Равнобедренная трапеция - Isosceles trapezoid

Равнобедренная трапеция
Равнобедренная трапеция с осью симметрии
Тип	четырехугольник, трапеция
Края и вершины	4
Группа симметрии	Dih2, [], (*), порядок 2
Двойной многоугольник	летающий змей
Характеристики	выпуклый, циклический

В Евклидова геометрия, равнобедренная трапеция (равнобедренная трапеция в Британский английский ) это выпуклый четырехугольник с линией симметрия разделив пополам одну пару противоположных сторон. Это частный случай трапеция. В качестве альтернативы его можно определить как трапеция в котором обе ноги и оба базовых угла имеют одинаковую меру.^[1] Обратите внимание, что непрямоугольный параллелограмм не является равнобедренной трапецией из-за второго условия или из-за отсутствия линии симметрии. В любой равнобедренной трапеции две противоположные стороны (основания) равны параллельно, а две другие стороны (ноги) имеют равную длину (свойства, общие с параллелограмм ). Диагонали тоже одинаковой длины. Базовые углы равнобедренной трапеции равны в меру (на самом деле есть две пары равных базовых углов, где один базовый угол является дополнительный угол базового уголка на другом основании).

Особые случаи

Частные случаи равнобедренного сустава трапеции

Прямоугольники и квадраты обычно считаются частным случаем равнобедренных трапеций, хотя некоторые источники исключают их.^[2]

Другой частный случай - это 3-х равнопрочная трапеция, иногда известный как трехсторонняя трапеция^[3] или трехобедренная трапеция.^[4] Их также можно увидеть в разрезе правильные многоугольники 5 или более сторон как усечение 4 последовательных вершин.

Самопересечения

Любой несамопересечение четырехугольник ровно с одной осью симметрии должна быть либо равнобедренная трапеция, либо летающий змей.^[5] Однако, если пересечения разрешены, набор симметричных четырехугольников должен быть расширен, чтобы включить в него также скрещенные равнобедренные трапеции, скрещенные четырехугольники, у которых скрещенные стороны имеют равную длину, а другие стороны параллельны, и антипараллелограммы, скрещенные четырехугольники, у которых противоположные стороны имеют одинаковую длину.

Каждый антипараллелограмм имеет равнобедренную трапецию в качестве выпуклый корпус, и может быть образован из диагоналей и непараллельных сторон равнобедренной трапеции.^[6]

Выпуклый равнобедренный трапеция	Скрещенные равнобедренные трапеция	антипараллелограмм

Характеристики

Если четырехугольник известен как трапеция, это нет Достаточно просто проверить, что ноги имеют одинаковую длину, чтобы знать, что это равнобедренная трапеция, поскольку ромб представляет собой частный случай трапеции с ногами равной длины, но не является равнобедренной трапецией, поскольку в ней отсутствует линия симметрии, проходящая через середины противоположных сторон.

Любое из следующих свойств отличает равнобедренную трапецию от других трапеций:

• Диагонали одинаковой длины.
• Базовые углы имеют такую ​​же меру.
• Отрезок, соединяющий середины параллельных сторон, перпендикулярен им.
• Противоположные углы являются дополнительными, что, в свою очередь, означает, что равнобедренные трапеции циклические четырехугольники.
• Диагонали делят друг друга на отрезки попарно равной длины; с точки зрения изображения ниже, AE = DE, БЫТЬ = CE (и AE ≠ CE если нужно исключить прямоугольники).

Углы

В равнобедренной трапеции базовые углы попарно имеют одинаковую меру. На картинке ниже углы ∠ABC и ∠DCB находятся тупой углы той же меры, а углы ∠ПЛОХО и ∠CDA находятся острые углы, также той же меры.

Поскольку линии ОБЪЯВЛЕНИЕ и до н.э параллельны, углы, примыкающие к противоположным основаниям, равны дополнительный, то есть углы ∠ABC + ∠ПЛОХО = 180°.

Диагонали и высота

Еще одна равнобедренная трапеция.

В диагонали равнобедренной трапеции одинаковой длины; то есть каждая равнобедренная трапеция является равносторонний четырехугольник. Причем диагонали делят друг друга в одинаковых пропорциях. Как на фото, диагонали AC и BD иметь одинаковую длину (AC = BD) и разделите друг друга на отрезки одинаковой длины (AE = DE и БЫТЬ = CE).

В соотношение в котором каждая диагональ разделена, равна отношению длин параллельных сторон, которые они пересекают, то есть

${\displaystyle {\frac {AE}{EC}}={\frac {DE}{EB}}={\frac {AD}{BC}}.}$

Длина каждой диагонали согласно Теорема Птолемея, данный

${\displaystyle p={\sqrt {ab+c^{2}}}}$

куда а и б длины параллельных сторон ОБЪЯВЛЕНИЕ и до н.э, и c длина каждой ноги AB и CD.

Высота, согласно теорема Пифагора, данный

${\displaystyle h={\sqrt {p^{2}-\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {4c^{2}-(a-b)^{2}}}.}$

Расстояние от точки E основать ОБЪЯВЛЕНИЕ дан кем-то

${\displaystyle d={\frac {ah}{a+b}}}$

куда а и б длины параллельных сторон ОБЪЯВЛЕНИЕ и до н.э, и час высота трапеции.

Площадь

Площадь равнобедренной (или любой) трапеции равна среднему значению длин основания и вершины (параллельные стороны) умножить на высоту. Если на соседней диаграмме написать ОБЪЯВЛЕНИЕ = а, и до н.э = б, а высота час это длина отрезка между ОБЪЯВЛЕНИЕ и до н.э перпендикулярно им, то площадь K дается следующим образом:

${\displaystyle K={\frac {h}{2}}\left(a+b\right).}$

Если вместо высоты трапеции общая длина ног AB =CD = c известно, то площадь можно вычислить с помощью Формула Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника, который с двумя равными сторонами упрощает до

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)^{2}}},}$

-куда ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+2c)}$ - полупериметр трапеции. Эта формула аналогична Формула Герона для вычисления площади треугольника. Предыдущая формула для площади также может быть записана как

${\displaystyle K={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b)^{2}(a-b+2c)(b-a+2c)}}.}$

Circumradius

Радиус в описанной окружности определяется выражением^[7]

${\displaystyle R=c{\sqrt {\frac {ab+c^{2}}{4c^{2}-(a-b)^{2}}}}.}$

В прямоугольник куда а = б это упрощено до ${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}}$.

Смотрите также

• Равнобедренная тангенциальная трапеция

Рекомендации

1. http://www.mathopenref.com/trapezoid.html
2. Ларсон, Рон; Босуэлл, Лори (2016). Большие идеи MATH, Geometry, Texas Edition. Большие идеи обучения, ООО (2016). п. 398. ISBN  978-1608408153.
3. Михаэль де Вилье, Иерархическое четырехугольное дерево
4. равнобедренная трапеция
5. Холстед, Джордж Брюс (1896), "Глава XIV. Симметричные четырехугольники", Элементарная синтетическая геометрия, J. Wiley & sons, стр. 49–53..
6. Уитни, Уильям Дуайт; Смит, Бенджамин Эли (1911), Словарь и циклопедия века, The Century co., Стр. 1547.
7. Трапеция на Math24.net: формулы и таблицы [1] По состоянию на 1 июля 2014 г.

внешняя ссылка

• Некоторые инженерные формулы с участием равнобедренных трапеций