Список правильных многогранников и соединений - List of regular polytopes and compounds

Пример правильных многогранников

Правильные (2D) полигоны
Выпуклый	Звезда
{5}	{5/2}
Правильные (3D) многогранники
Выпуклый	Звезда
{5,3}	{5/2,5}
Обычные 2D-тесселяции
Евклидово	Гиперболический
{4,4}	{5,4}
Правильные 4D многогранники
Выпуклый	Звезда
{5,3,3}	{5/2,5,3}
Обычные 3D-мозаики
Евклидово	Гиперболический
{4,3,4}	{5,3,4}

На этой странице перечислены правильные многогранники и регулярный многогранники в Евклидово, сферический и гиперболический пробелы.

В Символ Шлефли описывает каждую регулярную мозаику п-сфера, евклидовы и гиперболические пространства. Символ Шлефли, описывающий п-полигранник эквивалентно описывает тесселяцию (п - 1) -сфера. Кроме того, симметрия правильного многогранника или мозаики выражается как Группа Коксетера, который Coxeter выражается идентично символу Шлефли, за исключением квадратных скобок, обозначение, которое называется Обозначение Кокстера. Другой связанный символ - это Диаграмма Кокстера-Дынкина который представляет группу симметрии без колец, а представляет собой правильный многогранник или мозаику с кольцом в первом узле. Например, куб имеет символ Шлефли {4,3}, а с его октаэдрическая симметрия, [4,3] или , она представлена ​​диаграммой Кокстера .

Правильные многогранники группируются по размерности и подгруппируются по выпуклым, невыпуклым и бесконечным формам. Невыпуклые формы используют те же вершины, что и выпуклые формы, но имеют пересекающиеся грани. Бесконечные формы мозаика одномерное евклидово пространство меньшей размерности.

Бесконечные формы могут быть расширены для тесселяции гиперболическое пространство. Гиперболическое пространство похоже на нормальное пространство в маленьком масштабе, но параллельные линии расходятся на расстоянии. Это позволяет фигурам вершин иметь отрицательные угловые дефекты, как вершину с семью равносторонние треугольники и позволяя ему лечь ровно. Это невозможно сделать в обычной плоскости, но можно сделать в правильном масштабе гиперболической плоскости.

Более общее определение правильных многогранников, не имеющих простых символов Шлефли, включает правильные косые многогранники и обычные косые апейотопы с неплоскими грани или же фигуры вершин.

Обзор

В этой таблице приведены сводные данные о количестве обычных многогранников по размерности.

Дим.	Конечный			Евклидово	Гиперболический			Соединения
	Выпуклый	Звезда	Перекос	Выпуклый	Компактный	Звезда	Паракомпакт	Выпуклый	Звезда
1	1	0	0	1	0	0	0	0	0
2	∞	∞	∞	1	1	0	0	∞	∞
3	5	4	?	3	∞	∞	∞	5	0
4	6	10	?	1	4	0	11	26	20
5	3	0	?	3	5	4	2	0	0
6	3	0	?	1	0	0	5	0	0
7	3	0	?	1	0	0	0	3	0
8	3	0	?	1	0	0	0	6	0
9+	3	0	?	1	0	0	0	[а]	0

1. 1, если количество измерений имеет вид 2^k - 1; 2, если количество измерений имеет вид 2^k; 0 в противном случае.

Не существует евклидовых регулярных звездных мозаик в любом количестве измерений.

Одно измерение

А Диаграмма Кокстера представляют зеркальные "плоскости" как узлы и помещают кольцо вокруг узла, если точка нет на самолете. А дион { }, , это точка п и его точка зеркального отображения п', и отрезок прямой между ними.

Одномерный многогранник или 1-многогранник является замкнутым отрезок, ограниченный двумя своими конечными точками. 1-многогранник регулярен по определению и представлен Символ Шлефли { },^[1][2] или Диаграмма Кокстера с одним кольцевым узлом, . Норман Джонсон называет это дион^[3] и дает ему символ Шлефли {}.

Хотя как многогранник он тривиален, он выглядит как края многоугольников и других многогранников более высокой размерности.^[4] Он используется в определении однородные призмы как символ Шлефли {} × {p} или диаграмма Кокстера как Декартово произведение отрезка и правильного многоугольника.^[5]

Два измерения (многоугольники)

Двумерные многогранники называются полигоны. Правильные многоугольники равносторонний и циклический. P-угольный правильный многоугольник представлен как Символ Шлефли {п}.

Обычно только выпуклые многоугольники считаются обычными, но звездные многоугольники, словно пентаграмма, также можно считать регулярным. Они используют те же вершины, что и выпуклые формы, но соединяются альтернативным соединением, которое проходит по кругу более одного раза для завершения.

Звездные полигоны следует называть невыпуклый скорее, чем вогнутый потому что пересекающиеся ребра не порождают новых вершин, и все вершины существуют на границе круга.

Выпуклый

Символ Шлефли {p} представляет собой обычный п-угольник.

Имя	Треугольник (2-симплекс )	Квадрат (2-ортоплекс ) (2-куб )	Пентагон (2-пятиугольный многогранник )	Шестиугольник	Семиугольник	Восьмиугольник
Schläfli	{3}	{4}	{5}	{6}	{7}	{8}
Симметрия	D3, [3]	D4, [4]	D5, [5]	D6, [6]	D7, [7]	D8, [8]
Coxeter
Изображение
Имя	Нонагон (Девятиугольник)	Декагон	Hendecagon	Додекагон	Трехугольник	Тетрадекагон
Schläfli	{9}	{10}	{11}	{12}	{13}	{14}
Симметрия	D9, [9]	D10, [10]	D11, [11]	D12, [12]	D13, [13]	D14, [14]
Дынкин
Изображение
Имя	Пентадекагон	Шестиугольник	Гептадекагон	Восьмиугольник	Enneadecagon	Икосагон	... п-гон
Schläfli	{15}	{16}	{17}	{18}	{19}	{20}	{п}
Симметрия	D15, [15]	D16, [16]	D17, [17]	D18, [18]	D19, [19]	D20, [20]	Dп, [п]
Дынкин
Изображение

Сферический

Регулярный Digon {2} можно рассматривать как выродиться правильный многоугольник. Это может быть реализовано невырожденно в некоторых неевклидовых пространствах, например, на поверхности сфера или же тор.

Имя	Моногон	Дигон
Символ Шлефли	{1}	{2}
Симметрия	D1, [ ]	D2, [2]
Диаграмма Кокстера	или же
Изображение

Звезды

Существует бесконечно много правильных звездных многогранников в двух измерениях, символы Шлефли которых состоят из рациональных чисел {п/м}. Они называются звездные многоугольники и разделять то же самое расположение вершин выпуклых правильных многоугольников.

В общем, для любого натурального числа п, есть n-конечные звезды правильные многоугольные звезды с символами Шлефли {п/м} для всех m таких, что м < п/ 2 (строго говоря {п/м}={п/(п−м)}) и м и п находятся совмещать (как таковые, все звёздчатые формы многоугольника с простым числом сторон будут правильными звёздами). Случаи, когда м и п не взаимно просты, называются составные многоугольники.

Имя	Пентаграмма	Гептаграммы		Октаграмма	Эннеаграммы		Декаграмма	...н-граммы
Schläfli	{5/2}	{7/2}	{7/3}	{8/3}	{9/2}	{9/4}	{10/3}	{п / д}
Симметрия	D5, [5]	D7, [7]		D8, [8]	D9, [9],		D10, [10]	Dп, [п]
Coxeter
Изображение

Правильные звездчатые многоугольники до 20 сторон

{11/2}	{11/3}	{11/4}	{11/5}	{12/5}	{13/2}	{13/3}	{13/4}	{13/5}	{13/6}
{14/3}	{14/5}	{15/2}	{15/4}	{15/7}	{16/3}	{16/5}	{16/7}
{17/2}	{17/3}	{17/4}	{17/5}	{17/6}	{17/7}	{17/8}	{18/5}	{18/7}
{19/2}	{19/3}	{19/4}	{19/5}	{19/6}	{19/7}	{19/8}	{19/9}	{20/3}	{20/7}	{20/9}

Звездные многоугольники, которые могут существовать только как сферические мозаики, аналогично моногонам и двуугольникам, могут существовать (например: {3/2}, {5/3}, {5/4}, {7/4}, {9 / 5}), однако они, по-видимому, не были подробно изучены.

Также существуют не удалось звездчатые многоугольники, такие как пьянка, которые не покрывают поверхность круга конечное число раз.^[6]

Наклон полигонов

В трехмерном пространстве правильный косой многоугольник называется антипризматический многоугольник, с расположение вершин из антипризма, и подмножество ребер, зигзагообразных между верхним и нижним многоугольниками.

Пример правильных косых зигзагообразных многоугольников

Шестиугольник	Восьмиугольник	Декагоны
D3D, [2^+,6]	D4d, [2^+,8]	D5d, [2^+,10]
{3}#{ }	{4}#{ }	{5}#{ }	{5/2}#{ }	{5/3}#{ }

В четырехмерном пространстве правильный наклонный многоугольник может иметь вершины на Клиффорд тор и связаны Смещение Клиффорда. В отличие от антипризматических косых многоугольников, косые многоугольники при двойном повороте могут иметь нечетное количество сторон.

Их можно увидеть в Полигоны Петри из выпуклые правильные 4-многогранники, видимые как правильные плоские многоугольники по периметру проекции плоскости Кокстера:

Пентагон	Восьмиугольник	Додекагон	Триаконтагон
5-элементный	16 ячеек	24-элементный	600 ячеек

Три измерения (многогранники)

В трех измерениях многогранники называются многогранники:

Правильный многогранник с Символ Шлефли {p, q}, диаграммы Кокстера , имеет правильный тип лица {p} и правильный вершина фигура {q}.

А вершина фигура (многогранника) - это многоугольник, который можно увидеть, соединяя те вершины, которые находятся на расстоянии одного ребра от данной вершины. За правильные многогранники, эта вершина всегда является правильным (и плоским) многоугольником.

Существование правильного многогранника {p, q} ограничивается неравенством, связанным с фигурой вершины угловой дефект:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}>{\frac {1}{2}}:{\text{Polyhedron (existing in Euclidean 3-space)}}\\[6pt]&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{2}}:{\text{Euclidean plane tiling}}\\[6pt]&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}<{\frac {1}{2}}:{\text{Hyperbolic plane tiling}}\end{aligned}}}$

Перечисляя перестановки, мы находим пять выпуклых форм, четыре звездчатые формы и три плоских мозаики, все с многоугольниками {p} и {q}, ограниченными: {3}, {4}, {5}, {5/2} и {6} .

За пределами евклидова пространства существует бесконечное множество регулярных гиперболических мозаик.

Выпуклый

Пять выпуклых обычных многогранники называются Платоновы тела. В вершина фигура дается с каждым количеством вершин. Все эти многогранники имеют Эйлерова характеристика (χ) из 2.

Имя	Schläfli {p, q}	Coxeter	Изображение (твердый)	Изображение (сфера)	Лица {п}	Края	Вершины {q}	Симметрия	Двойной
Тетраэдр (3-симплексный )	{3,3}				4 {3}	6	4 {3}	Тd [3,3] (*332)	(себя)
Шестигранник Куб (3-куб )	{4,3}				6 {4}	12	8 {3}	Очас [4,3] (*432)	Октаэдр
Октаэдр (3-ортоплекс )	{3,4}				8 {3}	12	6 {4}	Очас [4,3] (*432)	Куб
Додекаэдр	{5,3}				12 {5}	30	20 {3}	ячас [5,3] (*532)	Икосаэдр
Икосаэдр	{3,5}				20 {3}	30	12 {5}	ячас [5,3] (*532)	Додекаэдр

Сферический

В сферическая геометрия, обычный сферические многогранники (мозаики из сфера ) существуют, которые в противном случае были бы вырожденными как многогранники. Эти Hosohedra {2, n} и их двойственные дигедра {n, 2}. Coxeter называет такие случаи «неправильной» мозаикой.^[7]

Первые несколько случаев (n от 2 до 6) перечислены ниже.

Хосоэдра

Имя	Schläfli {2, п}	Coxeter диаграмма	Изображение (сфера)	Лица {2}π / p	Края	Вершины {п}	Симметрия	Двойной
Дигональный осоэдр	{2,2}			2 {2}π / 2	2	2 {2}π / 2	D2ч [2,2] (*222)	Себя
Тригональный осоэдр	{2,3}			3 {2}π / 3	3	2 {3}	D3ч [2,3] (*322)	Тригональный диэдр
Квадратный осоэдр	{2,4}			4 {2}π / 4	4	2 {4}	D4ч [2,4] (*422)	Квадратный диэдр
Пятиугольный осоэдр	{2,5}			5 {2}π / 5	5	2 {5}	D5ч [2,5] (*522)	Пятиугольный диэдр
Шестиугольный осоэдр	{2,6}			6 {2}π / 6	6	2 {6}	D6ч [2,6] (*622)	Шестиугольный диэдр

Дигедра

Имя	Schläfli {p, 2}	Coxeter диаграмма	Изображение (сфера)	Лица {п}	Края	Вершины {2}	Симметрия	Двойной
Дигональный диэдр	{2,2}			2 {2}π / 2	2	2 {2}π / 2	D2ч [2,2] (*222)	Себя
Тригональный диэдр	{3,2}			2 {3}	3	3 {2}π / 3	D3ч [3,2] (*322)	Тригональный осоэдр
Квадратный диэдр	{4,2}			2 {4}	4	4 {2}π / 4	D4ч [4,2] (*422)	Квадратный осоэдр
Пятиугольный диэдр	{5,2}			2 {5}	5	5 {2}π / 5	D5ч [5,2] (*522)	Пятиугольный осоэдр
Шестиугольный диэдр	{6,2}			2 {6}	6	6 {2}π / 6	D6ч [6,2] (*622)	Шестиугольный осоэдр

Звезды-дигедры и осоэдры {п/q, 2} и {2,п/q} также существуют для любого звездного многоугольника {п/q}.

Звезды

Регулярный звездные многогранники называются Многогранники Кеплера – Пуансо а их четыре, исходя из расположение вершин из додекаэдр {5,3} и икосаэдр {3,5}:

В качестве сферические мозаики, эти звездные формы многократно перекрывают сферу, называемую ее плотность, равное 3 или 7 для этих форм. Изображения мозаики показывают одиночный сферический многоугольник лицо в желтом.

Имя	Изображение (скелетный)	Изображение (твердый)	Изображение (сфера)	Звездчатость диаграмма	Schläfli {p, q} и Coxeter	Лица {п}	Края	Вершины {q} верф.	χ	Плотность	Симметрия	Двойной
Малый звездчатый додекаэдр					{5/2,5}	12 {5/2}	30	12 {5}	−6	3	ячас [5,3] (*532)	Большой додекаэдр
Большой додекаэдр					{5,5/2}	12 {5}	30	12 {5/2}	−6	3	ячас [5,3] (*532)	Малый звездчатый додекаэдр
Большой звездчатый додекаэдр					{5/2,3}	12 {5/2}	30	20 {3}	2	7	ячас [5,3] (*532)	Большой икосаэдр
Большой икосаэдр					{3,5/2}	20 {3}	30	12 {5/2}	2	7	ячас [5,3] (*532)	Большой звездчатый додекаэдр

Бесконечно много не удалось звездные многогранники. Это также сферические мозаики со звездными многоугольниками в символах Шлефли, но они не покрывают сферу конечное число раз. Вот некоторые примеры: {5 / 2,4}, {5 / 2,9}, {7 / 2,3}, {5 / 2,5 / 2}, {7 / 2,7 / 3}, {4, 5/2} и {3,7 / 3}.

Косые многогранники

Правильные косые многогранники являются обобщениями на множество правильный многогранник которые включают возможность неплоских фигуры вершин.

Для четырехмерных косых многогранников Кокстер предложил модифицированный Символ Шлефли {l, m | n} для этих фигур, причем {l, m} подразумевает вершина фигура, м l-угольники вокруг вершины и п-гональные отверстия. Их вершинные фигуры перекос многоугольников, зигзагами между двумя плоскостями.

Правильные косые многогранники, представленные {l, m | n}, подчиняются этому уравнению:

2 sin (π / l) sin (π / m) = cos (π / n)

Четыре из них можно увидеть в четырех измерениях как подмножество лиц четырех правильные 4-многогранники, разделяя то же самое расположение вершин и расположение кромок:

{4, 6 | 3}	{6, 4 | 3}	{4, 8 | 3}	{8, 4 | 3}

Четыре измерения

Обычный 4-многогранники с Символ Шлефли ${\displaystyle \{p,q,r\}}$ есть ячейки типа ${\displaystyle \{p,q\}}$, лица типа ${\displaystyle \{p\}}$, фигурные края${\displaystyle \{r\}}$, и фигуры вершин ${\displaystyle \{q,r\}}$.

• А вершина фигура (4-многогранника) - это многогранник, видимый по расположению соседних вершин вокруг данной вершины. Для правильных 4-многогранников эта вершина является правильным многогранником.
• An край фигуры многоугольник, видимый по расположению граней по краю. Для правильных 4-многогранников эта фигура ребра всегда будет правильным многоугольником.

Существование правильного 4-многогранника ${\displaystyle \{p,q,r\}}$ ограничивается существованием правильных многогранников ${\displaystyle \{p,q\},\{q,r\}}$. Предлагаемое название 4-многогранника - «полихорон».^[8]

Каждый будет существовать в пространстве, зависящем от этого выражения:

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{r}}\right)-\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right)}$

${\displaystyle >0}$ : Гиперсферические соты с 3 пространствами или 4-многогранник

${\displaystyle =0}$ : Евклидовы соты с тремя пространствами.

${\displaystyle <0}$ : Гиперболические соты с 3 пространствами

Эти ограничения допускают 21 форму: 6 - выпуклые, 10 - невыпуклые, один представляет собой евклидовы соты с 3-мя пространствами, а 4 - гиперболические соты.

В Эйлерова характеристика ${\displaystyle \chi }$ для выпуклых 4-многогранников равен нулю:${\displaystyle \chi =V+F-E-C=0}$

Выпуклый

6 выпуклых правильные 4-многогранники показаны в таблице ниже. Все эти 4-многогранники имеют Эйлерова характеристика (χ) 0.

Имя	Schläfli {p, q, r}	Coxeter	Клетки {p, q}	Лица {п}	Края {р}	Вершины {q, r}	Двойной {г, д, р}
5-элементный (4-симплексный )	{3,3,3}		5 {3,3}	10 {3}	10 {3}	5 {3,3}	(себя)
8-элементный (4-куб ) (Тессеракт)	{4,3,3}		8 {4,3}	24 {4}	32 {3}	16 {3,3}	16 ячеек
16 ячеек (4-ортоплекс )	{3,3,4}		16 {3,3}	32 {3}	24 {4}	8 {3,4}	Тессеракт
24-элементный	{3,4,3}		24 {3,4}	96 {3}	96 {3}	24 {4,3}	(себя)
120 ячеек	{5,3,3}		120 {5,3}	720 {5}	1200 {3}	600 {3,3}	600 ячеек
600 ячеек	{3,3,5}		600 {3,3}	1200 {3}	720 {5}	120 {3,5}	120 ячеек

5-элементный	8-элементный	16 ячеек	24-элементный	120 ячеек	600 ячеек
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}
Каркас (Многоугольник Петри ) перекос орфографические проекции
Твердый орфографические проекции
четырехгранный конверт (клетка/ по центру вершины)	кубический конверт (по центру ячейки)	кубический конверт (по центру ячейки)	кубооктаэдр конверт (по центру ячейки)	усеченный ромбический триаконтаэдр конверт (по центру ячейки)	Пентакис икосододекаэдрический конверт (по центру вершины)
Каркас Диаграммы Шлегеля (Перспективная проекция )
(по центру ячейки)	(по центру ячейки)	(по центру ячейки)	(по центру ячейки)	(по центру ячейки)	(по центру вершины)
Каркас стереографические проекции (Гиперсферический )

Сферический

Ди-4-топы и hoso-4-topes существуют как регулярные мозаики 3-сфера.

Обычный ди-4-топы (2 аспекта) включают: {3,3,2}, {3,4,2}, {4,3,2}, {5,3,2}, {3,5,2}, {p, 2 , 2}, а их hoso-4-tope двойники (2 вершины): {2,3,3}, {2,4,3}, {2,3,4}, {2,3,5}, {2,5,3}, {2,2,п}. 4-многогранники вида {2,п, 2} такие же, как {2,2,п}. Также есть случаи {п,2,q} с двугранными ячейками и фигурами хозоэдральных вершин.

Обычные хосо-4-топы как 3-сфера соты

Schläfli {2,п,q}	Coxeter	Клетки {2,п}π /q	Лица {2}π /п, π /q	Края	Вершины	Фигура вершины {п,q}	Симметрия	Двойной
{2,3,3}		4 {2,3}π / 3	6 {2}π / 3, π / 3	4	2	{3,3}	[2,3,3]	{3,3,2}
{2,4,3}		6 {2,4}π / 3	12 {2}π / 4, π / 3	8	2	{4,3}	[2,4,3]	{3,4,2}
{2,3,4}		8 {2,3}π / 4	12 {2}π / 3, π / 4	6	2	{3,4}	[2,4,3]	{4,3,2}
{2,5,3}		12 {2,5}π / 3	30 {2}π / 5, π / 3	20	2	{5,3}	[2,5,3]	{3,5,2}
{2,3,5}		20 {2,3}π / 5	30 {2}π / 3, π / 5	12	2	{3,5}	[2,5,3]	{5,3,2}

Звезды

Есть десять правильные звездные 4-многогранники, которые называются 4-многогранники Шлефли – Гесса. Их вершины опираются на выпуклые 120 ячеек {5,3,3} и 600 ячеек {3,3,5}.

Людвиг Шлефли нашел четыре из них и пропустил последние шесть, потому что он не разрешал формы, которые не соответствовали Эйлерова характеристика на клетках или фигурах вершин (для торов с нулевой дыркой: F + V − E = 2). Эдмунд Гесс (1843–1903) завершил полный список из десяти в своей немецкой книге Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder (1883)[1].

Есть 4 уникальных расположение кромок и 7 уникальных лица аранжировки из этих 10 правильных звездных 4-многогранников, показанных как ортогональные проекции:

Имя	Каркас	Твердый	Schläfli {p, q, r} Coxeter	Клетки {p, q}	Лица {п}	Края {р}	Вершины {q, r}	Плотность	χ	Группа симметрии	Двойной {г, д, р}
Икосаэдрический 120-элементный (граненый, 600 ячеек)			{3,5,5/2}	120 {3,5}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {5,5/2}	4	480	ЧАС4 [5,3,3]	Маленький звездчатый 120-элементный
Маленький звездчатый 120-элементный			{5/2,5,3}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	1200 {3}	120 {5,3}	4	−480	ЧАС4 [5,3,3]	Икосаэдрический 120-элементный
Отличный 120-элементный			{5,5/2,5}	120 {5,5/2}	720 {5}	720 {5}	120 {5/2,5}	6	0	ЧАС4 [5,3,3]	Самодвойственный
Гранд 120-элементный			{5,3,5/2}	120 {5,3}	720 {5}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	20	0	ЧАС4 [5,3,3]	120-элементный звездчатый
120-элементный звездчатый			{5/2,3,5}	120 {5/2,3}	720 {5/2}	720 {5}	120 {3,5}	20	0	ЧАС4 [5,3,3]	Гранд 120-элементный
Большой звездчатый 120-элементный			{5/2,5,5/2}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	720 {5/2}	120 {5,5/2}	66	0	ЧАС4 [5,3,3]	Самодвойственный
Большой 120-элементный			{5,5/2,3}	120 {5,5/2}	720 {5}	1200 {3}	120 {5/2,3}	76	−480	ЧАС4 [5,3,3]	Большой икосаэдр, 120 ячеек
Большой икосаэдр, 120 ячеек (большой граненый 600-ячеечный)			{3,5/2,5}	120 {3,5/2}	1200 {3}	720 {5}	120 {5/2,5}	76	480	ЧАС4 [5,3,3]	Большой 120-элементный
Гранд 600-секционный			{3,3,5/2}	600 {3,3}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	191	0	ЧАС4 [5,3,3]	Большой звездчатый 120-элементный
Большой звездчатый 120-элементный			{5/2,3,3}	120 {5/2,3}	720 {5/2}	1200 {3}	600 {3,3}	191	0	ЧАС4 [5,3,3]	Гранд 600-секционный

Есть 4 не удалось возможные перестановки регулярных звездных 4-многогранников: {3,5 / 2,3}, {4,3,5 / 2}, {5 / 2,3,4}, {5 / 2,3,5 / 2}. Их клетки и вершинные фигуры существуют, но они не покрывают гиперсферу с конечным числом повторений.

Пять и более измерений

В пять измерений, регулярный многогранник можно назвать${\displaystyle \{p,q,r,s\}}$ куда ${\displaystyle \{p,q,r\}}$ 4-гранный тип, ${\displaystyle \{p,q\}}$ это тип ячейки, ${\displaystyle \{p\}}$ тип лица, и ${\displaystyle \{s\}}$ фигура лица, ${\displaystyle \{r,s\}}$ - фигура края, а ${\displaystyle \{q,r,s\}}$ - фигура вершины.

А вершина фигура (5-многогранника) - это 4-многогранник, видимый по расположению соседних вершин к каждой вершине.

An край фигуры (5-многогранника) - это многогранник, видимый по расположению граней вокруг каждого ребра.

А лицо фигура (5-многогранника) представляет собой многоугольник, видимый по расположению ячеек вокруг каждой грани.

Правильный 5-многогранник ${\displaystyle \{p,q,r,s\}}$ существует только если ${\displaystyle \{p,q,r\}}$ и ${\displaystyle \{q,r,s\}}$ являются правильными 4-многогранниками.

Пространство, в которое оно помещается, основано на выражении:

${\displaystyle {\frac {\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{q}}\right)}{\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{p}}\right)}}+{\frac {\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{r}}\right)}{\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{s}}\right)}}}$

${\displaystyle <1}$ : Сферическая мозаика из 4 пространств или многогранник из 5 пространств

${\displaystyle =1}$ : Евклидова тесселяция с четырьмя пространствами

${\displaystyle >1}$ : гиперболическая тесселяция с четырьмя пространствами

Перечисление этих ограничений дает 3 выпуклые многогранники, нуль невыпуклые многогранники, 3 4-х пространственная мозаика и 5 гиперболические четырехмерные мозаики. Не существует невыпуклых правильных многогранников в пяти и более измерениях.

Выпуклый

В размерности 5 и выше существует только три вида выпуклых правильных многогранников.^[9]

Имя	Schläfli Символ {п1,...,пп−1}	Coxeter	k-лицы	Грань тип	Вершина фигура	Двойной
п-суплекс	{3п−1}	...	${\displaystyle {{n+1} \choose {k+1}}}$	{3п−2}	{3п−2}	Самодвойственный
п-куб	{4,3п−2}	...	${\displaystyle 2^{n-k}{n \choose k}}$	{4,3п−3}	{3п−2}	п-ортоплекс
п-ортоплекс	{3п−2,4}	...	${\displaystyle 2^{k+1}{n \choose {k+1}}}$	{3п−2}	{3п−3,4}	п-куб

Существуют также несобственные случаи, когда некоторые числа в символе Шлефли равны 2. Например, {p, q, r, ... 2} является несобственным правильным сферическим многогранником, если {p, q, r ...} является правильным сферический многогранник, а {2, ... p, q, r} - несобственный правильный сферический многогранник, если {... p, q, r} - правильный сферический многогранник. Такие многогранники также могут использоваться как фасеты, давая такие формы, как {p, q, ... 2 ... y, z}.

5 измерений

Имя	Schläfli Символ {p, q, r, s} Coxeter	Грани {p, q, r}	Клетки {p, q}	Лица {п}	Края	Вершины	Лицо фигура {s}	Край фигура {г, с}	Вершина фигура {q, r, s}
5-симплекс	{3,3,3,3}	6 {3,3,3}	15 {3,3}	20 {3}	15	6	{3}	{3,3}	{3,3,3}
5-куб	{4,3,3,3}	10 {4,3,3}	40 {4,3}	80 {4}	80	32	{3}	{3,3}	{3,3,3}
5-ортоплекс	{3,3,3,4}	32 {3,3,3}	80 {3,3}	80 {3}	40	10	{4}	{3,4}	{3,3,4}

5-симплекс

5-куб

5-ортоплекс

6 размеров

Имя	Schläfli	Вершины	Края	Лица	Клетки	4 лица	5 лиц	χ
6-симплекс	{3,3,3,3,3}	7	21	35	35	21	7	0
6-куб	{4,3,3,3,3}	64	192	240	160	60	12	0
6-ортоплекс	{3,3,3,3,4}	12	60	160	240	192	64	0

6-симплекс

6-куб

6-ортоплекс

7 размеров

Имя	Schläfli	Вершины	Края	Лица	Клетки	4 лица	5 лиц	6 лиц	χ
7-симплекс	{3,3,3,3,3,3}	8	28	56	70	56	28	8	2
7-куб	{4,3,3,3,3,3}	128	448	672	560	280	84	14	2
7-ортоплекс	{3,3,3,3,3,4}	14	84	280	560	672	448	128	2

7-симплекс

7-куб

7-ортоплекс

8 размеров

Имя	Schläfli	Вершины	Края	Лица	Клетки	4 лица	5 лиц	6 лиц	7 лиц	χ
8-симплекс	{3,3,3,3,3,3,3}	9	36	84	126	126	84	36	9	0
8-куб	{4,3,3,3,3,3,3}	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	0
8-ортоплекс	{3,3,3,3,3,3,4}	16	112	448	1120	1792	1792	1024	256	0

8-симплекс

8-куб

8-ортоплекс

9 размеров

Имя	Schläfli	Вершины	Края	Лица	Клетки	4 лица	5 лиц	6 лиц	7 лиц	8 лиц	χ
9-симплекс	{3^8}	10	45	120	210	252	210	120	45	10	2
9-куб	{4,3^7}	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18	2
9-ортоплекс	{3^7,4}	18	144	672	2016	4032	5376	4608	2304	512	2

9-симплекс

9-куб

9-ортоплекс

10 размеров

Имя	Schläfli	Вершины	Края	Лица	Клетки	4 лица	5 лиц	6 лиц	7 лиц	8 лиц	9 лиц	χ
10-симплекс	{3^9}	11	55	165	330	462	462	330	165	55	11	0
10-куб	{4,3^8}	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20	0
10-ортоплекс	{3^8,4}	20	180	960	3360	8064	13440	15360	11520	5120	1024	0

10-симплекс

10-куб

10-ортоплекс

...

Невыпуклый

Не существует невыпуклых правильных многогранников в пяти или более измерениях, за исключением осотопов, образованных из невыпуклых правильных многогранников меньшей размерности.

Правильные проективные многогранники

Проективный регулярный (п+1) -полигранник существует, когда исходный регулярный п-сферическая мозаика, {p, q, ...}, является центрально-симметричный. Такой многогранник называется hemi- {p, q, ...} и содержит вдвое меньше элементов. Кокстер дает символ {p, q, ...} / 2, а МакМаллен пишет {p, q, ...}_{ч / 2} с час как число Кокстера.^[10]

Равносторонний правильные многоугольники иметь полу-2n-угольные проективные многоугольники, {2p} / 2.

Есть 4 обычных проективные многогранники связанные с 4 из 5 Платоновы тела.

Полукуб и полуоктаэдр обобщаются как полу-п-кубики и полу-п-ортоплексы в любых размерах.

Правильные проективные многогранники

Трехмерные правильные гемиполитопы

Имя	Coxeter Макмаллен	Изображение	Лица	Края	Вершины	χ
Hemi-cube	{4,3}/2 {4,3}3		3	6	4	1
Полуоктаэдр	{3,4}/2 {3,4}3		4	6	3	1
Полудодекаэдр	{5,3}/2 {5,3}5		6	15	10	1
Полуикосаэдр	{3,5}/2 {3,5}5		10	15	6	1

Правильные проективные 4-многогранники

В 4-мерном пространстве 5 из 6 выпуклых правильных 4-многогранников порождают проективные 4-многогранники. Три особых случая: полу-24-элементный, полу-600-элементный и полу-120-элементный.

4-мерные правильные полу-многогранники

Имя	Coxeter символ	Макмаллен Символ	Клетки	Лица	Края	Вершины	χ
Hemi-тессеракт	{4,3,3}/2	{4,3,3}4	4	12	16	8	0
Hemi-16 ячеек	{3,3,4}/2	{3,3,4}4	8	16	12	4	0
Hemi-24-элементный	{3,4,3}/2	{3,4,3}6	12	48	48	12	0
Hemi-120 ячеек	{5,3,3}/2	{5,3,3}15	60	360	600	300	0
Hemi-600 ячеек	{3,3,5}/2	{3,3,5}15	300	600	360	60	0

Правильные проективные 5-многогранники

Есть только 2 выпуклых правильных проективных полу-многогранника размерности 5 и выше.

Имя	Schläfli	4 лица	Клетки	Лица	Края	Вершины	χ
полу-вторгаться	{4,3,3,3}/2	5	20	40	40	16	1
полу-пентакросс	{3,3,3,4}/2	16	40	40	20	5	1

Апейотопы

An апейотоп или же бесконечный многогранник это многогранник который имеет бесконечно много грани. An п-пейротоп - бесконечное п-полигон: 2-апейотоп или апейрогон - бесконечный многоугольник, 3-апейотоп или апейроэдр - бесконечный многогранник и т. д.

Существует два основных геометрических класса апейотопов:^[11]

• Обычный соты в п размеры, которые полностью заполняют п-мерное пространство.
• Обычный косые апейротопы, включающий п-мерное многообразие в высшем пространстве.

Одно измерение (апейрогоны)

Прямой апейрогон представляет собой регулярную мозаику линии, разделяющую ее на бесконечно много равных отрезков. У него бесконечно много вершин и ребер. Его Символ Шлефли есть {∞}, а диаграмма Кокстера .

......

Апейрогоны в гиперболическая плоскость, в первую очередь обычный апейрогон, {∞}, могут иметь кривизну, как и конечные многоугольники евклидовой плоскости, с вершинами, описанными орициклы или же гиперциклы скорее, чем круги.

Регулярные апейрогоны, которые масштабируются так, чтобы сходиться на бесконечности, имеют символ {∞} и существуют на орициклах, в то время как в более общем плане они могут существовать на гиперциклах.

{∞}	{πi / λ}
Апейрогон на орицикл	Апейрогон на гиперцикл

Выше два регулярных гиперболических апейрогона в Модель диска Пуанкаре, справа - перпендикулярные линии отражения расходящихся фундаментальные области, разделенные длиной λ.

Косые апейрогоны

Косой апейрогон в двух измерениях образует зигзагообразную линию на плоскости. Если зигзаг ровный и симметричный, то апейрогон правильный.

Косые апейрогоны могут быть построены в любом количестве измерений. В трех измерениях обычный косой апейрогон очерчивает спираль и может быть левым или правым.

2-х мерный	3-х мерный
Зигзагообразный апейрогон	Спираль апейрогон

Два измерения (апейроэдры)

Евклидовы мозаики

Есть три регулярных мозаики плоскости. У всех троих есть Эйлерова характеристика (χ) 0.

Имя	Квадратная плитка (кадриль)	Треугольная черепица (дельтиль)	Шестиугольная черепица (гексилль)
Симметрия	p4m, [4,4], (* 442)	p6m, [6,3], (* 632)
Schläfli {p, q}	{4,4}	{3,6}	{6,3}
Диаграмма Кокстера
Изображение

Есть два несобственных регулярных разбиения: {∞, 2}, апейрогональный диэдр, сделанный из двух апейрогоны, каждый заполняющий половину плоскости; а во-вторых, его двойственный, {2, ∞}, апейрогональный осоэдр, рассматриваемый как бесконечный набор параллельных линий.

{∞,2},

{2,∞},

Евклидовы звездные мозаики

Не существует регулярных плоских мозаик звездные многоугольники. Есть много перечислений, которые умещаются в плоскости (1 /п + 1/q = 1/2), например {8 / 3,8}, {10 / 3,5}, {5 / 2,10}, {12 / 5,12} и т. Д., Но ни один из них не повторяется периодически.

Гиперболические мозаики

Мозаики из гиперболическое 2-пространство находятся гиперболические мозаики. Регулярных мозаик в H². Как указано выше, каждая положительная пара целых чисел {п,q} такой, что 1 /п + 1/q <1/2 дает гиперболическое замощение. На самом деле для генерала Треугольник Шварца (п, q, р) то же самое верно и для 1 /п + 1/q + 1/р < 1.

Есть несколько различных способов отображения гиперболической плоскости, включая Модель диска Пуанкаре который отображает плоскость в круг, как показано ниже. Следует понимать, что все грани многоугольника в мозаиках ниже одинакового размера и только кажутся меньше по краям из-за примененной проекции, что очень похоже на эффект камеры. объектив рыбий глаз.

Существует бесконечно много плоских правильных 3-апейротопов (апейроэдров) как регулярных мозаик гиперболической плоскости вида {p, q}, где p + q вышеперечисленное как мозаики)

• {3,7}, {3,8}, {3,9} ... {3,∞}
• {4,5}, {4,6}, {4,7} ... {4,∞}
• {5,4}, {5,5}, {5,6} ... {5,∞}
• {6,4}, {6,5}, {6,6} ... {6,∞}
• {7,3}, {7,4}, {7,5} ... {7,∞}
• {8,3}, {8,4}, {8,5} ... {8,∞}
• {9,3}, {9,4}, {9,5} ... {9,∞}
• ...
• {∞,3}, {∞,4}, {∞,5} ... {∞,∞}

Выборка:

Регулярная гиперболическая мозаичная таблица [ v т е ]
Сферический (неправильный/Платонический)/Евклидово/ гиперболический (диск Пуанкаре: компактный/паракомпакт/некомпактный) тесселяции с их Символ Шлефли
р д	2	3	4	5	6	7	8	...	∞	...	iπ / λ
2	{2,2}	{2,3}	{2,4}	{2,5}	{2,6}	{2,7}	{2,8}		{2,∞}		{2, iπ / λ}
3	{3,2}	(тетраэдр ) {3,3}	(октаэдр ) {3,4}	(икосаэдр ) {3,5}	(дельтиль ) {3,6}	{3,7}	{3,8}		{3,∞}		{3, iπ / λ}
4	{4,2}	(куб ) {4,3}	(кадриль ) {4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}		{4,∞}		{4, iπ / λ}
5	{5,2}	(додекаэдр ) {5,3}	{5,4}	{5,5}	{5,6}	{5,7}	{5,8}		{5,∞}		{5, iπ / λ}
6	{6,2}	(гексилль ) {6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}		{6,∞}		{6, iπ / λ}
7	{7,2}	{7,3}	{7,4}	{7,5}	{7,6}	{7,7}	{7,8}		{7,∞}		{7, iπ / λ}
8	{8,2}	{8,3}	{8,4}	{8,5}	{8,6}	{8,7}	{8,8}		{8,∞}		{8, iπ / λ}
...
∞	{∞,2}	{∞,3}	{∞,4}	{∞,5}	{∞,6}	{∞,7}	{∞,8}	{∞,∞}	{∞, iπ / λ}
...
iπ / λ	{iπ / λ, 2}	{iπ / λ, 3}	{iπ / λ, 4}	{iπ / λ, 5}	{iπ / λ, 6}	{iπ / λ, 7}	{iπ / λ, 8}	{iπ / λ, ∞}	{iπ / λ, iπ / λ}

Гиперболические мозаики

Есть 2 бесконечные формы гиперболических мозаик, у которых лица или же фигуры вершин многоугольники в виде звезд: {м/2, м} и их двойники {м, м/ 2} с м = 7, 9, 11, .... {м/2, м} мозаики звёздчатые из {м, 3} мозаики, а {м, м/ 2} двойственные мозаики огранки из {3, м} мозаики и приветствия из {м, 3} мозаики.

The patterns {м/2, м} и {м, м/ 2} продолжить на нечетное м <7 как многогранники: когда м = 5, получаем малый звездчатый додекаэдр и большой додекаэдр, и когда м = 3, случай вырождается к тетраэдр. Два других многогранника Кеплера – Пуансо ( большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр ) не имеют аналогов регулярных гиперболических мозаик. Если м является четным, в зависимости от того, как мы решаем определить {м/ 2}, можно получить либо вырожденные двойные накрытия других мозаик, либо сложный мозаики.

Имя	Schläfli	Диаграмма Кокстера	Изображение	Тип лица {п}	Фигура вершины {q}	Плотность	Симметрия	Двойной
Гептаграмматическая плитка Order-7	{7/2,7}			{7/2}	{7}	3	*732 [7,3]	Гептаграмма семиугольной плитки
Гептаграмма семиугольной плитки	{7,7/2}			{7}	{7/2}	3	*732 [7,3]	Гептаграмматическая плитка Order-7
Эннеаграмматическая мозаика порядка 9	{9/2,9}			{9/2}	{9}	3	*932 [9,3]	Эннеагональная мозаика эннеаграмматического порядка
Эннеагональная мозаика эннеаграмматического порядка	{9,9/2}			{9}	{9/2}	3	*932 [9,3]	Эннеаграмматическая мозаика порядка 9
Заказ-11 хендкаграммная плитка	{11/2,11}			{11/2}	{11}	3	*11.3.2 [11,3]	Двенадцатиугольная черепица
Двенадцатиугольная черепица	{11,11/2}			{11}	{11/2}	3	*11.3.2 [11,3]	Заказ-11 хендкаграммная плитка
Заказ-п п-граммическая черепица	{п/2,п}			{п/2}	{п}	3	*п32 [стр, 3]	п-grammic-order п-угольная черепица
п-grammic-order п-угольная черепица	{п,п/2}			{п}	{п/2}	3	*п32 [стр, 3]	Заказ-п п-грамматическая черепица

Косые апейроэдры в трехмерном евклидовом пространстве

Есть три правильные косые апейроэдры в трехмерном евклидовом пространстве, с правильный косой многоугольник фигуры вершин.^[12][13][14] Они разделяют то же самое расположение вершин и расположение кромок из 3 выпуклые однородные соты.

• 6 квадратов вокруг каждой вершины: {4,6 | 4}
• 4 шестиугольника вокруг каждой вершины: {6,4 | 4}
• 6 шестиугольников вокруг каждой вершины: {6,6 | 3}

12 "чистых" апейроэдров в евклидовом трехмерном пространстве на основе структуры кубические соты, {4,3,4}.^[15] А π Петри Дуал оператор заменяет лица на многоугольники петри; δ - двойственный оператор, переворачивающий вершины и грани; φ_k это k-й оператор фасетирования; η - делающий пополам оператор, а σ - делающий пополам оператор.

Правильные косые многогранники
{4,6|4}	{6,4|4}	{6,6|3}

В трехмерном евклидовом пространстве тридцать правильных апейроэдров.^[16] К ним относятся перечисленные выше, а также 8 других «чистых» апейроэдров, все из которых связаны с кубическими сотами, {4,3,4}, с другими, имеющими перекос многоугольных граней: {6,6}₄, {4,6}₄, {6,4}₆, {∞,3}^а, {∞,3}^б, {∞,4}^.*3, {∞,4}_6,4, {∞,6}_4,4, и {∞, 6}_6,3.

Косые апейроэдры в трехмерном гиперболическом пространстве

Всего 31 правильные косые апейроэдры в гиперболическом 3-м пространстве:^[17]

• 14 компактны: {8,10 | 3}, {10,8 | 3}, {10,4 | 3}, {4,10 | 3}, {6,4 | 5}, {4,6 | 5 }, {10,6 | 3}, {6,10 | 3}, {8,8 | 3}, {6,6 | 4}, {10,10 | 3}, {6,6 | 5}, {8,6 | 3} и {6,8 | 3}.
• 17 паракомпактных: {12,10 | 3}, {10,12 | 3}, {12,4 | 3}, {4,12 | 3}, {6,4 | 6}, {4,6 | 6 }, {8,4 | 4}, {4,8 | 4}, {12,6 | 3}, {6,12 | 3}, {12,12 | 3}, {6,6 | 6}, {8,6 | 4}, {6,8 | 4}, {12,8 | 3}, {8,12 | 3} и {8,8 | 4}.

Три измерения (4-апейротопы)

Тесселяции евклидова 3-мерного пространства

Краевой каркас кубической соты, {4,3,4}

Существует только одна невырожденная регулярная мозаика трехмерного пространства (соты ), {4, 3, 4}:^[18]

Имя	Schläfli {p, q, r}	Coxeter	Клетка тип {p, q}	Лицо тип {п}	Край фигура {р}	Вершина фигура {q, r}	χ	Двойной
Кубические соты	{4,3,4}		{4,3}	{4}	{4}	{3,4}	0	Самодвойственный

Неправильная мозаика евклидова 3-мерного пространства

Обычные {2,4,4} соты, проецируемые в сферу.

Есть шесть неправильных регулярных мозаик, пар, основанных на трех правильных евклидовых мозаиках. Их клетки и фигуры вершин правильные. Hosohedra {2, n}, дигедра, {n, 2} и евклидовы мозаики. Эти неправильные регулярные мозаики конструктивно связаны с призматическими однородными сотами посредством операций усечения. Они являются многомерными аналогами апейрогональная мозаика порядка 2 и апейрогональный хозоэдр.

Schläfli {p, q, r}	Coxeter диаграмма	Клетка тип {p, q}	Лицо тип {п}	Край фигура {р}	Вершина фигура {q, r}
{2,4,4}		{2,4}	{2}	{4}	{4,4}
{2,3,6}		{2,3}	{2}	{6}	{3,6}
{2,6,3}		{2,6}	{2}	{3}	{6,3}
{4,4,2}		{4,4}	{4}	{2}	{4,2}
{3,6,2}		{3,6}	{3}	{2}	{6,2}
{6,3,2}		{6,3}	{6}	{2}	{3,2}

Мозаика гиперболического 3-мерного пространства

Есть десять плоских правильных сот гиперболического 3-пространства:^[19] (ранее вышеперечисленное как мозаики)

• 4 компактны: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4} и {5,3,5}
• а 6 - паракомпактные: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3, 6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} и {6,3,6}.

4 компактных обычных соты {5,3,4} {5,3,5} {4,3,5} {3,5,3}

4 из 11 паракомпактных обычных сот {3,4,4} {3,6,3} {4,4,3} {4,4,4}

Мозаики из гиперболическое 3-пространство можно назвать гиперболические соты. В H 15 гиперболических сот.³, 4 компактных и 11 паракомпактных.

4 компактных обычных соты

Имя	Schläfli Символ {p, q, r}	Coxeter	Клетка тип {p, q}	Лицо тип {п}	Край фигура {р}	Вершина фигура {q, r}	χ	Двойной
Икосаэдрические соты	{3,5,3}		{3,5}	{3}	{3}	{5,3}	0	Самодвойственный
Заказать-5 соты куб.	{4,3,5}		{4,3}	{4}	{5}	{3,5}	0	{5,3,4}
Порядок-4 додекаэдрические соты	{5,3,4}		{5,3}	{5}	{4}	{3,4}	0	{4,3,5}
Додекаэдрические соты порядка 5	{5,3,5}		{5,3}	{5}	{5}	{3,5}	0	Самодвойственный

Также есть 11 паракомпактных H³ соты (с бесконечными (евклидовыми) ячейками и / или вершинами): {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3 , 6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} и {6, 3,6}.

11 паракомпактных обычных сот

Имя	Schläfli Символ {p, q, r}	Coxeter	Клетка тип {p, q}	Лицо тип {п}	Край фигура {р}	Вершина фигура {q, r}	χ	Двойной
Сотовый четырехгранник Order-6	{3,3,6}		{3,3}	{3}	{6}	{3,6}	0	{6,3,3}
Шестиугольная черепичная сотовая конструкция	{6,3,3}		{6,3}	{6}	{3}	{3,3}	0	{3,3,6}
Орден-4 соты восьмигранные	{3,4,4}		{3,4}	{3}	{4}	{4,4}	0	{4,4,3}
Квадратная черепица сота	{4,4,3}		{4,4}	{4}	{3}	{4,3}	0	{3,3,4}
Треугольная черепица сотовая	{3,6,3}		{3,6}	{3}	{3}	{6,3}	0	Самодвойственный
Заказать-6 соты куб.	{4,3,6}		{4,3}	{4}	{4}	{3,4}	0	{6,3,4}
Гексагональные черепичные соты Order-4	{6,3,4}		{6,3}	{6}	{4}	{3,4}	0	{4,3,6}
Квадратная черепица Заказать-4 соты	{4,4,4}		{4,4}	{4}	{4}	{4,4}	0	{4,4,4}
Порядок-6 додекаэдрические соты	{5,3,6}		{5,3}	{5}	{5}	{3,5}	0	{6,3,5}
Гексагональные черепичные соты Order-5	{6,3,5}		{6,3}	{6}	{5}	{3,5}	0	{5,3,6}
Шестигранный черепичный сотовый заполнитель Order-6	{6,3,6}		{6,3}	{6}	{6}	{3,6}	0	Самодвойственный

Некомпактные решения существуют как Лоренцевы группы Кокстера, и может быть визуализирован с открытыми областями в гиперболическом пространстве (фундаментальный тетраэдр, некоторые части которого недоступны за бесконечностью). Все соты с гиперболическими ячейками или вершинами, не содержащие 2 в символе Шлефли, некомпактны.

Сферический (неправильный/Платонический)/Евклидово/ гиперболический (компактный/паракомпакт/ некомпактные) соты {p, 3, r}

{п,3} \ р	2	3	4	5	6	7	8	... ∞
{2,3}	{2,3,2}	{2,3,3}	{2,3,4}	{2,3,5}	{2,3,6}	{2,3,7}	{2,3,8}	{2,3,∞}
{3,3}	{3,3,2}	{3,3,3}	{3,3,4}	{3,3,5}	{3,3,6}	{3,3,7}	{3,3,8}	{3,3,∞}
{4,3}	{4,3,2}	{4,3,3}	{4,3,4}	{4,3,5}	{4,3,6}	{4,3,7}	{4,3,8}	{4,3,∞}
{5,3}	{5,3,2}	{5,3,3}	{5,3,4}	{5,3,5}	{5,3,6}	{5,3,7}	{5,3,8}	{5,3,∞}
{6,3}	{6,3,2}	{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{6,3,7}	{6,3,8}	{6,3,∞}
{7,3}	{7,3,2}	{7,3,3}	{7,3,4}	{7,3,5}	{7,3,6}	{7,3,7}	{7,3,8}	{7,3,∞}
{8,3}	{8,3,2}	{8,3,3}	{8,3,4}	{8,3,5}	{8,3,6}	{8,3,7}	{8,3,8}	{8,3,∞}
... {∞,3}	{∞,3,2}	{∞,3,3}	{∞,3,4}	{∞,3,5}	{∞,3,6}	{∞,3,7}	{∞,3,8}	{∞,3,∞}

{p, 4, r} {п,4} \ р 2 3 4 5 6 ∞ {2,4} {2,4,2} {2,4,3} {2,4,4} {2,4,5} {2,4,6} {2,4,∞} {3,4} {3,4,2} {3,4,3} {3,4,4} {3,4,5} {3,4,6} {3,4,∞} {4,4} {4,4,2} {4,4,3} {4,4,4} {4,4,5} {4,4,6} {4,4,∞} {5,4} {5,4,2} {5,4,3} {5,4,4} {5,4,5} {5,4,6} {5,4,∞} {6,4} {6,4,2} {6,4,3} {6,4,4} {6,4,5} {6,4,6} {6,4,∞} {∞,4} {∞,4,2} {∞,4,3} {∞,4,4} {∞,4,5} {∞,4,6} {∞,4,∞}

{p, 5, r} {п,5} \ р 2 3 4 5 6 ∞ {2,5} {2,5,2} {2,5,3} {2,5,4} {2,5,5} {2,5,6} {2,5,∞} {3,5} {3,5,2} {3,5,3} {3,5,4} {3,5,5} {3,5,6} {3,5,∞} {4,5} {4,5,2} {4,5,3} {4,5,4} {4,5,5} {4,5,6} {4,5,∞} {5,5} {5,5,2} {5,5,3} {5,5,4} {5,5,5} {5,5,6} {5,5,∞} {6,5} {6,5,2} {6,5,3} {6,5,4} {6,5,5} {6,5,6} {6,5,∞} {∞,5} {∞,5,2} {∞,5,3} {∞,5,4} {∞,5,5} {∞,5,6} {∞,5,∞}

{p, 6, r} {п,6} \ р 2 3 4 5 6 ∞ {2,6} {2,6,2} {2,6,3} {2,6,4} {2,6,5} {2,6,6} {2,6,∞} {3,6} {3,6,2} {3,6,3} {3,6,4} {3,6,5} {3,6,6} {3,6,∞} {4,6} {4,6,2} {4,6,3} {4,6,4} {4,6,5} {4,6,6} {4,6,∞} {5,6} {5,6,2} {5,6,3} {5,6,4} {5,6,5} {5,6,6} {5,6,∞} {6,6} {6,6,2} {6,6,3} {6,6,4} {6,6,5} {6,6,6} {6,6,∞} {∞,6} {∞,6,2} {∞,6,3} {∞,6,4} {∞,6,5} {∞,6,6} {∞,6,∞}

{п,7,р} {п,7} \ р 2 3 4 5 6 ∞ {2,7} {2,7,2} {2,7,3} {2,7,4} {2,7,5} {2,7,6} {2,7,∞} {3,7} {3,7,2} {3,7,3} {3,7,4} {3,7,5} {3,7,6} {3,7,∞} {4,7} {4,7,2} {4,7,3} {4,7,4} {4,7,5} {4,7,6} {4,7,∞} {5,7} {5,7,2} {5,7,3} {5,7,4} {5,7,5} {5,7,6} {5,7,∞} {6,7} {6,7,2} {6,7,3} {6,7,4} {6,7,5} {6,7,6} {6,7,∞} {∞,7} {∞,7,2} {∞,7,3} {∞,7,4} {∞,7,5} {∞,7,6} {∞,7,∞}

{p, 8, r} {п,8} \ р 2 3 4 5 6 ∞ {2,8} {2,8,2} {2,8,3} {2,8,4} {2,8,5} {2,8,6} {2,8,∞} {3,8} {3,8,2} {3,8,3} {3,8,4} {3,8,5} {3,8,6} {3,8,∞} {4,8} {4,8,2} {4,8,3} {4,8,4} {4,8,5} {4,8,6} {4,8,∞} {5,8} {5,8,2} {5,8,3} {5,8,4} {5,8,5} {5,8,6} {5,8,∞} {6,8} {6,8,2} {6,8,3} {6,8,4} {6,8,5} {6,8,6} {6,8,∞} {∞,8} {∞,8,2} {∞,8,3} {∞,8,4} {∞,8,5} {∞,8,6} {∞,8,∞}

{p, ∞, r} {п,∞} \ р 2 3 4 5 6 ∞ {2,∞} {2,∞,2} {2,∞,3} {2,∞,4} {2,∞,5} {2,∞,6} {2,∞,∞} {3,∞} {3,∞,2} {3,∞,3} {3,∞,4} {3,∞,5} {3,∞,6} {3,∞,∞} {4,∞} {4,∞,2} {4,∞,3} {4,∞,4} {4,∞,5} {4,∞,6} {4,∞,∞} {5,∞} {5,∞,2} {5,∞,3} {5,∞,4} {5,∞,5} {5,∞,6} {5,∞,∞} {6,∞} {6,∞,2} {6,∞,3} {6,∞,4} {6,∞,5} {6,∞,6} {6,∞,∞} {∞,∞} {∞,∞,2} {∞,∞,3} {∞,∞,4} {∞,∞,5} {∞,∞,6} {∞,∞,∞}

В H нет регулярных гиперболических звездчатых сот.³: все формы с правильным звездчатым многогранником в качестве ячейки, вершины или и того и другого в конечном итоге становятся сферическими.

Четыре измерения (5-апейотопы)

Тесселяции евклидова 4-мерного пространства

Есть три вида бесконечных регулярных мозаик (соты ), который может замощить евклидово четырехмерное пространство:

3 обычных евклидовых соты

Имя	Schläfli Символ {p, q, r, s}	Грань тип {p, q, r}	Клетка тип {p, q}	Лицо тип {п}	Лицо фигура {s}	Край фигура {г, с}	Вершина фигура {q, r, s}	Двойной
Тессерактические соты	{4,3,3,4}	{4,3,3}	{4,3}	{4}	{4}	{3,4}	{3,3,4}	Самодвойственный
16-ячеечные соты	{3,3,4,3}	{3,3,4}	{3,3}	{3}	{3}	{4,3}	{3,4,3}	{3,4,3,3}
24-ячеечные соты	{3,4,3,3}	{3,4,3}	{3,4}	{3}	{3}	{3,3}	{4,3,3}	{3,3,4,3}

Прогнозируемая часть {4,3,3,4} (Тессерактические соты)

Прогнозируемая часть {3,3,4,3} (16-ячеечные соты)

Прогнозируемая часть {3,4,3,3} (24-ячеечные соты)

Также есть два неправильных случая {4,3,4,2} и {2,4,3,4}.

Есть три плоских правильных соты евклидова 4-мерного пространства:^[18]

• {4,3,3,4}, {3,3,4,3} и {3,4,3,3}.

Есть семь плоских правильных выпуклых сот гиперболического 4-мерного пространства:^[19]

• 5 компактны: {3,3,3,5}, {5,3,3,3}, {4,3,3,5}, {5,3,3,4}, {5,3,3 , 5}
• 2 паракомпактны: {3,4,3,4} и {4,3,4,3}.

Есть четыре плоских правильных звездчатых соты гиперболического 4-пространства:^[19]

• {5 / 2,5,3,3}, {3,3,5,5 / 2}, {3,5,5 / 2,5} и {5,5 / 2,5,3}.

Мозаика гиперболического 4-мерного пространства

Есть семь выпуклых регулярных соты и четыре звезды-соты в H⁴ Космос.^[20] Пять выпуклых - компактные, два - паракомпактные.

Пять компактных обычных сот в H⁴:

5 компактных обычных сот

Имя	Schläfli Символ {p, q, r, s}	Грань тип {p, q, r}	Клетка тип {p, q}	Лицо тип {п}	Лицо фигура {s}	Край фигура {г, с}	Вершина фигура {q, r, s}	Двойной
5-ячеечные соты Order-5	{3,3,3,5}	{3,3,3}	{3,3}	{3}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	{5,3,3,3}
120-ячеечные соты	{5,3,3,3}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{3}	{3,3}	{3,3,3}	{3,3,3,5}
Тессерактические соты Order-5	{4,3,3,5}	{4,3,3}	{4,3}	{4}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	{5,3,3,4}
Заказать-4 120-ячеечные соты	{5,3,3,4}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{4}	{3,4}	{3,3,4}	{4,3,3,5}
Заказать-5 120-ячеечные соты	{5,3,3,5}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	Самодвойственный

Два паракомпактных обычных H⁴ соты: {3,4,3,4}, {4,3,4,3}.

2 паракомпактных обычных соты

Имя	Schläfli Символ {p, q, r, s}	Грань тип {p, q, r}	Клетка тип {p, q}	Лицо тип {п}	Лицо фигура {s}	Край фигура {г, с}	Вершина фигура {q, r, s}	Двойной
Заказать-4 24-ячеечные соты	{3,4,3,4}	{3,4,3}	{3,4}	{3}	{4}	{3,4}	{4,3,4}	{4,3,4,3}
Кубические соты соты	{4,3,4,3}	{4,3,4}	{4,3}	{4}	{3}	{4,3}	{3,4,3}	{3,4,3,4}

Некомпактные решения существуют как Лоренцевы группы Кокстера, и может быть визуализирован с открытыми областями в гиперболическом пространстве (основная 5-ячейка, некоторые части которой недоступны за бесконечностью). Все соты, которые не показаны в приведенных ниже таблицах и не имеют 2 в символе Шлефли, некомпактны.

Сферический/Евклидово/ гиперболический (компактный/паракомпакт/некомпактный) соты {p, q, r, s}
q = 3, s = 3 п р 3 4 5 3 {3,3,3,3} {3,3,4,3} {3,3,5,3} 4 {4,3,3,3} {4,3,4,3} {4,3,5,3} 5 {5,3,3,3} {5,3,4,3} {5,3,5,3}	д = 3, с = 4 п р 3 4 3 {3,3,3,4} {3,3,4,4} 4 {4,3,3,4} {4,3,4,4} 5 {5,3,3,4} {5,3,4,4}	q = 3, s = 5 п р 3 4 3 {3,3,3,5} {3,3,4,5} 4 {4,3,3,5} {4,3,4,5} 5 {5,3,3,5} {5,3,4,5}
д = 4, с = 3 п р 3 4 3 {3,4,3,3} {3,4,4,3} 4 {4,4,3,3} {4,4,4,3}	д = 4, с = 4 п р 3 4 3 {3,4,3,4} {3,4,4,4} 4 {4,4,3,4} {4,4,4,4}	q = 4, s = 5 п р 3 4 3 {3,4,3,5} {3,4,4,5} 4 {4,4,3,5} {4,4,4,5}

Звездные мозаики гиперболического 4-мерного пространства

В H четыре обычных звезды-соты.⁴ Космос:

4 компактных обычных звездообразных соты

Имя	Schläfli Символ {p, q, r, s}	Грань тип {p, q, r}	Клетка тип {p, q}	Лицо тип {п}	Лицо фигура {s}	Край фигура {г, с}	Вершина фигура {q, r, s}	Двойной	Плотность
Небольшие звездчатые соты на 120 ячеек	{5/2,5,3,3}	{5/2,5,3}	{5/2,5}	{5/2}	{3}	{3,3}	{5,3,3}	{3,3,5,5/2}	5
600-ячеечные соты пентаграммического порядка	{3,3,5,5/2}	{3,3,5}	{3,3}	{3}	{5/2}	{5,5/2}	{3,5,5/2}	{5/2,5,3,3}	5
Икосаэдрические 120-ячеечные соты Order-5	{3,5,5/2,5}	{3,5,5/2}	{3,5}	{3}	{5}	{5/2,5}	{5,5/2,5}	{5,5/2,5,3}	10
Отличные соты на 120 ячеек	{5,5/2,5,3}	{5,5/2,5}	{5,5/2}	{5}	{3}	{5,3}	{5/2,5,3}	{3,5,5/2,5}	10

Пять измерений (6-апейротопы)

Есть только одна плоская правильная сотовая структура евклидова 5-мерного пространства: (ранее вышеперечисленное как мозаики)^[18]

• {4,3,3,3,4}

Есть пять плоских правильных регулярных сот гиперболического 5-мерного пространства, все паракомпактные: (ранее вышеперечисленное как мозаики)^[19]

• {3,3,3,4,3}, {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,4,3,3,4} и { 4,3,3,4,3}

Тесселяции евклидова 5-мерного пространства

В гиперкубические соты - единственное семейство обычных сот, которое может тесселять каждое измерение, пять или больше, образованное гиперкуб граней, по четыре вокруг каждого гребень.

Имя	Schläfli {п1, п2, ..., пп−1}	Грань тип	Вершина фигура	Двойной
Квадратная плитка	{4,4}	{4}	{4}	Самодвойственный
Кубические соты	{4,3,4}	{4,3}	{3,4}	Самодвойственный
Тессерактические соты	{4,3^2,4}	{4,3^2}	{3^2,4}	Самодвойственный
5-кубовые соты	{4,3^3,4}	{4,3^3}	{3^3,4}	Самодвойственный
6-кубовые соты	{4,3^4,4}	{4,3^4}	{3^4,4}	Самодвойственный
7-кубовые соты	{4,3^5,4}	{4,3^5}	{3^5,4}	Самодвойственный
8-кубовые соты	{4,3^6,4}	{4,3^6}	{3^6,4}	Самодвойственный
н-гиперкубические соты	{4,3^п-2,4}	{4,3^п-2}	{3^п-2,4}	Самодвойственный

В E⁵, есть также неправильные случаи {4,3,3,4,2}, {2,4,3,3,4}, {3,3,4,3,2}, {2,3,3, 4,3}, {3,4,3,3,2} и {2,3,4,3,3}. В E^п, {4,3^п-3, 4,2} и {2,4,3^п-3, 4} всегда являются неправильными евклидовыми мозаиками.

Мозаика гиперболического 5-мерного пространства

В H есть 5 обычных сот.⁵, все паракомпакты, которые включают бесконечные (евклидовы) грани или фигуры вершин: {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,3,3,4,3} , {3,4,3,3,4} и {4,3,3,4,3}.

Не существует компактных регулярных мозаик в гиперболическом пространстве размерности 5 или выше и нет паракомпактных регулярных мозаик в гиперболическом пространстве размерности 6 или выше.

5 паракомпактных обычных сот

Имя	Schläfli Символ {p, q, r, s, t}	Грань тип {p, q, r, s}	4-гранный тип {p, q, r}	Клетка тип {p, q}	Лицо тип {п}	Клетка фигура {t}	Лицо фигура {s, t}	Край фигура {г, с, т}	Вершина фигура {q, r, s, t}	Двойной
5-ортоплексные соты	{3,3,3,4,3}	{3,3,3,4}	{3,3,3}	{3,3}	{3}	{3}	{4,3}	{3,4,3}	{3,3,4,3}	{3,4,3,3,3}
24-ячеечные соты	{3,4,3,3,3}	{3,4,3,3}	{3,4,3}	{3,4}	{3}	{3}	{3,3}	{3,3,3}	{4,3,3,3}	{3,3,3,4,3}
16-ячеечные соты	{3,3,4,3,3}	{3,3,4,3}	{3,3,4}	{3,3}	{3}	{3}	{3,3}	{4,3,3}	{3,4,3,3}	самодвойственный
Заказать-4 24-ячеечные соты	{3,4,3,3,4}	{3,4,3,3}	{3,4,3}	{3,4}	{3}	{4}	{3,4}	{3,3,4}	{4,3,3,4}	{4,3,3,4,3}
Сотовые соты Tesseractic	{4,3,3,4,3}	{4,3,3,4}	{4,3,3}	{4,3}	{4}	{3}	{4,3}	{3,4,3}	{3,3,4,3}	{3,4,3,3,4}

Поскольку нет штатной звезды п-политопы для п ≥ 5, это могут быть потенциальные клетки или фигуры вершин, в H больше нет гиперболических звездных сот^п за п ≥ 5.

6 размеров и выше (7-апейотопы +)

Мозаика гиперболического 6-го пространства и выше

Не существует регулярных компактных или паракомпактных мозаик гиперболического пространства размерности 6 и выше. Однако любой символ Шлефли вида {p, q, r, s, ...}, не описанный выше (p, q, r, s, ... натуральные числа выше 2 или бесконечности) сформирует некомпактную мозаику гиперболических п-Космос.

Составные многогранники

Основная статья: Состав многогранника

Двумерные соединения

Для любого натурального числа n существуют n-конечные правильные многоугольные звезды с символами Шлефли {n / m} для всех m таких, что m совмещать. Когда m и n не являются взаимно простыми, полученный звездообразный многоугольник будет правильным многоугольником с п/м стороны. Новая фигура получается вращением этих регулярных п/м-угольник на одну вершину влево на исходном многоугольнике, пока количество повернутых вершин не станет равным п/м минус один, и сложив эти цифры. Крайний случай - когда п/м равно 2, что дает цифру, состоящую из п/ 2 отрезка прямых; это называется выродиться звездный многоугольник.

В других случаях, когда п и м имеют общий фактор, звездообразный многоугольник для нижнего п получается, и повернутые версии могут быть объединены. Эти цифры называются звездные фигуры, неправильные звездчатые многоугольники или же составные многоугольники. То же обозначение {п/м} часто используется для них, хотя такие авторитетные источники, как Грюнбаум (1994), рассматривают (с некоторым правом) форму k{п} как более правильный, где обычно k = м.

Еще одна сложность возникает, когда мы соединяем два или более звездных многоугольника, как, например, две пентаграммы, различающиеся поворотом на 36 °, вписанные в десятиугольник. Это правильно записано в виде k{п/м}, как 2 {5/2}, а не обычно используемый {10/4}.

Расширенная запись Кокстера для соединений имеет вид c{м,п,...}[d{п,q,...}]е{s,т, ...}, указывая, что d отчетливый {п,q, ...} вместе покрывают вершины {м,п,...} c времена и грани {s,т,...} е раз. Если нет регулярных {м,п, ...} существует, первая часть обозначения удаляется, остается [d{п,q,...}]е{s,т, ...}; обратное верно, если нет регулярных {s,т,...} существуют. Двойной c{м,п,...}[d{п,q,...}]е{s,т,...} является е{т,s,...}[d{q,п,...}]c{п,м, ...}. Если c или же е равны 1, их можно не указывать. Для составных многоугольников это обозначение сводится к {нк}[k{п/м}]{нк}: например, гексаграмма можно записать таким образом как {6} [2 {3}] {6}.

Примеры для п=2..10, нк≤30

2{2}

3{2}

4{2}

5{2}

6{2}

7{2}

8{2}

9{2}

10{2}

11{2}

12{2}

13{2}

14{2}

15{2}

2{3}

3{3}

4{3}

5{3}

6{3}

7{3}

8{3}

9{3}

10{3}

2{4}

3{4}

4{4}

5{4}

6{4}

7{4}

2{5}

3{5}

4{5}

5{5}

6{5}

2{5/2}

3{5/2}

4{5/2}

5{5/2}

6{5/2}

2{6}

3{6}

4{6}

5{6}

2{7}

3{7}

4{7}

2{7/2}

3{7/2}

4{7/2}

2{7/3}

3{7/3}

4{7/3}

2{8}

3{8}

2{8/3}

3{8/3}

2{9}

3{9}

2{9/2}

3{9/2}

2{9/4}

3{9/4}

2{10}

3{10}

2{10/3}

3{10/3}

2{11}

2{11/2}

2{11/3}

2{11/4}

2{11/5}

2{12}

2{12/5}

2{13}

2{13/2}

2{13/3}

2{13/4}

2{13/5}

2{13/6}

2{14}

2{14/3}

2{14/5}

2{15}

2{15/2}

2{15/4}

2{15/7}

Регулярные перекосные многоугольники также создают соединения, видимые по краям призматическое соединение антипризм, например:

Правильный составной косой многоугольник

Сложный косые квадраты		Сложный косые шестиугольники	Сложный перекос декагонов
Два {2} # {}	Три {2} # {}	Два {3} # {}	Два {5/3} # {}

Трехмерные соединения

Соединение правильного многогранника можно определить как соединение, которое, как и правильный многогранник, вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный, и лицо переходный. Согласно этому определению существует 5 обычных соединений.

Симметрия	[4,3], Oчас	[5,3]^+, Я	[5,3], ячас
Двойственность	Самодвойственный			Двойные пары
Изображение
Сферический
Многогранники	2 {3,3}	5 {3,3}	10 {3,3}	5 {4,3}	5 {3,4}
Coxeter	{4,3} [2{3,3} ]{3,4}	{5,3} [5{3,3} ]{3,5}	2{5,3} [10{3,3} ]2{3,5}	2{5,3} [5{4,3} ]	[5{3,4} ]2{3,5}

Обозначения Кокстера для обычных соединений приведены в таблице выше, включая Символы Шлефли. Материал в квадратных скобках, [d{п,q}], обозначает компоненты соединения: d отдельный {п,q} s. Материал перед квадратные скобки обозначают расположение вершин соединения: c{м,п}[d{п,q}] представляет собой соединение d {п,q} разделяет вершины {м,п} подсчитано c раз. Материал после квадратные скобки обозначают расположение граней соединения: [d{п,q}]е{s,т} представляет собой соединение d {п,q} показывает лица {s,т} подсчитано е раз. Их можно комбинировать: таким образом c{м,п}[d{п,q}]е{s,т} представляет собой соединение d {п,q} разделяет вершины {м,п} подсчитано c раз и лица {s,т} подсчитано е раз. Это обозначение можно обобщить для соединений любого количества измерений.^[21]

Соединения евклидовой и гиперболической плоскости

Существует восемнадцать двухпараметрических семейств регулярных составных мозаик евклидовой плоскости. В гиперболической плоскости известно пять однопараметрических семейств и семнадцать отдельных случаев, но полнота этого списка еще не доказана.

Евклидовы и гиперболические составные семейства 2 {п,п} (4 ≤ п ≤ ∞, п целое число) аналогичны сферической Stella Octangula, 2 {3,3}.

Несколько примеров евклидовых и гиперболических регулярных соединений

Самодвойственный	Duals		Самодвойственный
2 {4,4}	2 {6,3}	2 {3,6}	2 {∞,∞}
{{4,4}} или {4,4} или {4,4} [2 {4,4}] {4,4} + или же	[2{6,3}]{3,6}	а {6,3} или {6,3} [2 {3,6}] + или же	{{∞, ∞}} или {∞, ∞} или {4, ∞} [2 {∞, ∞}] {∞, 4} + или же
	3 {6,3}	3 {3,6}	3 {∞,∞}
	2{3,6}[3{6,3}]{6,3}	{3,6}[3{3,6}]2{6,3} + +	+ +

Четырехмерные соединения

Ортогональные проекции

75 {4,3,3}	75 {3,3,4}

Coxeter перечисляет 32 правильных соединения правильных 4-многогранников в своей книге Правильные многогранники.^[22] Макмаллен добавляет шесть в своей статье Новые регулярные соединения 4-многогранников.^[23] В следующих таблицах верхний индекс (var) указывает, что меченые соединения отличаются от других соединений с такими же символами.

Самодуальные обычные соединения

Сложный	Учредительный	Симметрия	Расположение вершин	Расположение ячеек
120 {3,3,3}	5-элементный	[5,3,3], заказ 14400[22]	{5,3,3}	{3,3,5}
120 {3,3,3}^(var)	5-элементный	заказ 1200[23]	{5,3,3}	{3,3,5}
720 {3,3,3}	5-элементный	[5,3,3], заказ 14400[23]	6{5,3,3}	6{3,3,5}
5 {3,4,3}	24-элементный	[5,3,3], заказ 14400[22]	{3,3,5}	{5,3,3}

Обычные соединения как двойные пары

Соединение 1	Соединение 2	Симметрия	Расположение вершин (1)	Расположение ячеек (1)	Расположение вершин (2)	Расположение ячеек (2)
3 {3,3,4}[24]	3 {4,3,3}	[3,4,3], заказ 1152[22]	{3,4,3}	2{3,4,3}	2{3,4,3}	{3,4,3}
15 {3,3,4}	15 {4,3,3}	[5,3,3], заказ 14400[22]	{3,3,5}	2{5,3,3}	2{3,3,5}	{5,3,3}
75 {3,3,4}	75 {4,3,3}	[5,3,3], заказ 14400[22]	5{3,3,5}	10{5,3,3}	10{3,3,5}	5{5,3,3}
75 {3,3,4}	75 {4,3,3}	[5,3,3], заказ 14400[22]	{5,3,3}	2{3,3,5}	2{5,3,3}	{3,3,5}
75 {3,3,4}	75 {4,3,3}	заказ 600[23]	{5,3,3}	2{3,3,5}	2{5,3,3}	{3,3,5}
300 {3,3,4}	300 {4,3,3}	[5,3,3]^+, заказ 7200[22]	4{5,3,3}	8{3,3,5}	8{5,3,3}	4{3,3,5}
600 {3,3,4}	600 {4,3,3}	[5,3,3], заказ 14400[22]	8{5,3,3}	16{3,3,5}	16{5,3,3}	8{3,3,5}
25 {3,4,3}	25 {3,4,3}	[5,3,3], заказ 14400[22]	{5,3,3}	5{5,3,3}	5{3,3,5}	{3,3,5}

Есть два разных соединения из 75 тессерактов: одно имеет общие вершины со 120 ячейками, а другое - с вершинами с 600 ячейками. Отсюда сразу следует, что соответствующие двойные соединения 75 16-ячеек также различны.

Самодвойные звездные соединения

Сложный	Симметрия	Расположение вершин	Расположение ячеек
5 {5,5/2,5}	[5,3,3]^+, заказ 7200[22]	{5,3,3}	{3,3,5}
10 {5,5/2,5}	[5,3,3], заказ 14400[22]	2{5,3,3}	2{3,3,5}
5 {5/2,5,5/2}	[5,3,3]^+, заказ 7200[22]	{5,3,3}	{3,3,5}
10 {5/2,5,5/2}	[5,3,3], заказ 14400[22]	2{5,3,3}	2{3,3,5}

Обычные звездные соединения в виде двойных пар

Соединение 1	Соединение 2	Симметрия	Расположение вершин (1)	Расположение ячеек (1)	Расположение вершин (2)	Расположение ячеек (2)
5 {3,5,5/2}	5 {5/2,5,3}	[5,3,3]^+, заказ 7200[22]	{5,3,3}	{3,3,5}	{5,3,3}	{3,3,5}
10 {3,5,5/2}	10 {5/2,5,3}	[5,3,3], заказ 14400[22]	2{5,3,3}	2{3,3,5}	2{5,3,3}	2{3,3,5}
5 {5,5/2,3}	5 {3,5/2,5}	[5,3,3]^+, заказ 7200[22]	{5,3,3}	{3,3,5}	{5,3,3}	{3,3,5}
10 {5,5/2,3}	10 {3,5/2,5}	[5,3,3], заказ 14400[22]	2{5,3,3}	2{3,3,5}	2{5,3,3}	2{3,3,5}
5 {5/2,3,5}	5 {5,3,5/2}	[5,3,3]^+, заказ 7200[22]	{5,3,3}	{3,3,5}	{5,3,3}	{3,3,5}
10 {5/2,3,5}	10 {5,3,5/2}	[5,3,3], заказ 14400[22]	2{5,3,3}	2{3,3,5}	2{5,3,3}	2{3,3,5}

Еще четырнадцать частично обычный соединения, которые являются либо вершинно-транзитивными, либо клеточно-транзитивными, но не обоими одновременно. Семь частично регулярных соединений, транзитивных по вершине, являются двойниками семи частично регулярных соединений, транзитивных по отношению к клеткам.

Частично правильные соединения в виде двойных пар

Соединение 1 Вершинно-транзитивный	Соединение 2 Клеточно-транзитивный	Симметрия
2 16 ячеек[25]	2 тессеракты	[4,3,3], заказ 384[22]
25 24-элементный^(var)	25 24-элементный^(var)	заказ 600[23]
100 24-элементный	100 24-элементный	[5,3,3]^+, заказ 7200[22]
200 24-элементный	200 24-элементный	[5,3,3], заказ 14400[22]
5 600 ячеек	5 120 ячеек	[5,3,3]^+, заказ 7200[22]
10 600 ячеек	10 120 ячеек	[5,3,3], заказ 14400[22]

Частично правильные звездные соединения в виде двойных пар

Соединение 1 Вершинно-транзитивный	Соединение 2 Клеточно-транзитивный	Симметрия
5 {3,3,5/2}	5 {5/2,3,3}	[5,3,3]^+, заказ 7200[22]
10 {3,3,5/2}	10 {5/2,3,3}	[5,3,3], заказ 14400[22]

Хотя 5-элементный и 24-элементный оба являются самодвойственными, их двойные соединения ( соединение двух 5-ти ячеек и соединение двух 24-ячеек ) не считаются правильными, в отличие от соединения двух тетраэдров и различных двойственных многоугольников, потому что они не являются ни вершинно-правильными, ни клеточно-правильными: они не являются фасетками или звёздчатыми элементами любого правильного 4-многогранника.

Евклидовы 3-пространственные соединения

Единственные регулярные составные евклидовы соты представляют собой бесконечное семейство составных частей кубические соты, все вершины и грани разделяют с другой кубической сотой. Этот состав может иметь любое количество кубических сот. Обозначение Кокстера: {4,3,4} [d{4,3,4}]{4,3,4}.

Пять измерений и более высокие соединения

Не существует регулярных соединений в пяти или шести измерениях. Известны три семимерных соединения (16, 240 или 480 7-симплексы ) и шесть известных восьмимерных (16, 240 или 480 8-кубиков или же 8-ортоплексы ). Также есть одно соединение п-симплексы в п-мерное пространство при условии, что п на единицу меньше степени двойки, а также на два соединения (одно из п-кубики и дуальный из п-ортоплексы) в п-мерное пространство, если п это степень двойки.

Обозначения Кокстера для этих соединений (с использованием α^п = {3^п−1}, β^п = {3^п−2, 4}, γ_п = {4,3^п−2}:

• 7-симплексов: cγ₇[16cα₇]cβ₇, куда c = 1, 15 или 30
• 8-ортоплексы: cγ₈[16cβ₈]
• 8-кубов: [16cγ₈]cβ₈

Общие случаи (где п = 2^k и d = 2^{2k − k − 1}, k = 2, 3, 4, ...):

• Симплексы: γ_п−1[dα_п−1] β_п−1
• Ортоплексы: γ_п[dβ_п]
• Гиперкубы: [dγ_п] β_п

Евклидовы сотовые соединения

Известное семейство регулярных составных евклидовых сот в пяти или более измерениях представляет собой бесконечное семейство составных частей гиперкубические соты, все вершины и грани разделяются с другой гиперкубической сотой. Это соединение может иметь любое количество гиперкубических сот. Обозначение Кокстера δ_п[dδ_п] δ_п где δ_п = {∞}, когда п = 2 и {4,3^п−3, 4} когда п ≥ 3.

Абстрактные многогранники

В абстрактные многогранники возникли в результате попытки изучить многогранники отдельно от геометрического пространства, в которое они встроены. Они включают мозаику сферического, евклидова и гиперболического пространства, мозаику других коллекторы, и многие другие объекты, которые не имеют четко определенной топологии, но вместо этого могут характеризоваться своей «локальной» топологией. Их бесконечно много в каждом измерении. Видеть этот атлас за образец. Некоторые известные примеры абстрактных регулярных многогранников, которые не встречаются в других местах этого списка, - это 11-элементный, {3,5,3}, а 57 ячеек, {5,3,5}, которые имеют правильные проективные многогранники в качестве клеток и вершинных фигур.

Элементами абстрактного многогранника являются его тело (максимальный элемент), его грани, ребра, вершины и нулевой многогранник или пустой набор. Эти абстрактные элементы могут быть отображены в обычном пространстве или осуществленный как геометрические фигуры. Некоторые абстрактные многогранники имеют правильную форму или форму. верный реализации, другие нет. А флаг представляет собой связный набор элементов каждого измерения - для многогранника, который является телом, гранью, ребром грани, вершиной ребра и нулевым многогранником. Абстрактный многогранник называется обычный если его комбинаторные симметрии транзитивны на его флагах, т. е. что любой флаг может быть отображен на любой другой при симметрии многогранника. Абстрактные правильные многогранники остаются активной областью исследований.

Пять таких правильных абстрактных многогранников, которые невозможно точно реализовать, были выделены Х. С. М. Коксетер в его книге Правильные многогранники (1977) и снова Дж. М. Уиллс в его статье «Комбинаторно правильные многогранники индекса 2» (1987).^[26] Все они топологически эквивалентны тороиды. Их конструкция, устроив п грани вокруг каждой вершины, могут повторяться бесконечно как мозаики гиперболическая плоскость. На диаграммах ниже изображения гиперболических мозаик имеют цвета, соответствующие цветам изображений многогранников.

Многогранник	Медиальный ромбический триаконтаэдр	Додекадодекаэдр	Медиальный триамбический икосаэдр	Дитригональный додекадодекаэдр	Раскопанный додекаэдр
Фигура вершины	{5}, {5/2}	(5.5/2)^2	{5}, {5/2}	(5.5/3)^3
Лица	30 ромбов	12 пятиугольников 12 пентаграмм	20 шестиугольников	12 пятиугольников 12 пентаграмм	20 гексаграмм
Плитка	{4, 5}	{5, 4}	{6, 5}	{5, 6}	{6, 6}
χ	−6	−6	−16	−16	−20

Они появляются как двойные пары следующим образом:

• В средний ромбический триаконтаэдр и додекадодекаэдр двойственны друг другу.
• В медиальный триамбический икосаэдр и дитригональный додекадодекаэдр двойственны друг другу.
• В раскопанный додекаэдр самодуальна.

Смотрите также

• Многоугольник
  • Правильный многоугольник
  • Звездный многоугольник
• Многогранник
  • Правильный многогранник (5 обычных Платоновы тела и 4 Тела Кеплера – Пуансо )
    • Равномерный многогранник
• 4-многогранник
  • Правильный 4-многогранник (16 правильных 4-многогранников, 4 выпуклых и 10 звездных (Шлефли – Гесса))
  • Равномерный 4-многогранник
• Мозаика
  • Замощения правильных многоугольников
  • Выпуклые однородные соты
• Правильный многогранник
  • Равномерный многогранник
• Регулярная карта (теория графов)

Примечания

1. Кокстер (1973), п. 129.
2. Макмаллен и Шульте (2002), п. 30.
3. Джонсон, Н.В. (2018). «Глава 11: Конечные группы симметрии». Геометрии и преобразования. 11.1 Многогранники и соты, стр. 224. ISBN  978-1-107-10340-5.
4. Кокстер (1973), п. 120.
5. Кокстер (1973), п. 124.
6. Дункан, Хью (28 сентября 2017 г.). «Между квадратным камнем и твердым пятиугольником: дробные многоугольники». мел.
7. Кокстер (1973) С. 66-67.
8. Аннотации (PDF). Выпуклые и абстрактные многогранники (19–21 мая 2005 г.) и День многогранников в Калгари (22 мая 2005 г.).
9. Кокстер (1973), Таблица I: Правильные многогранники, (iii) Три правильных многогранника в п размеры (n> = 5), стр. 294–295.
10. Макмаллен и Шульте (2002), "Проективные правильные многогранники 6C" с. 162-165.
11. Грюнбаум Б. (1977). «Правильные многогранники - старые и новые». Aeqationes mathematicae. 16: 1–20. Дои:10.1007 / BF01836414.
12. Кокстер, H.S.M. (1938). "Правильные косые многогранники в трех и четырех измерениях". Proc. Лондонская математика. Soc. 2. 43: 33–62. Дои:10.1112 / плмс / с2-43.1.33.
13. Кокстер, H.S.M. (1985). «Правильные и полурегулярные многогранники II». Mathematische Zeitschrift. 188: 559–591. Дои:10.1007 / BF01161657.
14. Конвей, Джон Х .; Берджел, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (2008). «Глава 23: Объекты с первичной симметрией, бесконечные платоновы многогранники». Симметрии вещей. Тейлор и Фрэнсис. С. 333–335. ISBN  978-1-568-81220-5.
15. Макмаллен и Шульте (2002), п. 224.
16. Макмаллен и Шульте (2002), Раздел 7E.
17. Гарнер, C.W.L. (1967). «Правильные косые многогранники в трехмерном гиперболическом пространстве». Может. J. Math. 19: 1179–1186. Примечание: в его статье говорится, что их 32, но один самодуальный, остается 31.
18. Кокстер (1973), Таблица II: Обычные соты, стр. 296.
19. Кокстер (1999), «Глава 10».
20. Кокстер (1999), "Глава 10" Таблица IV, стр. 213.
21. Кокстер (1973), п. 48.
22. Кокстер (1973). Таблица VII, стр. 305
23. Макмаллен (2018).
24. Клитцинг, Ричард. «Равномерный составной звездчатый икоситетрахорон».
25. Клитцинг, Ричард. «Единый составной демидистессеракт».
26. Дэвид А. Рихтер. "Правильные многогранники (индекса два)".

Рекомендации

• Кокстер, Х. С. М. (1999), "Глава 10: Регулярные соты в гиперболическом пространстве", Красота геометрии: двенадцать эссе, Mineola, NY: Dover Publications, Inc., стр. 199–214, ISBN  0-486-40919-8, LCCN  99035678, МИСТЕР  1717154. См., В частности, сводные таблицы II, III, IV, V, стр. 212–213.
  • Первоначально опубликовано в Кокстер, Х. С. М. (1956), «Обычные соты в гиперболическом пространстве» (PDF), Труды Международного конгресса математиков, 1954, Амстердам, III, Амстердам: North-Holland Publishing Co., стр. 155–169, МИСТЕР  0087114, заархивировано из оригинал (PDF) на 2015-04-02.
• Кокстер, Х. С. М. (1973) [1948]. Правильные многогранники (Третье изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  0-486-61480-8. МИСТЕР  0370327. OCLC  798003. См., В частности, Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296.
• Джонсон, Норман В. (2012), «Правильные инверсивные многогранники» (PDF), Международная конференция по математике расстояний и приложениям (2–5 июля 2012 г., Варна, Болгария), стр. 85–95 Документ 27
• Макмаллен, Питер; Шульте, Эгон (2002), Абстрактные правильные многогранники, Энциклопедия математики и ее приложений, 92, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, Дои:10.1017 / CBO9780511546686, ISBN  0-521-81496-0, МИСТЕР  1965665
• Макмаллен, Питер (2018), «Новые регулярные соединения 4-многогранников», Новые тенденции в интуитивной геометрии, 27: 307–320, Дои:10.1007/978-3-662-57413-3_12.
• Нельсон, Ройс; Сегерман, Генри (2015). «Визуализация гиперболических сот». arXiv:1511.02851. hyperbolichoneycombs.org/
• Соммервилл, Д. М. Я. (1958), Введение в геометрию п Размеры, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., МИСТЕР  0100239. Перепечатка изд. 1930 г., изданного Э. П. Даттоном. См., В частности, главу X: Правильные многогранники.

внешняя ссылка

• Платоновы тела
• Многогранники Кеплера-Пуансо
• Развертывание регулярных 4d-многогранников
• Многомерный глоссарий (см. Гексакозихорон и Гекатоникосахорон)
• Средство просмотра многогранников
• Многогранники и оптимальная упаковка p точек в n мерных сферах
• Атлас малых правильных многогранников
• Правильные многогранники во времени И. Хабард, Многогранники, карты и их симметрии
• Правильные звездные многогранники, Нан Ма

Фундаментальный выпуклый обычный и однородные многогранники в размерах 2–10
Семья	Ап	Bп	я2(п) / Dп	E6 / E7 / E8 / F4 / грамм2	ЧАСп
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-угольник	Шестиугольник	Пентагон
Равномерный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный 4-многогранник	5-элементный	16 ячеек • Тессеракт	Demitesseract	24-элементный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-полукуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-полукуб	122 • 221
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-полукуб	132 • 231 • 321
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-полукруглый	142 • 241 • 421
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-полукуб
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-полукуб
Униформа п-многогранник	п-симплекс	п-ортоплекс • п-куб	п-полукуб	1k2 • 2k1 • k21	п-пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений

Фундаментальный выпуклый обычный и однородные соты в размерах 2-9
Космос	Семья	${\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$ / ${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$ / ${\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}$
E^2	Равномерная черепица	{3^[3]}	δ3	hδ3	qδ3	Шестиугольный
E^3	Равномерно выпуклые соты	{3^[4]}	δ4	hδ4	qδ4
E^4	Равномерные 4-соты	{3^[5]}	δ5	hδ5	qδ5	24-ячеечные соты
E^5	Равномерные 5-соты	{3^[6]}	δ6	hδ6	qδ6
E^6	Равномерные 6-соты	{3^[7]}	δ7	hδ7	qδ7	222
E^7	Равномерные 7-соты	{3^[8]}	δ8	hδ8	qδ8	133 • 331
E^8	Равномерные 8-соты	{3^[9]}	δ9	hδ9	qδ9	152 • 251 • 521
E^9	Равномерные 9-соты	{3^[10]}	δ10	hδ10	qδ10
Eп-1	Униформа (п-1)-соты	{3^[n]}	δп	hδп	qδп	1k2 • 2k1 • k21