Проективное гармоническое сопряжение - Projective harmonic conjugate

D является гармоническим сопряжением C w.r.t. А и B.
А, D, B, C образуют гармонический диапазон.
KLMN является порождающим его полным четырехугольником.

В проективная геометрия, то гармоническая сопряженная точка из заказанный тройной точек на реальная проективная линия определяется следующей конструкцией:

Учитывая три коллинеарных точки А, B, C, позволять L быть точкой, не лежащей на их стыке, и пропускать любую линию C встретить ЛА, ФУНТ в M, N соответственно. Если AN и BM встретиться в K, и LK встречает AB в D, тогда D называется гармоническое сопряжение из C относительно А, B.^[1]

Смысл D не зависит от какой точки L берется изначально, ни по какой линии C используется, чтобы найти M и N. Этот факт следует из Теорема дезарга.

В реальной проективной геометрии гармоническое сопряжение также можно определить в терминах перекрестное соотношение в качестве(А, B; C, D) = −1.

Критерий перекрестного отношения

Эти четыре точки иногда называют гармонический диапазон (на реальной проективной прямой), поскольку обнаружено, что D всегда делит сегмент AB внутри в той же пропорции, что и C разделяет AB внешне. То есть:

${displaystyle {AC}:{BC}={AD}:{DB},.}$

Если теперь наделить эти отрезки обычной метрической интерпретацией действительные числа Они будут подписанный и образуют двойную пропорцию, известную как перекрестное соотношение (иногда двойное соотношение)

${displaystyle (A,B;C,D)={frac {AC}{AD}}left/{frac {BC}{-DB}}ight.,}$

для которого гармонический диапазон характеризуется значением -1. Поэтому мы пишем:

${displaystyle (A,B;C,D)={frac {AC}{AD}}cdot {frac {BD}{BC}}=-1.}$

Значение кросс-отношения в целом не уникален, поскольку это зависит от порядка выбора сегментов (а таких вариантов шесть). Но, в частности, для гармонического диапазона существует всего три значения поперечного отношения: {−1, 1/2, 2}, поскольку −1 является самообратным, поэтому обмен двумя последними точками просто приводит к возврату каждого из этих значений, но не дает нового значения, и классически известен как гармоническое поперечное отношение.

По двойному коэффициенту, учитывая баллы а и б на аффинной прямой коэффициент деления^[2] точки Икс является

${displaystyle t(x)={frac {x-a}{x-b}}.}$

Обратите внимание, что когда а < Икс < б, тогда т(Икс) отрицательно, а за пределами интервала - положительно. (c, d; а, б) = т(c)/т(d) - это соотношение коэффициентов деления или двойное соотношение. Установка двойного отношения на минус один означает, что когда т(c) + т(d) = 0, тогда c и d являются гармонически сопряженными относительно а и б. Таким образом, критерием коэффициента деления является то, что они аддитивное обратное.

Гармоническое деление отрезка прямой - частный случай Определение круга Аполлонием.

В некоторых школьных исследованиях конфигурация гармонического диапазона называется гармоническое деление.

Середины

Середина и бесконечность гармонически сопряжены.

Когда Икс это середина сегмента из а к б, тогда

${displaystyle t(x)={frac {x-a}{x-b}}=-1.}$

По критерию кросс-отношения гармоническое сопряжение Икс будет у когда т(у) = 1. Но нет конечного решения для у на линии через а и б. Тем не менее,

${displaystyle lim _{y o infty }t(y)=1,}$

таким образом мотивируя включение точка в бесконечности в проективной линии. Эта бесконечно удаленная точка служит гармоническим сопряжением средней точки Икс.

Из полного четырехугольника

Другой подход к гармоническому сопряжению заключается в концепции полный четырехугольник Такие как KLMN на диаграмме выше. Исходя из четырех точек, полный четырехугольник имеет пары противоположных сторон и диагоналей. В выражении гармонических конъюгатов Х. С. М. Коксетер, диагонали считаются парой противоположных сторон:

D является гармоническим сопряжением C относительно А и B, что означает наличие четырехугольника IJKL такая, что одна пара противоположных сторон пересекается в А, а вторая пара на B, а третья пара встречается AB в C и D.^[3]

Это было Карл фон Штаудт который впервые использовал гармоническое сопряжение в качестве основы для проективной геометрии независимо от метрических соображений:

... Штаудту удалось освободить проективную геометрию от элементарной геометрии. В его Geometrie der Lage Штаудт ввел гармоническую четверку элементов независимо от концепции поперечного отношения, следуя чисто проективному маршруту, используя полный четырехугольник или четырехугольник.^[4]

${displaystyle P_{1}=A, P_{2}=S,}$
${displaystyle P_{3}=B, P_{4}=Q,D=M;}$
(игнорируйте зеленый M).

Чтобы увидеть полный четырехугольник, применяемый для получения средней точки, рассмотрим следующий отрывок из Дж. У. Янга:

Если две произвольные строки AQ и В КАЧЕСТВЕ проходят через А и линии BS и BQ проходят через B параллельно AQ и В КАЧЕСТВЕ соответственно, строки AQ и SB встречаются по определению в точке р на бесконечности, а В КАЧЕСТВЕ и QB встретиться по определению в точке п на бесконечности. Полный четырехугольник PQRS то имеет две диагональные точки в А и B, а оставшаяся пара противоположных сторон проходит через M и точка в бесконечности на AB. Смысл M тогда по построению является гармоническим сопряжением бесконечно удаленной точки на AB относительно А и B. С другой стороны, это M это середина отрезка AB Из известного утверждения следует, что диагонали параллелограмма (PQRS) разделите друг друга пополам.^[5]

Четвертичные отношения

Четыре упорядоченных точки на проективный диапазон называются гармонические точки когда есть тетрастигм в плоскости так, что первая и третья точки являются кодоидами, а две другие точки находятся на соединительных элементах третьей кодо.^[6]

Если п точка не на прямой с гармоническими точками, стыки п с точками гармонические прямые. Аналогично, если ось карандаш самолетов является перекос к прямой с гармоническими точками плоскости на точках равны гармонические плоскости.^[6]

Набор из четырех в таком отношении был назван гармоническая четверка.^[7]

Проективные коники

Коника на проективной плоскости - это кривая C который имеет следующее свойство: Если п это точка не на C, а если переменная строка через п встречает C в точках А и B, то переменное гармоническое сопряжение п относительно А и B проводит линию. Смысл п называется столб этой линии гармонических сопряженных, и эта линия называется полярная линия из п относительно коники. См. Статью Полярный и полярный Больше подробностей.

Инверсивная геометрия

Основная статья: Инверсивная геометрия

В случае, когда коника представляет собой окружность, на расширенных диаметрах окружности гармонические сопряжения относительно окружности равны переворачивает по кругу. Этот факт следует из одной из теорем Смогоржевского:^[8]

Если круги k и q взаимно ортогональны, то прямая, проходящая через центр k и пересекающиеся q, делает это в точках, симметричных относительноk.

То есть, если линия представляет собой удлиненный диаметр k, то пересечения с q являются гармоническими сопряженными.

Тетрады Галуа

В Геометрия Галуа через Поле Галуа GF (q) строка имеет q +1 балл, где ∞ = (1,0). На этой линии четыре точки образуют гармоническую тетраду, когда две гармонично разделяют другие. Условие

${displaystyle (c,d;a,b)=-1, { ext{ equivalently }} 2(cd+ab)=(c+d)(a+b),}$

характеризует гармонические тетрады. Внимание к этим тетрадам привело Жан Дьедонне к его описанию некоторых случайные изоморфизмы из проективные линейные группы PGL (2, q) за q = 5, 7 и 9.^[9]

Если q = 2^п, то гармоническое сопряжение C есть само.^[10]

Итерированные проективные гармонические сопряжения и золотое сечение

Позволять ${displaystyle P_{0},P_{1},P_{2}}$ быть тремя разными точками на реальной проективной прямой. Рассмотрим бесконечную последовательность точек ${displaystyle P_{n},}$ куда ${displaystyle P_{n}}$ является гармоническим сопряжением ${displaystyle P_{n-3}}$ относительно ${displaystyle P_{n-1},P_{n-2}}$ за ${displaystyle n>2.}$ Эта последовательность сходится.^[11]

Для конечного предела ${displaystyle P}$ у нас есть

${displaystyle lim _{n o infty }{frac {P_{n+1}P}{P_{n}P}}=Phi -2=-Phi ^{-2}=-{frac {3-{sqrt {5}}}{2}},}$

куда ${displaystyle Phi ={ frac {1}{2}}(1+{sqrt {5}})}$ это Золотое сечение, т.е. ${displaystyle P_{n+1}Papprox -Phi ^{-2}P_{n}P}$ для больших ${displaystyle n}$.Для бесконечного предела имеем

${displaystyle lim _{n o infty }{frac {P_{n+2}P_{n+1}}{P_{n+1}P_{n}}}=-1-Phi =-Phi ^{2}.}$

Для доказательства рассмотрим проективный изоморфизм

${displaystyle f(z)={frac {az+b}{cz+d}}}$

с

${displaystyle fleft((-1)^{n}Phi ^{2n}ight)=P_{n}.}$

Рекомендации

1. Р. Л. Гудштейн и Э. Дж. Ф. Примроуз (1953) Аксиоматическая проективная геометрия, Университетский колледж Лестера (издатель). Этот текст следует синтетическая геометрия. Гармоническая конструкция на странице 11
2. Дирк Струик (1953) Лекции по аналитической и проективной геометрии, стр. 7
3. Х. С. М. Коксетер (1942) Неевклидова геометрия, стр.29, University of Toronto Press
4. Б.Л. Лаптев, Б.А. Розенфельд (1996) Математика XIX века: геометрия, стр. 41, Birkhäuser Verlag ISBN  3-7643-5048-2
5. Джон Уэсли Янг (1930) Проективная геометрия, стр. 85, Математическая ассоциация Америки, Чикаго: Издательство Open Court
6. Г. Б. Холстед (1906) Синтетическая проективная геометрия, страницы 15 и 16
7. Луис Сантало (1966) Geometría proyectiva, стр. 166, Редакция Universitaria de Buenos Aires
8. В КАЧЕСТВЕ. Смогоржевский (1982) Геометрия Лобачевского, Издательство Мир, Москва
9. Жан Дьедонне (1954) "Исключительные изоморфизмы в конечных классических группах", Канадский математический журнал 6: 305–15 Дои:10.4153 / CJM-1954-029-0
10. Эмиль Артин (1957) Геометрическая алгебра, стр.82
11. Ф. Лейтенбергер (2016) Итерированные гармонические деления и золотое сечение, Форум Геометрикорум 16: 429–430

• Хуан Карлос Альверес (2000) Проективная геометрия см. главу 2: Реальная проективная плоскость, раздел 3: Гармонические четверки и теорема фон Штаудта.
• Роберт Лахлан (1893) Элементарный трактат о современной чистой геометрии, ссылка из Корнелл Университет Исторические математические монографии.
• Бертран Рассел (1903) Основы математики, стр. 384.
• Рассел, Джон Уэлсли (1905). Чистая геометрия. Кларендон Пресс.