M. (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр.

Источники

• Кокстер, Гарольд Скотт Макдональд (1973) [1948]. Правильные многогранники (3-е изд.). Dover Publications. стр.14, 69, 149. ISBN  0-486-61480-8. OCLC  798003. Правильные многогранники.
• Шерк, Ф. Артур; Макмаллен, Питер; Томпсон, Энтони С .; Вайс, Азия Ивич, ред. (1995). Калейдоскопы: Избранные произведения Х.С.М. Coxeter. Вайли. ISBN  978-0-471-01003-6.
  • (Документ 22) стр. 251–278 Кокстер, H.S.M. (1940). «Правильные и полурегулярные многогранники I». Математика. Zeit. 46: 380–407. Дои:10.1007 / BF01181449. Zbl  0022.38305. MR 2,10
  • (Документ 23) стр. 279–312 - (1985). «Правильные и полурегулярные многогранники II». Математика. Zeit. 188 (4): 559–591. Дои:10.1007 / BF01161657. Zbl  0547.52005.
  • (Документ 24) стр. 313–358 - (1988). «Правильные и полурегулярные многогранники III». Математика. Zeit. 200 (1): 3–45. Дои:10.1007 / BF01161745. Zbl  0633.52006.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Символ Шлефли». MathWorld. Получено 28 декабря, 2019.
• Старк, Морис (13 апреля 2012 г.). «Многогранные имена и обозначения». Путешествие по миру многогранников. Получено 28 декабря, 2019.