Четырехугольник - Quadrilateral

Эта статья о четырехсторонних математических фигурах. Для использования в других целях см. Четырехугольник (значения).

Четырехугольник
Некоторые виды четырехугольников
Края и вершины	4
Символ Шлефли	{4} (для квадрата)
Площадь	различные методы; Смотри ниже
Внутренний угол (градусы )	90 ° (для квадрата и прямоугольника)

В Евклидова плоская геометрия, а четырехугольник это многоугольник с четырьмя края (стороны) и четыре вершины (углы). Другие названия четырехугольника включают четырехугольник (по аналогии с треугольник ), четырехугольник (по аналогии с пятиугольник, 5-сторонний многоугольник и шестиугольник, 6-сторонний многоугольник) и 4-угольник (по аналогии с k-угольники для произвольных значений k). Четырехугольник с вершинами ${displaystyle A}$, ${displaystyle B}$, ${displaystyle C}$ и ${displaystyle D}$ иногда обозначается как ${displaystyle square ABCD}$.^[1][2]

Слово «четырехугольник» происходит от латинского слова квадри, вариант из четырех, и латус, что означает «сторона».

Четырехугольники либо просто (не самопересекающиеся), или сложный (самопересекающиеся или скрещенные). Простые четырехугольники либо выпуклый или же вогнутый.

В внутренние углы простого (и плоского) четырехугольника ABCD добавить до 360 градусы дуги, то есть^[2]

${displaystyle angle A+angle B+angle C+angle D=360^{circ }.}$

Это частный случай пФормула суммы внутренних углов -угольника: (п − 2) × 180°.

Все четырехугольники без самопересечения выложить плиткой самолет, повторным вращением вокруг середины их краев.

Простые четырехугольники

Любой четырехугольник, который не является самопересекающимся, является простым четырехугольником.

Выпуклые четырехугольники

Диаграмма Эйлера некоторых типов простых четырехугольников. (UK) обозначает британский английский, а (US) обозначает американский английский.

Выпуклые четырехугольники по симметрии, представленные Диаграмма Хассе.

В выпуклом четырехугольнике все внутренние углы меньше 180 °, и обе диагонали лежат внутри четырехугольника.

• Неправильный четырехугольник (Британский английский ) или трапеция (Североамериканский английский ): нет параллельных сторон. (В британском английском это когда-то называлось трапеция. Подробнее см. Трапеция § Трапеция vs Трапеция )
• Трапеция (Великобритания) или трапеция (США): как минимум одна пара противоположных сторон параллельно. Трапеции (Великобритания) и трапеции (США) включают параллелограммы.
• Равнобедренная трапеция (Великобритания) или равнобедренная трапеция (США): одна пара противоположных сторон параллельна, а основание углы равны по мере. Альтернативные определения: четырехугольник с осью симметрии, разделяющей пополам одну пару противоположных сторон, или трапеция с диагоналями одинаковой длины.
• Параллелограмм: четырехугольник с двумя парами параллельных сторон. Эквивалентные условия заключаются в том, что противоположные стороны имеют одинаковую длину; что противоположные углы равны; или что диагонали делят друг друга пополам. Параллелограммы включают ромбы (включая прямоугольники, называемые квадратами) и ромбовидные формы (включая прямоугольники, называемые продолговатыми). Другими словами, параллелограммы включают в себя все ромбы и все ромбовидные элементы, а значит, также включают все прямоугольники.
• Ромб, ромб^[2]: все четыре стороны одинаковой длины. Эквивалентное условие - диагонали перпендикулярно делят друг друга пополам. Неформально: «сдвинутый квадрат» (но строго с квадратом).
• Ромбовидный: параллелограмм, у которого смежные стороны неравной длины, а некоторые углы косой (эквивалент, без прямых углов). Неформально: «вытянутый продолговатый». Не все ссылки согласны с этим, некоторые определяют ромб как параллелограмм, который не является ромбом.^[3]
• Прямоугольник: все четыре угла прямые. Эквивалентное условие - диагонали делят друг друга пополам и равны по длине. К прямоугольникам относятся квадраты и прямоугольники. Неформально: «прямоугольная или продолговатая» (включая квадрат).
• Квадрат (правильный четырехугольник): все четыре стороны равной длины (равносторонние), и все четыре угла являются прямыми углами. Эквивалентным условием является то, что противоположные стороны параллельны (квадрат - параллелограмм), а диагонали перпендикулярно делят друг друга пополам и имеют одинаковую длину. Четырехугольник является квадратом тогда и только тогда, когда он одновременно является ромбом и прямоугольником (т.е. четыре равные стороны и четыре равных угла).
• Продолговатый: термин, который иногда используется для обозначения прямоугольника с неравными соседними сторонами (т. е. прямоугольника, который не является квадратом).^[4]
• летающий змей: две пары смежных сторон равной длины. Это означает, что одна диагональ делит кайт на конгруэнтные треугольники, поэтому углы между двумя парами равных сторон равны по мере. Это также означает, что диагонали перпендикулярны. Воздушные змеи включают ромбики.

• Тангенциальный четырехугольник: четыре стороны касаются вписанной окружности. Выпуклый четырехугольник является касательным тогда и только тогда, когда противоположные стороны имеют равные суммы.
• Тангенциальная трапеция: трапеция с четырьмя сторонами касательные для вписанный круг.
• Циклический четырехугольник: четыре вершины лежат на описанный круг. Выпуклый четырехугольник является вписанным тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180 °.
• Правый змей: змей с двумя противоположными прямыми углами. Это разновидность вписанного четырехугольника.
• Гармонический четырехугольник: произведения длин противоположных сторон равны. Это разновидность вписанного четырехугольника.
• Бицентрический четырехугольник: он одновременно тангенциальный и циклический.
• Ортодиагональный четырехугольник: диагонали пересекаются в прямые углы.
• Равноугольный четырехугольник: диагонали одинаковой длины.
• Экс касательный четырехугольник: четыре продолжения сторон касаются внеокружность.
• An равносторонний четырехугольник имеет две противоположные равные стороны, которые в расширении встречаются под углом 60 °.
• А Четырехугольник Ватта представляет собой четырехугольник с парой противоположных сторон равной длины.^[5]
• А четырехугольник представляет собой выпуклый четырехугольник, все четыре вершины которого лежат на периметре квадрата.^[6]
• А диаметральный четырехугольник представляет собой вписанный четырехугольник, одна из сторон которого равна диаметру описанной окружности.^[7]
• А Четырехугольник Ельмслева - четырехугольник с двумя прямыми углами в противоположных вершинах.^[8]

Вогнутые четырехугольники

В вогнутом четырехугольнике один внутренний угол больше 180 °, а одна из двух диагоналей лежит за пределами четырехугольника.

• А дротик (или стрелка) - это вогнутый четырехугольник с двусторонней симметрией, как у воздушного змея, но с одним внутренним углом отражающим. Видеть летающий змей.

Сложные четырехугольники

Антипараллелограмм

А самопересекающийся четырехугольник называют по-разному кросс-четырехугольник, скрещенный четырехугольник, бабочка четырехугольник или же галстук-бабочка четырехугольник. В скрещенном четырехугольнике четыре «внутренних» угла по обе стороны от перекрестка (два острый и два рефлекс, все слева или все справа, как показано на рисунке) в сумме составляют 720 °.^[9]

• Скрещенная трапеция (США) или трапеция (Содружество):^[10] скрещенный четырехугольник, в котором одна пара несмежных сторон параллельна (как трапеция )
• Антипараллелограмм: скрещенный четырехугольник, в котором каждая пара несмежных сторон имеет одинаковую длину (например, параллелограмм )
• Перекрещенный прямоугольник: антипараллелограмм, стороны которого являются двумя противоположными сторонами и двумя диагоналями прямоугольник, следовательно, имея одну пару параллельных противоположных сторон
• Перекрещенная площадь: частный случай скрещенного прямоугольника, где две стороны пересекаются под прямым углом.

Специальные линейные сегменты

Два диагонали выпуклого четырехугольника являются отрезки линии соединяющие противоположные вершины.

Два бимедианцы выпуклого четырехугольника - это отрезки прямых, соединяющие середины противоположных сторон.^[11] Они пересекаются в «центре вершины» четырехугольника (см. § Замечательные точки и прямые в выпуклом четырехугольнике ниже).

Четверка солодовые привычки выпуклого четырехугольника - это перпендикуляры к стороне - через середину противоположной стороны.^[12]

Площадь выпуклого четырехугольника

Существуют различные общие формулы для площадь K выпуклого четырехугольника ABCD с боков а = AB, б = до н.э, c = CD и d = DA.

Тригонометрические формулы

Площадь можно выразить тригонометрическими терминами как^[13]

${displaystyle K={ frac {1}{2}}pqcdot sin heta ,}$

где длины диагоналей равны п и q и угол между ними θ.^[14] В случае ортодиагонального четырехугольника (например, ромба, квадрата и воздушного змея) эта формула сводится к ${displaystyle K={ frac {1}{2}}pq}$ поскольку θ составляет 90 °.

Площадь также может быть выражена в единицах бимедиана как^[15]

${displaystyle K=mncdot sin varphi ,}$

где длины бимедианов равны м и п и угол между ними φ.

Формула Бретшнайдера^[16][13] выражает площадь через стороны и два противоположных угла:

${displaystyle {egin{aligned}K&={sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{ frac {1}{2}}abcd;[1+cos(A+C)]}}&={sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcdleft[cos ^{2}left({ frac {A+C}{2}}ight)ight]}}end{aligned}}}$

где стороны в последовательности а, б, c, d, куда s - полупериметр, а А и C два (фактически любые два) противоположных угла. Это сводится к Формула Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника - когда А + C = 180°.

Другая формула площади в терминах сторон и углов с углом C находясь между сторонами б и c, и А находясь между сторонами а и d, является

${displaystyle K={ frac {1}{2}}adcdot sin {A}+{ frac {1}{2}}bccdot sin {C}.}$

В случае циклического четырехугольника последняя формула принимает вид ${displaystyle K={ frac {1}{2}}(ad+bc)sin {A}.}$

В параллелограмме, где обе пары противоположных сторон и углов равны, эта формула сводится к ${displaystyle K=abcdot sin {A}.}$

В качестве альтернативы мы можем записать площадь в терминах сторон и угла пересечения θ диагоналей, пока θ не 90 °:^[17]

${displaystyle K={frac {| an heta |}{4}}cdot left|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}ight|.}$

В случае параллелограмма последняя формула принимает вид ${displaystyle K={ frac {1}{2}}| an heta |cdot left|a^{2}-b^{2}ight|.}$

Другая формула площади, включая стороны а, б, c, d является^[15]

${displaystyle K={ frac {1}{4}}{sqrt {(2(a^{2}+c^{2})-4x^{2})(2(b^{2}+d^{2})-4x^{2})}}sin {varphi }}$

куда Икс расстояние между серединами диагоналей, а φ угол между бимедианцы.

Последняя формула тригонометрической площади, включая стороны а, б, c, d и угол α (между а и б) является:^{[нужна цитата ]}

${displaystyle K={ frac {1}{2}}abcdot sin {alpha }+{ frac {1}{4}}{sqrt {4c^{2}d^{2}-(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}+2abcdot cos {alpha })^{2}}},}$

который также может быть использован для области вогнутого четырехугольника (имеющего вогнутую часть, противоположную углу α), просто изменив первый знак + на -.

Нетригонометрические формулы

Следующие две формулы выражают площадь через стороны а, б, c, d, то полупериметр s, а диагонали п, q:

${displaystyle K={sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{ frac {1}{4}}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}},}$ ^[18]

${displaystyle K={ frac {1}{4}}{sqrt {4p^{2}q^{2}-left(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}ight)^{2}}}.}$ ^[19]

Первый сводится к формуле Брахмагупты в случае циклического четырехугольника, с тех пор pq = ac + bd.

Площадь также может быть выражена через бимедианы. м, п и диагонали п, q:

${displaystyle K={ frac {1}{2}}{sqrt {(m+n+p)(m+n-p)(m+n+q)(m+n-q)}},}$ ^[20]

${displaystyle K={ frac {1}{2}}{sqrt {p^{2}q^{2}-(m^{2}-n^{2})^{2}}}.}$ ^{[21]:Thm. 7}

Фактически, любые три из четырех значений м, п, п, и q достаточно для определения площади, поскольку в любом четырехугольнике четыре значения связаны соотношением ${displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).}$^{[22]:п. 126} Соответствующие выражения:^[23]

${displaystyle K={ frac {1}{2}}{sqrt {[(m+n)^{2}-p^{2}]cdot [p^{2}-(m-n)^{2}]}},}$

если даны длины двух бимедианов и одной диагонали, и^[23]

${displaystyle K={ frac {1}{4}}{sqrt {[(p+q)^{2}-4m^{2}]cdot [4m^{2}-(p-q)^{2}]}},}$

если заданы длины двух диагоналей и одной бимедианы.

Векторные формулы

Площадь четырехугольника ABCD можно рассчитать, используя векторов. Пусть векторы AC и BD сформировать диагонали из А к C и из B к D. Тогда площадь четырехугольника равна

${displaystyle K={ frac {1}{2}}|mathbf {AC} imes mathbf {BD} |,}$

что составляет половину величины перекрестное произведение векторов AC и BD. В двумерном евклидовом пространстве, выражая вектор AC как свободный вектор в декартовом пространстве равно (Икс₁,у₁) и BD в качестве (Икс₂,у₂), это можно переписать как:

${displaystyle K={ frac {1}{2}}|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|.}$

Диагонали

Свойства диагоналей некоторых четырехугольников

В следующей таблице указано, пересекают ли диагонали некоторых из основных четырехугольников пополам, если их диагонали равны перпендикуляр, и если их диагонали имеют одинаковую длину.^[24] Список применяется к наиболее общим случаям и исключает названные подмножества.

Четырехугольник	Деление диагоналей пополам	Перпендикулярные диагонали	Равные диагонали
Трапеция	Нет	См. Примечание 1	Нет
Равнобедренная трапеция	Нет	См. Примечание 1	да
Параллелограмм	да	Нет	Нет
летающий змей	См. Примечание 2	да	См. Примечание 2
Прямоугольник	да	Нет	да
Ромб	да	да	Нет
Квадрат	да	да	да

Примечание 1: самые общие трапеции и равнобедренные трапеции не имеют перпендикулярных диагоналей, но существует бесконечное количество (непохожих) трапеций и равнобедренных трапеций, которые имеют перпендикулярные диагонали и не имеют других названных четырехугольников.

Примечание 2: В кайте одна диагональ делит другую пополам. Самый общий воздушный змей имеет неравные диагонали, но существует бесконечное количество (не похожих) воздушных змеев, в которых диагонали равны по длине (и воздушные змеи не являются никакими другими названными четырехугольниками).

Длины диагоналей

Длины диагоналей выпуклого четырехугольника ABCD можно рассчитать с помощью закон косинусов на каждом треугольнике образована одна диагональ и две стороны четырехугольника. Таким образом

${displaystyle p={sqrt {a^{2}+b^{2}-2abcos {B}}}={sqrt {c^{2}+d^{2}-2cdcos {D}}}}$

и

${displaystyle q={sqrt {a^{2}+d^{2}-2adcos {A}}}={sqrt {b^{2}+c^{2}-2bccos {C}}}.}$

Другие, более симметричные формулы для длин диагоналей:^[25]

${displaystyle p={sqrt {frac {(ac+bd)(ad+bc)-2abcd(cos {B}+cos {D})}{ab+cd}}}}$

и

${displaystyle q={sqrt {frac {(ab+cd)(ac+bd)-2abcd(cos {A}+cos {C})}{ad+bc}}}.}$

Обобщения закона параллелограмма и теоремы Птолемея

В любом выпуклом четырехугольнике ABCDсумма квадратов четырех сторон равна сумме квадратов двух диагоналей плюс четыре квадрата отрезка прямой, соединяющего середины диагоналей. Таким образом

${displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=p^{2}+q^{2}+4x^{2}}$

куда Икс расстояние между серединами диагоналей.^{[22]:стр.126} Иногда это называют Четырехугольная теорема Эйлера и является обобщением закон параллелограмма.

Немецкий математик Карл Антон Бретшнайдер получил в 1842 г. следующее обобщение Теорема Птолемея, относительно произведения диагоналей выпуклого четырехугольника^[26]

${displaystyle p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcdcos {(A+C)}.}$

Это соотношение можно рассматривать как закон косинусов для четырехугольника. В циклический четырехугольник, куда А + C = 180 °, уменьшается до pq = ac + bd. Поскольку cos (А + C) ≥ −1, это также дает доказательство неравенства Птолемея.

Другие метрические отношения

Если Икс и Y ноги нормалей из B и D по диагонали AC = п в выпуклом четырехугольнике ABCD с боков а = AB, б = до н.э, c = CD, d = DA, тогда^{[27]:стр.14}

${displaystyle XY={frac {|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}|}{2p}}.}$

В выпуклом четырехугольнике ABCD с боков а = AB, б = до н.э, c = CD, d = DA, и где диагонали пересекаются в E,

${displaystyle efgh(a+c+b+d)(a+c-b-d)=(agh+cef+beh+dfg)(agh+cef-beh-dfg)}$

куда е = AE, ж = БЫТЬ, грамм = CE, и час = DE.^[28]

Форма и размер выпуклого четырехугольника полностью определяются длинами его сторон в последовательности и одной диагонали между двумя заданными вершинами. Две диагонали р, д и четыре стороны длины а, б, в, г четырехугольника связаны^[13] посредством Кэли-Менгер детерминант, следующее:

${displaystyle det {egin{bmatrix}0&a^{2}&p^{2}&d^{2}&1a^{2}&0&b^{2}&q^{2}&1p^{2}&b^{2}&0&c^{2}&1d^{2}&q^{2}&c^{2}&0&11&1&1&1&0end{bmatrix}}=0.}$

Биссектрисы угла

внутренний биссектриса угла выпуклого четырехугольника образуют циклический четырехугольник^{[22]:стр.127} (то есть четыре точки пересечения смежных биссектрис угла равны конциклический ) или они одновременный. В последнем случае четырехугольник - это тангенциальный четырехугольник.

В четырехугольнике ABCD, если биссектриса угла из А и C встретиться по диагонали BD, то биссектрисы угла B и D встретиться по диагонали AC.^[29]

Bimedians

Смотрите также: Теорема Вариньона

Параллелограмм Вариньона EFGH

В бимедианцы четырехугольника - это отрезки прямых, соединяющие средние точки противоположных сторон. Пересечение бимедианов - это центроид вершин четырехугольника.^[13]

Середины сторон любого четырехугольника (выпуклого, вогнутого или скрещенного) являются вершинами четырехугольника. параллелограмм называется Вариньонный параллелограмм. Обладает следующими свойствами:

• Каждая пара противоположных сторон параллелограмма Вариньона параллельна диагонали исходного четырехугольника.
• Сторона параллелограмма Вариньона вдвое короче диагонали исходного четырехугольника, которому он параллелен.
• Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника. Это верно для выпуклых, вогнутых и скрещенных четырехугольников при условии, что площадь последнего определяется как разность площадей двух треугольников, из которых он состоит.^[30]
• В периметр параллелограмма Вариньона равна сумме диагоналей исходного четырехугольника.
• Диагонали параллелограмма Вариньона - это бимедианы исходного четырехугольника.

Два бимедиана в четырехугольнике и отрезок прямой, соединяющий середины диагоналей в этом четырехугольнике, равны одновременный и все они делятся пополам по своей точке пересечения.^{[22]:стр.125}

В выпуклом четырехугольнике со сторонами а, б, c и d, длина бимедиана, соединяющего середины сторон а и c является

${displaystyle m={ frac {1}{2}}{sqrt {-a^{2}+b^{2}-c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}}}}$

куда п и q - длина диагоналей.^[31] Длина бимедиана, соединяющего середины сторон б и d является

${displaystyle n={ frac {1}{2}}{sqrt {a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}+p^{2}+q^{2}}}.}$

Следовательно^{[22]:стр.126}

${displaystyle displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).}$

Это тоже следствие к закон параллелограмма применен в параллелограмме Вариньона.

Длины бимедианов можно также выразить через две противоположные стороны и расстояние Икс между серединами диагоналей. Это возможно при использовании теоремы Эйлера о четырехугольнике в приведенных выше формулах. Откуда^[21]

${displaystyle m={ frac {1}{2}}{sqrt {2(b^{2}+d^{2})-4x^{2}}}}$

и

${displaystyle n={ frac {1}{2}}{sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4x^{2}}}.}$

Обратите внимание, что две противоположные стороны в этих формулах - это не те две, которые соединяет бимедиана.

В выпуклом четырехугольнике имеется следующее двойной связь между бимедианами и диагоналями:^[27]

• Два бимедиана имеют одинаковую длину если и только если две диагонали перпендикуляр.
• Две бимедианы перпендикулярны тогда и только тогда, когда две диагонали имеют одинаковую длину.

Тригонометрические тождества

Четыре угла простого четырехугольника ABCD удовлетворяют следующим тождествам:^[32]

${displaystyle sin {A}+sin {B}+sin {C}+sin {D}=4sin {frac {A+B}{2}}sin {frac {A+C}{2}}sin {frac {A+D}{2}}}$

и

${displaystyle {frac { an {A} an {B}- an {C} an {D}}{ an {A} an {C}- an {B} an {D}}}={frac { an {(A+C)}}{ an {(A+B)}}}.}$

Также,^[33]

${displaystyle {frac { an {A}+ an {B}+ an {C}+ an {D}}{cot {A}+cot {B}+cot {C}+cot {D}}}= an {A} an {B} an {C} an {D}.}$

В последних двух формулах ни один угол не может быть прямой угол, поскольку tan 90 ° не определен.

Неравенства

Площадь

Если у выпуклого четырехугольника последовательные стороны а, б, c, d и диагонали п, q, то его площадь K удовлетворяет^[34]

${displaystyle Kleq { frac {1}{4}}(a+c)(b+d)}$ с равенством только для прямоугольник.

${displaystyle Kleq { frac {1}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})}$ с равенством только для квадрат.

${displaystyle Kleq { frac {1}{4}}(p^{2}+q^{2})}$ с равенством, только если диагонали перпендикулярны и равны.

${displaystyle Kleq { frac {1}{2}}{sqrt {(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}}}$ с равенством только для прямоугольника.^[15]

Из Формула Бретшнайдера непосредственно следует, что площадь четырехугольника удовлетворяет

${displaystyle Kleq {sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$

с равенством если и только если четырехугольник циклический или вырождаются так, что одна сторона равна сумме трех других (она свернулась в отрезок, поэтому площадь равна нулю).

Площадь любого четырехугольника также удовлетворяет неравенству^[35]

${displaystyle displaystyle Kleq { frac {1}{2}}{sqrt[{3}]{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}.}$

Обозначая периметр как L, у нас есть^{[35]:стр.114}

${displaystyle Kleq { frac {1}{16}}L^{2},}$

с равенством только в случае квадрата.

Площадь выпуклого четырехугольника также удовлетворяет

${displaystyle Kleq { frac {1}{2}}pq}$

для диагональных длин п и q, с равенством тогда и только тогда, когда диагонали перпендикулярны.

Позволять а, б, c, d - длины сторон выпуклого четырехугольника ABCD с площадью K и диагонали AC = p, BD = q. потом^[36]

${displaystyle Kleq {frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}+pq-ac-bd}{8}}}$ с равенством только для квадрата.

Позволять а, б, c, d - длины сторон выпуклого четырехугольника ABCD с площадью K, то имеет место неравенство^[37]

${displaystyle Kleq {frac {1}{3+{sqrt {3}}}}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)-{frac {1}{2(1+{sqrt {3}})^{2}}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})}$ с равенством только для квадрата.

Диагонали и бимедианы

Следствием теоремы Эйлера о четырехугольнике является неравенство

${displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}geq p^{2}+q^{2}}$

где равенство имеет место тогда и только тогда, когда четырехугольник является параллелограмм.

Эйлер также обобщенный Теорема Птолемея, что является равенством в циклический четырехугольник, в неравенство для выпуклого четырехугольника. В нем говорится, что

${displaystyle pqleq ac+bd}$

где есть равенство если и только если четырехугольник вписанный.^{[22]:стр.128–129} Это часто называют Неравенство Птолемея.

В любом выпуклом четырехугольнике бимедианы м, н и диагонали р, д связаны неравенством

${displaystyle pqleq m^{2}+n^{2},}$

причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда диагонали равны.^{[38]:Предложение 1} Это непосредственно следует из четырехугольного тождества ${displaystyle m^{2}+n^{2}={ frac {1}{2}}(p^{2}+q^{2}).}$

Стороны

Стороны а, б, c, и d любого четырехугольника удовлетворяют^{[39]:стр.228, № 275}

${displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}>{frac {d^{2}}{3}}}$

и^{[39]:стр.234, № 466}

${displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}geq {frac {d^{4}}{27}}.}$

Максимальные и минимальные свойства

Среди всех четырехугольников с данным периметр, самая большая площадь - это квадрат. Это называется изопериметрическая теорема для четырехугольника. Это прямое следствие неравенства площадей^{[35]:стр.114}

${displaystyle Kleq { frac {1}{16}}L^{2}}$

куда K площадь выпуклого четырехугольника с периметром L. Равенство если и только если четырехугольник - квадрат. Двойственная теорема утверждает, что из всех четырехугольников с заданной площадью квадрат имеет самый короткий периметр.

Четырехугольник с заданными длинами сторон, имеющий максимум область это циклический четырехугольник.^[40]

Из всех выпуклых четырехугольников с заданными диагоналями ортодиагональный четырехугольник имеет самую большую площадь.^{[35]:стр.119} Это прямое следствие того, что площадь выпуклого четырехугольника удовлетворяет условию

${displaystyle K={ frac {1}{2}}pqsin { heta }leq { frac {1}{2}}pq,}$

куда θ угол между диагоналями п и q. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда θ = 90°.

Если п - внутренняя точка выпуклого четырехугольника ABCD, тогда

${displaystyle AP+BP+CP+DPgeq AC+BD.}$

Из этого неравенства следует, что точка внутри четырехугольника, сводит к минимуму сумма расстояний до вершины является пересечением диагоналей. Следовательно, эта точка является Точка Ферма выпуклого четырехугольника.^{[41]:стр.120}

Замечательные точки и прямые в выпуклом четырехугольнике

Центр четырехугольника можно определить несколькими способами. «Центроид вершины» получается из рассмотрения четырехугольника как пустого, но с равными массами в вершинах. «Боковой центроид» получается из рассмотрения сторон, имеющих постоянную массу на единицу длины. Обычный центр, называемый просто центроид (центр площади) получается из рассмотрения поверхности четырехугольника как имеющей постоянную плотность. Эти три точки, как правило, не одно и то же.^[42]

«Центроид вершины» - это пересечение двух бимедианцы.^[43] Как и любой многоугольник, Икс и у координаты центра тяжести вершины - это арифметические средства из Икс и у координаты вершин.

"Центроид площади" четырехугольника ABCD можно построить следующим образом. Позволять грамм_а, грамм_б, грамм_c, грамм_d быть центроидами треугольников BCD, ACD, ABD, ABC соответственно. Тогда «центр тяжести площади» - это пересечение линий грамм_аграмм_c и грамм_бграмм_d.^[44]

В общем выпуклом четырехугольнике ABCD, нет естественных аналогий центр окружности и ортоцентр из треугольник. Но две такие точки можно построить следующим образом. Позволять О_а, О_б, О_c, О_d быть центрами окружности треугольников BCD, ACD, ABD, ABC соответственно; и обозначим через ЧАС_а, ЧАС_б, ЧАС_c, ЧАС_d ортоцентры в тех же треугольниках. Тогда пересечение линий О_аО_c и О_бО_d называется квазиокружностьцентр, а пересечение прямых ЧАС_аЧАС_c и ЧАС_бЧАС_d называется квазиортоцентр выпуклого четырехугольника.^[44] Эти точки можно использовать для определения Линия Эйлера четырехугольника. В выпуклом четырехугольнике квазиортоцентр ЧАС, "центроид площади" грамм, а квазиокружный центр О находятся коллинеарен в этом порядке, и HG = 2ИДТИ.^[44]

Также можно определить квазинино-точечный центр E как пересечение линий E_аE_c и E_бE_d, куда E_а, E_б, E_c, E_d являются девятиточечные центры треугольников BCD, ACD, ABD, ABC соответственно. потом E это середина из ОЙ.^[44]

Еще одна замечательная прямая в выпуклом четырехугольнике, отличном от параллелограмма, - это прямая. Линия Ньютона, который соединяет середины диагоналей, причем отрезок, соединяющий эти точки, делится пополам центром тяжести вершины. Еще одна интересная линия (в некотором смысле двойная Ньютона one) - линия, соединяющая точку пересечения диагоналей с центром тяжести вершины. Линия примечательна тем, что содержит центр тяжести (площади). Центроид вершины делит отрезок, соединяющий пересечение диагоналей и центр тяжести (площади) в соотношении 3: 1.^[45]

Для любого четырехугольника ABCD с очками п и Q пересечения ОБЪЯВЛЕНИЕ и до н.э и AB и CDсоответственно кружки (PAB), (PCD), (QAD), и (QBC) пройти через общую точку M, называемая точкой Микеля.^[46]

Для выпуклого четырехугольника ABCD в котором E - точка пересечения диагоналей и F - точка пересечения продолжений сторон до н.э и ОБЪЯВЛЕНИЕ, пусть ω - окружность, проходящая через E и F который встречает CB внутри M и DA внутри N. Позволять CA встретимся снова в L и разреши БД встретимся снова в K. Тогда есть: прямые линии NK и ML пересекаться в точке п что находится сбоку AB; прямые линии NL и Км пересекаться в точке Q что находится сбоку CD. Точки п и Q называются «точками Паскаля», образованными окружностью ω на сторонах AB и CD.^[47][48][49]

Другие свойства выпуклых четырехугольников

• Пусть со всех сторон четырехугольника нарисованы внешние квадраты. Сегменты, соединяющие центры противоположных квадратов (а) равны по длине и (б) перпендикуляр. Таким образом, эти центры являются вершинами ортодиагональный четырехугольник. Это называется Теорема Ван Обеля.
• Для любого простого четырехугольника с заданной длиной ребер существует циклический четырехугольник с одинаковой длиной кромки.^[40]
• Четыре меньших треугольника, образованные диагоналями и сторонами выпуклого четырехугольника, обладают тем свойством, что произведение площадей двух противоположных треугольников равно произведению площадей двух других треугольников.^[50]

Таксономия

Таксономия четырехугольников с использованием Диаграмма Хассе.

Иерархический таксономия четырехугольников показан на рисунке справа. Низшие классы являются частными случаями более высоких классов, с которыми они связаны. Обратите внимание, что «трапеция» здесь относится к североамериканскому определению (британский эквивалент - трапеция). Повсюду используются инклюзивные определения.

Наклонить четырехугольники

Смотрите также: Наклон многоугольника

(Красные) боковые края тетрагональный дисфеноид представляют собой правильный зигзагообразный косой четырехугольник

Непланарный четырехугольник называется косой четырехугольник. Формулы для вычисления его двугранных углов из длин ребер и угла между двумя соседними ребрами были получены для работы над свойствами молекул, таких как циклобутан которые содержат «сморщенное» кольцо из четырех атомов.^[51] Исторически термин грубый четырехугольник также использовалось для обозначения скошенного четырехугольника.^[52] Косой четырехугольник вместе со своими диагоналями образуют (возможно, нерегулярный) тетраэдр, и, наоборот, каждый косой четырехугольник происходит от тетраэдра, в котором пара противоположных края удален.

Смотрите также

• Полный четырехугольник
• Построение серединного перпендикуляра четырехугольника
• Четырехугольник Саккери
• Виды сетки § Четырехугольник
• Четырехугольник (география)

Рекомендации

1. «Список символов геометрии и тригонометрии». Математическое хранилище. 2020-04-17. Получено 2020-09-02.
2. «Четырехугольники - квадрат, прямоугольник, ромб, трапеция, параллелограмм». www.mathsisfun.com. Получено 2020-09-02.
3. «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) 14 мая 2014 г.. Получено 20 июня, 2013.
4. http://www.cleavebooks.co.uk/scol/calrect.htm
5. Keady, G .; Весы, П .; Немет, С. З. (2004). "Ваттные связи и четырехугольники". Математический вестник. 88 (513): 475–492. Дои:10.1017 / S0025557200176107.
6. Джоббингс, А. К. (1997). «Четырехугольники четырехугольника». Математический вестник. 81 (491): 220–224. Дои:10.2307/3619199. JSTOR  3619199.
7. Борегар, Р. А. (2009). «Диаметральные четырехугольники с двумя равными сторонами». Журнал математики колледжа. 40 (1): 17–21. Дои:10.1080/07468342.2009.11922331. S2CID  122206817.
8. Хартсхорн, Р. (2005). Геометрия: Евклид и не только. Springer. С. 429–430. ISBN  978-1-4419-3145-0.
9. Звезды: второй взгляд
10. Батлер, Дэвид (2016-04-06). "Скрещенная трапеция". Собственный смысл. Получено 2017-09-13.
11. Э. В. Вайсштейн. «Бимедиан». MathWorld - Интернет-ресурс Wolfram.
12. Э. В. Вайсштейн. "Мальтитуд". MathWorld - Интернет-ресурс Wolfram.
13. Вайсштейн, Эрик В. «Четырехугольник». mathworld.wolfram.com. Получено 2020-09-02.
14. Харрис, Дж. «Площадь четырехугольника». Математический вестник 86, июль 2002 г., 310–311.
15. Йозефссон, Мартин (2013), "Пять доказательств характеристики площади прямоугольников" (PDF), Форум Geometricorum, 13: 17–21.
16. Р. А. Джонсон, Продвинутая евклидова геометрия, 2007, Dover Publ., п. 82.
17. Митчелл, Дуглас В., «Площадь четырехугольника». Математический вестник 93, июль 2009 г., 306–309.
18. Дж. Л. Кулидж, «Исторически интересная формула для определения площади четырехугольника», Американский математический ежемесячный журнал, 46 (1939) 345–347.
19. Э. В. Вайсштейн. «Формула Бретшнайдера». MathWorld - Интернет-ресурс Wolfram.
20. Арчибальд, Р. К., "Площадь четырехугольника", Американский математический ежемесячный журнал, 29 (1922) с. 29–36.
21. Йозефссон, Мартин (2011), «Площадь двухцентрового четырехугольника» (PDF), Форум Geometricorum, 11: 155–164.
22. Альтшиллер-Корт, Натан, Колледж Геометрия, Dover Publ., 2007.
23. Йозефссон, Мартин (2016) «100.31 Формулы типа Герона для четырехугольника», Математический вестник, 100 (549), стр. 505–508.
24. Кале, Дженнифер, Геометрия: основные идеи, [1], по состоянию на 28 декабря 2012 г.
25. Рашид М.А. и Аджибаде А.О. «Два условия для того, чтобы четырехугольник был вписанным, выраженный в терминах длин его сторон», Int. J. Math. Educ. Sci. Technol., т. 34 (2003) нет. 5. С. 739–799.
26. Андрееску, Титу и Андрица, Дориан, Комплексные числа от А до ... Я, Birkhäuser, 2006, стр. 207–209.
27. Йозефссон, Мартин (2012), "Характеристики ортодиагональных четырехугольников" (PDF), Форум Geometricorum, 12: 13–25.
28. Хоэн, Ларри (2011), «Новая формула диагоналей и сторон четырехугольника» (PDF), Форум Geometricorum, 11: 211–212.
29. Леверша, Джерри, "Свойство диагоналей вписанного четырехугольника", Математический вестник 93, март 2009 г., 116–118.
30. Х. С. М. Кокстер и С. Л. Грейцер, Возвращение к геометрии, МАА, 1967, стр. 52–53.
31. Матееску Константин, ответ на Неравенство диагонали
32. К. В. Дурелл и А. Робсон, Продвинутая тригонометрия, Довер, 2003, стр. 267.
33. MathPro Press, "Оригинальные проблемы, предложенные Стэнли Рабиновичем 1963–2005", с. 23, [2]
34. О. Боттема, Геометрические неравенства, Wolters – Noordhoff Publishing, Нидерланды, 1969, стр. 129, 132.
35. Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер (2009), Когда меньше значит больше: визуализация основных неравенств, Математическая ассоциация Америки, стр. 68.
36. Дао Тхань Оай, Леонард Джуджук, Задача 12033, American Mathematical Monthly, март 2018 г., стр. 277
37. Леонард Михай Джуджук, Дао Тхань Оай и Кадир Алтинтас, Неравенство, связанное с длиной и площадью выпуклого четырехугольника, Международный журнал геометрии, Vol. 7 (2018), № 1, с. 81 - 86, [3]
38. Йозефссон, Мартин (2014). «Свойства равдиагональных четырехугольников». Форум Geometricorum. 14: 129–144.
39. Неравенства, предложенные в «Crux Mathematicorum ”, [4].
40. Питер, Томас, "Максимизация площади четырехугольника", Математический журнал колледжа, Vol. 34, № 4 (сентябрь 2003 г.), стр. 315–316.
41. Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер (2010). Очаровательные доказательства: путешествие в элегантную математику. Математическая ассоциация Америки. С. 114, 119, 120, 261. ISBN  978-0-88385-348-1.
42. Король, Джеймс, Два центра масс четырехугольника, [5], Проверено 15 апреля 2012 г.
43. Хонсбергер, Росс, Эпизоды евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого веков, Математика. Доц. Америк., 1995, с. 35–41.
44. Мякишев, Алексей (2006), "О двух замечательных прямых, относящихся к четырехугольнику" (PDF), Форум Geometricorum, 6: 289–295.
45. https://www.austms.org.au/Publ/Gazette/2010/May10/TechPaperMiller.pdf
46. Чен, Эван (2016). Евклидова геометрия в математических олимпиадах. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. п. 198. ISBN  9780883858394.
47. Дэвид, Фрайверт (2019), "Четырехугольники точек Паскаля, вписанные в вписанный четырехугольник", Математический вестник, 103 (557): 233–239, Дои:10.1017 / mag.2019.54.
48. Дэвид, Фрайверт (2019), «Набор прямоугольников, вписанных в ортодиагональный четырехугольник и определенных окружностями точек Паскаля», Журнал геометрии и графики, 23: 5–27.
49. Дэвид, Фрайверт (2017), «Свойства паскаля: точки окружности в четырехугольнике с перпендикулярными диагоналями» (PDF), Форум Geometricorum, 17: 509–526.
50. Йозефссон, Мартин, «Характеристики трапеций», Форум Geometricorum 13 (2013) 23–35.
51. Barnett, M. P .; Капитани, Дж. Ф. (2006). «Модульная химическая геометрия и символьный расчет». Международный журнал квантовой химии. 106 (1): 215–227. Дои:10.1002 / qua.20807.
52. Гамильтон, Уильям Роуэн (1850). "О некоторых результатах, полученных кватернионным анализом надписи" гошей "многоугольников на поверхностях второго порядка" (PDF). Труды Королевской ирландской академии. 4: 380–387.

внешняя ссылка

• «Четырехугольник, полный», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Четырехугольники, образованные серединными перпендикулярами, Проективная коллинеарность и Интерактивная классификация четырехугольников из завязать узел
• Определения и примеры четырехугольников и Определение и свойства тетрагонов от Матопенрефа
• (Динамическое) иерархическое четырехугольное дерево в Эскизы динамической геометрии
• Расширенная классификация четырехугольников в Домашняя страница динамического обучения математике
• Роль и функция иерархической классификации четырехугольников Майкл де Вильерс