Полный четырехугольник - Complete quadrangle

Полный четырехугольник (слева) и полный четырехугольник (справа).

В математика особенно в геометрия падения и особенно в проективная геометрия, а полный четырехугольник система геометрических объектов, состоящая из любых четырех точек самолет, ни три из которых не лежат на общей линии, ни шесть линий, соединяющих шесть пар точек. Вдвойне, а полный четырехугольник представляет собой систему из четырех прямых, никакие три из которых не проходят через одну и ту же точку, и шести точек пересечения этих прямых. Полный четырехугольник был назван тетрастигм к Лахлан (1893), а полный четырехугольник назывался тетраграмма; эти термины иногда все еще используются.

Диагонали

Шесть линий полного четырехугольника встречаются попарно, образуя три дополнительных точки, называемых диагональные точки четырехугольника. Точно так же среди шести точек полного четырехугольника есть три пары точек, которые еще не соединены линиями; в отрезки линии соединяющие эти пары называются диагонали. Благодаря открытию Самолет Фано, а конечная геометрия в котором диагональные точки полного четырехугольника равны коллинеарен, некоторые авторы дополнили аксиомы проективной геометрии Аксиома Фано что диагональные точки нет коллинеарный,^[1] в то время как другие были менее строгими.

Набор сокращенных выражений для частей полного четырехугольника был введен Г. Б. Холстед: Он называет вершины четырехугольника точки, а диагональные точки он называет кодоты. Линии проективного пространства называются прямые, а в четырехугольнике они называются разъемы. «Диагональные линии» Кокстера называются противоположные разъемы пользователя Halsted. Противоположные разъемы крест-накрест на кодоте. Конфигурация полного четырехугольника - это тетрастим.^[2] Эти условия никогда не получали широкого распространения и представляют только исторический интерес.

Проективные свойства

KLMN - полный четырехугольник;
D это проективное гармоническое сопряжение из C относительно А и B.

Поскольку системы точек и прямых, в которых все точки принадлежат одному и тому же количеству прямых, а все прямые содержат одинаковое количество точек, полный четырехугольник и полный четырехугольник образуют проективные конфигурации; в обозначениях проективных конфигураций полный четырехугольник записывается как (4₃6₂) и полный четырехугольник записывается (6₂4₃), где числа в этом обозначении относятся к количеству точек, линий на точку, линий и точек на линию конфигурации. проективный дуальный полного четырехугольника - это полный четырехугольник, и наоборот. Для любых двух полных четырехугольников или любых двух полных четырехугольников существует единственный проективное преобразование преобразование одной из двух конфигураций в другую.^[3]

Карл фон Штаудт реформировал математические основы в 1847 году с помощью полного четырехугольника, когда он отметил, что «гармоническое свойство» может быть основано на сопутствующих элементах четырехугольника: когда каждая пара противоположных сторон четырехугольника пересекается по линии, тогда диагонали пересекают линию в точке проективное гармоническое сопряжение позиции. Четыре точки на прямой, исходящие из сторон и диагоналей четырехугольника, называются гармонический диапазон. Гармоническое свойство стабильно благодаря перспективности и проекции. Развитие современной геометрии и алгебры отмечает влияние фон Штаудта на Марио Пиери и Феликс Кляйн .

Евклидовы свойства

в Евклидова плоскость, четыре прямые полного четырехугольника не должны включать пары параллельных прямых, так что каждая пара прямых имеет точку пересечения.

Уэллс (1991) описывает несколько дополнительных свойств полных четырехугольников, которые включают метрические свойства Евклидова плоскость, а не чисто проективный. Середины диагоналей лежат на одной прямой, и (как доказано Исаак Ньютон ) также коллинеарны центру конический то есть касательная ко всем четырем линиям четырехугольника. Любые три линии четырехугольника образуют стороны треугольника; в ортоцентры из четырех треугольников, образованных таким образом, лежат на второй линии, перпендикулярной линии, проходящей через середины. В окружности этих же четырех треугольников встречаются в одной точке. Кроме того, три круга с диагоналями в качестве диаметров принадлежат к общему карандаш кругов^[4] ось которого - линия, проходящая через ортоцентры.

В полярные круги треугольников полного четырехугольника образуют a коаксиальный система.^[5]^{:п. 179}

Смотрите также

Примечания

^ Хартсхорн 1967; Кокстер 1987, п. 15.
^ Г. Б. Холстед (1906) Синтетическая проективная геометрия, стр. 14
^ Кокстер 1987, п. 51
^ Уэллс неправильно пишет, что три круга встречаются в паре точек, но, как видно на Александр Богомольный Для анимации тех же результатов карандаш может быть гиперболическим, а не эллиптическим, и в этом случае круги не пересекаются.
^ Джонсон, Роджер А., Продвинутая евклидова геометрия, Dover Publications, 2007 (начало 1960 г.).

внешняя ссылка

[1] Хартсхорн 1967; Кокстер 1987, п. 15.

[2] Г. Б. Холстед (1906) Синтетическая проективная геометрия, стр. 14

[3] Кокстер 1987, п. 51

[4] Уэллс неправильно пишет, что три круга встречаются в паре точек, но, как видно на Александр Богомольный Для анимации тех же результатов карандаш может быть гиперболическим, а не эллиптическим, и в этом случае круги не пересекаются.

[Johnson-5] Джонсон, Роджер А., Продвинутая евклидова геометрия, Dover Publications, 2007 (начало 1960 г.).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Структуры заболеваемости
Представление	Матрица заболеваемости График заболеваемости
Поля	Комбинаторика Блочный дизайн Система Штейнера Геометрия Заболеваемость Проективная плоскость Теория графов Гиперграф Статистика Блокировка
Конфигурации	Полный четырехугольник Самолет Фано Конфигурация Мебиуса – Кантора Конфигурация Pappus Конфигурация Гессен Конфигурация дезарга Конфигурация Рейя Шлефли двойная шестерка Конфигурация Кремона – Ричмонд Конфигурация Куммера Конфигурация Грюнбаума – Ригби Конфигурация Кляйна Двойной
Теоремы	Теорема Сильвестра-Галлаи Теорема Де Брейна – Эрдеша. Теорема Семереди – Троттера. Теорема Бека Теорема Брука – Райзера – Чоула.
Приложения	Дизайн экспериментов Проблема школьницы Киркмана