Икосаэдрические соты - Icosahedral honeycomb

Икосаэдрические соты
Модель диска Пуанкаре
Тип	Гиперболические обычные соты Равномерные гиперболические соты
Символ Шлефли	{3,5,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	{3,5}
Лица	треугольник {3}
Край фигура	треугольник {3}
Фигура вершины	додекаэдр
Двойной	Самодвойственный
Группа Кокстера	${displaystyle {overline {J}}_{3}}$, [3,5,3]
Характеристики	Обычный

В икосаэдрические соты является одним из четырех компактных регулярных пространств, заполняющих мозаика (или же соты ) в гиперболическое 3-пространство. С Символ Шлефли {3,5,3}, всего три икосаэдры вокруг каждого ребра и 12 икосаэдров вокруг каждой вершины в правильном додекаэдр вершина фигуры.

А геометрические соты это заполнение пространства из многогранник или многомерный клетки, чтобы не было зазоров. Это пример более общего математического черепица или же мозаика в любом количестве измерений.

Соты обычно строятся из обычных Евклидово ("плоское") пространство, как и выпуклые однородные соты. Они также могут быть построены в неевклидовы пространства, Такие как гиперболические однородные соты. Любой конечный равномерный многогранник можно спроецировать на его окружающая сфера образовывать однородные соты в сферическом пространстве.

Описание

В двугранный угол из правильный икосаэдр составляет около 138,2 °, поэтому невозможно уместить три икосаэдра вокруг ребра в трехмерном евклидовом пространстве. Однако в гиперболическом пространстве икосаэдры с правильным масштабированием могут иметь двугранные углы ровно 120 градусов, поэтому три из них могут умещаться вокруг ребра.

Соты в перспективе за пределами диска модели Пуанкаре

Связанные обычные соты

В трехмерном гиперболическом пространстве есть четыре регулярных компактных соты:

Четыре обычных компактных соты в H³

{5,3,4}

{4,3,5}

{3,5,3}

{5,3,5}

Связанные регулярные многогранники и соты

Это член последовательности регулярная полихора и соты {3,п, 3} с дельтраэдрический клетки:

{3,п, 3} многогранники
Космос	S^3		ЧАС^3
Форма	Конечный		Компактный	Паракомпакт	Некомпактный
{3,п,3}	{3,3,3}	{3,4,3}	{3,5,3}	{3,6,3}	{3,7,3}	{3,8,3}	... {3,∞,3}
Изображение
Клетки	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}
Вершина фигура	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Он также является членом последовательности регулярная полихора и соты {п,5,п}, с фигуры вершин состоит из пятиугольников:

{п,5,п} обычные соты
Космос	ЧАС^3
Форма	Паракомпакт	Некомпактный
Имя	{3,5,3}	{4,5,4}	{5,5,5}	{6,5,6}	{7,5,7}	{8,5,8}	...{∞,5,∞}
Изображение
Клетки {п,5}	{3,5}	{4,5}	{5,5}	{6,5}	{7,5}	{8,5}	{∞,5}
Вершина фигура {5,п}	{5,3}	{5,4}	{5,5}	{5,6}	{5,7}	{5,8}	{5,∞}

Равномерные соты

Есть девять однородных сот в [3,5,3] Группа Кокстера семья, включая эту обычную форму, а также усеченный битами форма, т_1,2{3,5,3}, , также называемый усеченные додекаэдрические соты, каждая из ячеек которого усеченные додекаэдры.

[3,5,3] семья соты

{3,5,3}	т1{3,5,3}	т0,1{3,5,3}	т0,2{3,5,3}	т0,3{3,5,3}
	т1,2{3,5,3}	т0,1,2{3,5,3}	т0,1,3{3,5,3}	т0,1,2,3{3,5,3}

Ректифицированные икосаэдрические соты

Ректифицированные икосаэдрические соты
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	r {3,5,3} или t1{3,5,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	г {3,5} {5,3}
Лица	треугольник {3} пятиугольник {5}
Фигура вершины	треугольная призма
Группа Кокстера	${displaystyle {overline {J}}_{3}}$, [3,5,3]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберный транзитивный

В ректифицированные икосаэдрические соты, т₁{3,5,3}, , имеет чередующиеся додекаэдр и икосододекаэдр ячейки, с треугольная призма фигура вершины:

Перспективные прогнозы из центра Модель диска Пуанкаре

Связанные соты

Всего существует четыре выпрямленных компактных обычных соты:

Четыре выпрямленных обычных компактных сот в H³

Изображение
Символы	г {5,3,4}	г {4,3,5}	г {3,5,3}	г {5,3,5}
Вершина фигура

Усеченные икосаэдрические соты

Усеченные икосаэдрические соты
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	т {3,5,3} или т0,1{3,5,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	т {3,5} {5,3}
Лица	пятиугольник {5} шестиугольник {6}
Фигура вершины	треугольная пирамида
Группа Кокстера	${displaystyle {overline {J}}_{3}}$, [3,5,3]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

В усеченные икосаэдрические соты, т_0,1{3,5,3}, , имеет чередующиеся додекаэдр и усеченный икосаэдр ячейки, с треугольная пирамида фигура вершины.

Связанные соты

Четыре усеченных обычных компактных соты в H³

Изображение
Символы	т {5,3,4}	т {4,3,5}	т {3,5,3}	т {5,3,5}
Вершина фигура

Усеченные икосаэдрические соты

Усеченные икосаэдрические соты
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	2т {3,5,3} или т1,2{3,5,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	т {5,3}
Лица	треугольник {3} десятиугольник {10}
Фигура вершины	тетрагональный дисфеноид
Группа Кокстера	${displaystyle 2 imes {overline {J}}_{3}}$, [[3,5,3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберный, клеточно-транзитивный

В усеченные икосаэдрические соты, т_1,2{3,5,3}, , имеет усеченный додекаэдр ячейки с тетрагональный дисфеноид фигура вершины.

Связанные соты

Три усеченных компактной соты в H³

Изображение
Символы	2т {4,3,5}	2т {3,5,3}	2т {5,3,5}
Вершина фигура

Скошенные икосаэдрические соты

Скошенные икосаэдрические соты
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	rr {3,5,3} или t0,2{3,5,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	р-р {3,5} г {5,3} {} x {3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} пятиугольник {5}
Фигура вершины	клин
Группа Кокстера	${displaystyle {overline {J}}_{3}}$, [3,5,3]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

В скошенные икосаэдрические соты, т_0,2{3,5,3}, , имеет ромбикосододекаэдр, икосододекаэдр, и треугольная призма ячейки, с клин фигура вершины.

Связанные соты

Четыре скошенных регулярных компактных сот в H^3
Изображение Символы рр {5,3,4} рр {4,3,5} рр {3,5,3} рр {5,3,5} Вершина фигура

Сота с усеченным икосаэдром

Сота с усеченным икосаэдром
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	tr {3,5,3} или t0,1,2{3,5,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	tr {3,5} т {5,3} {} x {3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6} десятиугольник {10}
Фигура вершины	зеркальная клиновидная кость
Группа Кокстера	${displaystyle {overline {J}}_{3}}$, [3,5,3]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

В усеченные икосаэдрические соты, т_0,1,2{3,5,3}, , имеет усеченный икосододекаэдр, усеченный додекаэдр, и треугольная призма ячейки, с зеркальная клиновидная кость вершина фигуры.

Связанные соты

Четыре усеченных обычных компактных сот в H³

Изображение
Символы	tr {5,3,4}	tr {4,3,5}	tr {3,5,3}	тр {5,3,5}
Вершина фигура

Ячеистые икосаэдрические соты

Ячеистые икосаэдрические соты
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	т0,3{3,5,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	{3,5} {}×{3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4}
Фигура вершины	пятиугольная антипризма
Группа Кокстера	${displaystyle 2 imes {overline {J}}_{3}}$, [[3,5,3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберный транзитивный

В ячеистые икосаэдрические соты, т_0,3{3,5,3}, , имеет икосаэдр и треугольная призма ячейки, с пятиугольная антипризма фигура вершины.

Вид из центра треугольной призмы

Связанные соты

Три плоских регулярных компактных соты в H³

Изображение
Символы	т0,3{4,3,5}	т0,3{3,5,3}	т0,3{5,3,5}
Вершина фигура

Усеченные икосаэдрические соты

Усеченные икосаэдрические соты
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	т0,1,3{3,5,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	т {3,5} р-р {3,5} {}×{3} {}×{6}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} пятиугольник {5} шестиугольник {6}
Фигура вершины	равнобедренно-трапециевидный пирамида
Группа Кокстера	${displaystyle {overline {J}}_{3}}$, [3,5,3]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

В усеченные икосаэдрические соты, т_0,1,3{3,5,3}, , имеет усеченный икосаэдр, ромбикосододекаэдр, шестиугольная призма, и треугольная призма ячейки, с равнобедренно-трапециевидный пирамида вершина фигуры.

В соты с гантелями эквивалентно усеченным икосаэдрическим сотам.

Вид из центра треугольной призмы

Связанные соты

Четыре ряда усеченных обычных компактных сот в H^3
Изображение Символы т0,1,3{5,3,4} т0,1,3{4,3,5} т0,1,3{3,5,3} т0,1,3{5,3,5} Вершина фигура

Усеченные икосаэдрические соты

Усеченные икосаэдрические соты
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	т0,1,2,3{3,5,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	tr {3,5} {}×{6}
Лица	квадрат {4} шестиугольник {6} двенадцатигранник {10}
Фигура вершины	филлический дисфеноид
Группа Кокстера	${displaystyle 2 imes {overline {J}}_{3}}$, [[3,5,3]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

В усеченные икосаэдрические соты, т_0,1,2,3{3,5,3}, , имеет усеченный икосододекаэдр и шестиугольная призма ячейки, с филлический дисфеноид фигура вершины.

По центру шестиугольной призмы

Связанные соты

Три полностью усеченных обычных компактных соты в H^3
Изображение Символы т0,1,2,3{4,3,5} т0,1,2,3{3,5,3} т0,1,2,3{5,3,5} Вершина фигура

Омниснуб икосаэдрические соты

Омниснуб икосаэдрические соты
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	ч (т0,1,2,3{3,5,3})
Диаграмма Кокстера
Клетки	ср {3,5} с {2,3} irr. {3,3}
Лица	треугольник {3} пятиугольник {5}
Фигура вершины
Группа Кокстера	[[3,5,3]]^+
Характеристики	Вершинно-транзитивный

В омниснуб икосаэдрические соты, ч (т_0,1,2,3{3,5,3}), , имеет курносый додекаэдр, октаэдр, и тетраэдр ячеек, с неправильной фигурой вершины. это вершинно-транзитивный, но нельзя сделать с однородными ячейками.

Частично уменьшенные икосаэдрические соты

Частично уменьшенные икосаэдрические соты Икосаэдрические соты с парабидуменьшением
Тип	Равномерные соты
Символ Шлефли	pd {3,5,3}
Диаграмма Кокстера	-
Клетки	{5,3} с {2,5}
Лица	треугольник {3} пятиугольник {5}
Фигура вершины	тетраэдрически уменьшенный додекаэдр
Группа Кокстера	^1/5[3,5,3]^+
Характеристики	Вершинно-транзитивный

В частично уменьшенные икосаэдрические соты или же парабидуменьшенный икосаэдр соты, pd {3,5,3}, - однородные соты, не относящиеся к Витоффу с додекаэдр и пятиугольная антипризма ячейки, с тетраэдрически уменьшенный додекаэдр фигура вершины. Ячейки икосаэдра {3,5,3} являются уменьшился в противоположных вершинах (парабидимулирует), оставляя пятиугольная антипризма (парабидоусиленный икосаэдр ) core и создание новых ячеек додекаэдра сверху и снизу.^[1][2]

Смотрите также

• Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве
• Регулярные мозаики гиперболического 3-мерного пространства
• Пространство Зейферта – Вебера
• 11-элементный - An абстрактный регулярный полихорон который разделяет {3,5,3} Символ Шлефли.

Рекомендации

1. Венди Ю. Кригер, Стены и мосты: вид из шести измерений, Симметрия: культура и наука Том 16, номер 2, страницы 171–192 (2005) [1] В архиве 2013-10-07 в Wayback Machine
2. http://www.bendwavy.org/klitzing/incmats/pt353.htm

• Coxeter, Правильные многогранники, 3-й. изд., Dover Publications, 1973. ISBN  0-486-61480-8. (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
• Coxeter, Красота геометрии: двенадцать эссе, Dover Publications, 1999 г. ISBN  0-486-40919-8 (Глава 10: Обычные соты в гиперболическом пространстве, Сводные таблицы II, III, IV, V, стр. 212-213)
• Норман Джонсон Равномерные многогранники, Рукопись
  • N.W. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот, Кандидат наук. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
  • N.W. Джонсон: Геометрии и преобразования, (2018) Глава 13: Гиперболические группы Кокстера
• Клитцинг, Ричард. "Гиперболические соты H3 гиперболическая мозаика икосаэдра 3-го порядка".