Перекрестное соотношение - Cross-ratio

Точки А, B, C, D и А′, B′, C′, D′ Связаны проективным преобразованием, поэтому их перекрестные отношения, (А, B; C, D) и (А′, B′; C′, D′) равны.

В геометрия, то перекрестное соотношение, также называемый двойное соотношение и ангармонический коэффициент, это число, связанное со списком из четырех коллинеарен точки, особенно точки на проективная линия. Учитывая четыре балла А, B, C и D на линии их поперечное отношение определяется как

{ Displaystyle (А, В; С, D) = { гидроразрыва {AC cdot BD} {BC cdot AD}}}

где ориентация линии определяет знак каждого расстояния, а расстояние измеряется в проекции на Евклидово пространство. (Если одна из четырех точек является бесконечно удаленной точкой прямой, то два расстояния, включающие эту точку, исключаются из формулы.) D это гармоническое сопряжение из C относительно А и B точно, если кросс-отношение четверки равно -1, что называется коэффициент гармоник. Таким образом, кросс-отношение можно рассматривать как измерение четверного отклонения от этого отношения; отсюда и название ангармонический коэффициент.

Кросс-соотношение сохраняется дробно-линейные преобразования. По сути, это единственный проективный инвариантный четверки коллинеарных точек; это лежит в основе его важности для проективная геометрия.

Перекрестное отношение было определено в глубокой древности, возможно, уже Евклид, и был рассмотрен Паппус, который отметил его ключевое свойство инвариантности. Он широко изучался в 19 веке.^[1]

Варианты этой концепции существуют для четверки совпадающих прямых на проективной плоскости и четверки точек на плоскости. Сфера Римана.В Модель Кэли-Клейна из гиперболическая геометрия, расстояние между точками выражается через определенное поперечное отношение.

Терминология и история

D это гармоническое сопряжение из C относительно А и B, так что кросс-отношение (А, B; C, D) равно -1.

Папп Александрийский неявно использовал понятия, эквивалентные перекрестному соотношению в его Коллекция: Книга VII. Включены ранние пользователи Pappus Исаак Ньютон, Мишель Часлес, и Роберт Симсон. В 1986 году Александр Джонс сделал перевод оригинала Паппа, а затем написал комментарий о том, как леммы Паппа соотносятся с современной терминологией.^[2]

Современное использование поперечного отношения в проективной геометрии началось с Лазар Карно в 1803 году с его книгой Géométrie de Position. Используемый термин был le rapport anharmonique (Fr: ангармонический коэффициент). Немецкие геометры называют это das Doppelverhältnis (Гер: двойное соотношение).

Учитывая три точки на линии, четвертая точка, которая делает кросс-отношение равным минус единице, называется проективное гармоническое сопряжение. В 1847 г. Карл фон Штаудт назвал конструкцию четвертой точки a бросить (Вурф), и использовал конструкцию для демонстрации арифметики, неявной в геометрии. Его Алгебра бросков обеспечивает подход к численным предложениям, обычно принимаемым как аксиомы, но доказанным в проективной геометрии.^[3]

Английский термин «кросс-отношение» был введен в 1878 г. Уильям Кингдон Клиффорд.^[4]

Определение

Кросс-отношение четверки различных точек на реальная линия с координатами z₁, z₂, z₃, z₄ дан кем-то

{ displaystyle (z_ {1}, z_ {2}; z_ {3}, z_ {4}) = { frac {(z_ {3} -z_ {1}) (z_ {4} -z_ {2} )} {(z_ {3} -z_ {2}) (z_ {4} -z_ {1})}}.}.

Его также можно записать как «двойное соотношение» двух соотношений деления троек баллов:

{ displaystyle (z_ {1}, z_ {2}; z_ {3}, z_ {4}) = { frac {z_ {3} -z_ {1}} {z_ {3} -z_ {2}} }: { frac {z_ {4} -z_ {1}} {z_ {4} -z_ {2}}}.}

Кросс-отношение обычно распространяется на случай, когда одно из z₁, z₂, z₃, z₄ является бесконечность ${ Displaystyle ( infty);}$ это делается путем удаления соответствующих двух отличий из формулы.

Например: если ${ displaystyle z_ {1} = infty}$ кросс-отношение становится:

{ displaystyle (z_ {1}, z_ {2}; z_ {3}, z_ {4}) = { frac {(z_ {3} - infty) (z_ {4} -z_ {2})} {(z_ {3} -z_ {2}) (z_ {4} - infty)}} = { frac {(z_ {4} -z_ {2})} {(z_ {3} -z_ {2 })}}.}

В геометрии, если А, B, C и D являются коллинеарными точками, то поперечное отношение определяется аналогично

{ Displaystyle (А, В; С, D) = { гидроразрыва {AC cdot BD} {BC cdot AD}},}

где каждое из расстояний подписано в соответствии с последовательной ориентацией линии.

Те же формулы можно применить к четырем разным сложные числа или, в более общем смысле, к элементам любого поле и может быть расширен на случай, когда один из них является символом ∞, удалив соответствующие два отличия из формулы. Формула показывает, что кросс-отношение есть функция из четырех точек, обычно четыре числа ${ Displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}, z_ {4}}$ взято с поля.

Характеристики

Поперечное отношение четырех коллинеарных точек А, B, C, D можно записать как

{ displaystyle (A, B; C, D) = { frac {AC} {CB}}: { frac {AD} {DB}}}

где ${ displaystyle { frac {AC} {CB}}}$ описывает соотношение, с которым точка C делит отрезок линии AB, и ${ displaystyle { frac {AD} {DB}}}$ описывает соотношение, с которым точка D делит тот же отрезок линии. Затем перекрестное отношение появляется как отношение соотношений, описывающих, как две точки C, D расположены относительно отрезка AB. Пока точки А, B, C и D различны, поперечное отношение (А, B; C, D) будет ненулевым действительным числом. Мы легко можем сделать вывод, что

(А, B; C, D) <0 тогда и только тогда, когда одна из точек C, D лежит между точками А, B а другой не
(А, B; C, D) = 1 / (А, B; D, C)
(А, B; C, D) = (C, D; А, B)
(А, B; C, D) ≠ (А, B; C, E) ↔ D ≠ E

Шесть перекрестных соотношений

Четыре точки можно заказать в 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 способов, но есть только шесть способов разбить их на две неупорядоченные пары. Таким образом, четыре точки могут иметь только шесть различных перекрестных отношений, которые связаны следующим образом:

{ Displaystyle { begin {выровнен} & (A, B; C, D) = (B, A; D, C) = (C, D; A, B) = (D, C; B, A) = lambda [6pt] & (A, B; D, C) = (B, A; C, D) = (C, D; B, A) = (D, C; A, B) = { frac {1} { lambda}} [6pt] & (A, C; B, D) = (B, D; A, C) = (C, A; D, B) = (D, B; C, A) = 1- lambda [6pt] & (A, C; D, B) = (B, D; C, A) = (C, A; B, D) = (D, B; A, C) = { frac {1} {1- lambda}} [6pt] & (A, D; B, C) = (B, C; A, D) = (C, B; D , A) = (D, A; C, B) = { frac { lambda -1} { lambda}} [6pt] & (A, D; C, B) = (B, C; D , A) = (C, B; A, D) = (D, A; B, C) = { frac { lambda} { lambda -1}} end {align}}}

Проективная геометрия

Использование перекрестные отношения в проективная геометрия для измерения реальных размеров объектов, изображенных на перспективная проекция. A, B, C, D и V - точки на изображении, их расстояние указано в пикселях; A ', B', C 'и D' находятся в реальном мире, их разделение в метрах.

В (1) ширина переулка W вычисляется на основе известной ширины соседних магазинов.
В (2) нужна ширина только одного магазина, так как точка схода, V видна.

Кросс-отношение - это проективный инвариантный в том смысле, что он сохраняется проективные преобразования проекционной линии.

В частности, если четыре точки лежат на прямой L в р² тогда их перекрестное отношение является четко определенной величиной, потому что любой выбор начала координат и даже шкалы на линии даст такое же значение перекрестного отношения.

Кроме того, пусть {L_я | 1 ≤ я ≤ 4} - четыре различные прямые на плоскости, проходящие через одну и ту же точку Q. Тогда любая строка L не проходя через Q пересекает эти прямые в четырех различных точках п_я (если L является параллельно к L_я тогда соответствующая точка пересечения находится «на бесконечности»). Оказывается, соотношение этих точек (взятых в фиксированном порядке) не зависит от выбора линии. L, а значит, он является инвариантом набора из четырех прямых {L_я}.

Это можно понять так: если L и L′ Две прямые, не проходящие через Q затем трансформация перспективы из L к L′ С центром Q - проективное преобразование, переводящее четверку {п_я} точек на L в четверку {п_я′} Точек на L′.

Следовательно, инвариантность перекрестного отношения относительно проективных автоморфизмов прямой влечет (фактически, эквивалентна) независимость перекрестного отношения четырех коллинеарен точки {п_я} в строках {L_я} от выбора строки, в которой они находятся.

Определение в однородных координатах

Если четыре коллинеарных точки представлены в однородные координаты по векторам а, б, c, d такой, что c = а + б и d = ка + б, то их кросс-отношение равноk.^[5]

Роль в неевклидовой геометрии

Артур Кэли и Феликс Кляйн нашли применение кросс-отношения к неевклидова геометрия. Учитывая неособое конический C в реальном проективная плоскость, его стабилизатор г_C в проективная группа г = PGL (3, р) действует переходно по точкам в интерьере C. Однако есть инвариант для действия г_C на пары очков. Фактически, каждый такой инвариант можно выразить как функцию соответствующего поперечного отношения.^{[нужна цитата ]}

Гиперболическая геометрия

Явно, пусть коника будет единичный круг. Для любых двух точек п, Q, внутри единичного круга. Если соединяющая их линия пересекает круг в двух точках, Икс и Y и точки по порядку Икс, п, Q, Y. Тогда гиперболическое расстояние между п и Q в Модель Кэли – Клейна из гиперболическая плоскость можно выразить как

{ displaystyle d_ {h} (P, Q) = { frac {1} {2}} left | log left ({ frac {| XQ || PY |} {| XP || QY |} } right) right |}

(коэффициент, равный половине, необходим, чтобы кривизна −1). Поскольку поперечное отношение инвариантно относительно проективных преобразований, гиперболическое расстояние инвариантно относительно проективных преобразований, сохраняющих конику C.

Наоборот, группа г действует транзитивно на множестве пар точек (п, q) в единичном круге на фиксированном гиперболическом расстоянии.

Позже, отчасти под влиянием Анри Пуанкаре, кросс-отношение четырех сложные числа на круге использовалась для гиперболической метрики. Находиться на круге означает, что четыре точки являются изображением четырех реальных точек под Преобразование Мёбиуса, а значит, кросс-отношение является действительным числом. В Модель полуплоскости Пуанкаре и Модель диска Пуанкаре две модели гиперболической геометрии в сложная проективная линия.

Эти модели являются экземплярами Метрики Кэли – Клейна.

Ангармоническая группа

Перекрестное отношение может быть определено любым из этих четырех выражений:

{ Displaystyle (A, B; C, D) = (B, A; D, C) = (C, D; A, B) = (D, C; B, A). ,}

Они отличаются следующими перестановки переменных:

{ Displaystyle { begin {align} (A, B) (C, D) [6pt] (A, C) (B, D) [6pt] (A, D) (B, C) конец {выровнен}}}

Эти три и тождественная перестановка оставляют неизменным перекрестное отношение. Они составляют реализацию Кляйн четыре группы, а группа порядка 4, в котором порядок каждого неединичного элемента равен 2.

Другие перестановки четырех переменных изменяют перекрестное отношение, так что оно может принимать любое из следующих шести значений.

{ displaystyle { begin {align} (A, B; C, D) & = lambda & (A, B; D, C) & = { frac {1} { lambda}} [6pt] (A, C; D, B) & = { frac {1} {1- lambda}} & (A, C; B, D) & = 1- lambda [6pt] (A, D; C, B) & = { frac { lambda} { lambda -1}} & (A, D; B, C) & = { frac { lambda -1} { lambda}} end {выровнено }}}

В зависимости от λ, они образуют неабелеву группу порядка 6 с операцией композиции функций. Это ангармоническая группа. Это подгруппа группы всех Преобразования Мебиуса. Шесть перечисленных выше поперечных отношений представляют собой элементы кручения (геометрически, эллиптические преобразования ) из PGL (2, Z). А именно, ${ displaystyle { frac {1} { lambda}}}$ , ${ displaystyle 1- lambda ,}$ , и ${ displaystyle { frac { lambda} { lambda -1}}}$ порядка 2 в PGL (2, Z), с участием фиксированные точки соответственно -1, 1/2 и 2 (а именно орбита гармонического поперечного отношения). Между тем элементы ${ displaystyle { frac {1} {1- lambda}}}$ и ${ displaystyle { frac { lambda -1} { lambda}}}$ имеют порядок 3 в PGL (2, Z) - в PSL (2, Z) (это соответствует подгруппе А₃ четных элементов). Каждый из них фиксирует оба значения ${ displaystyle e ^ { pm я pi / 3}}$ "наиболее симметричного" поперечного отношения.

Ангармоническая группа порождается λ ↦ 1/λ и λ ↦ 1 − λ. Его действие на {0, 1, ∞} дает изоморфизм с S₃. Это также может быть реализовано как шесть упомянутых преобразований Мёбиуса,^[6] что дает проективный представление S₃ над любым полем (поскольку оно определяется с помощью целочисленных записей) и всегда является точным / инъективным (поскольку никакие два термина не отличаются только на 1 / −1). Над полем с двумя элементами проективная прямая имеет только три точки, поэтому это представление является изоморфизмом и исключительный изоморфизм ${ Displaystyle mathrm {S} _ {3} приблизительно mathrm {PGL} (2,2)}$ . В характеристике 3 это стабилизирует точку ${ displaystyle -1 = [- 1: 1]}$ , что соответствует орбите гармонического поперечного отношения, состоящей только из одной точки, поскольку ${ Displaystyle 2 = 1/2 = -1}$ . Над полем с 3 элементами проективная линия имеет только 4 точки и ${ Displaystyle mathrm {S} _ {4} приблизительно mathrm {PGL} (2,3)}$ , и, таким образом, представление является в точности стабилизатором гармонического поперечного отношения, что дает вложение ${ Displaystyle mathrm {S} _ {3} hookrightarrow mathrm {S} _ {4}}$ равняется стабилизатору точки ${ displaystyle -1}$ .

Роль четырехгруппы Клейна

На языке теория групп, то симметричная группа S₄ действует на перекрестное отношение путем перестановки координат. В ядро этого действия изоморфно Кляйн четыре группы К. Эта группа состоит из двухцикловых перестановок типа ${ Displaystyle (AB) (CD)}$ (помимо тождества), сохраняющие кросс-соотношение. Тогда эффективная группа симметрии - это факторгруппа ${ Displaystyle mathrm {S} _ {4} / mathrm {K}}$ , которая изоморфна S₃.

Исключительные орбиты

Для определенных значений λ будет большая симметрия и, следовательно, меньше шести возможных значений перекрестного отношения. Эти значения λ соответствуют фиксированные точки действия S₃ на сфере Римана (заданной указанными выше шестью функциями); или, что то же самое, точки с нетривиальным стабилизатор в этой группе перестановок.

Первый набор фиксированных точек {0, 1, ∞}. Однако кросс-отношение никогда не сможет принять эти значения, если точки А, B, C и D все разные. Эти значения являются предельными значениями при приближении одной пары координат друг к другу:

{ Displaystyle (Z, B; Z, D) = (A, Z; C, Z) = 0}

{ Displaystyle (Z, Z; C, D) = (A, B; Z, Z) = 1}

{ Displaystyle (Z, B; C, Z) = (A, Z; Z, D) = infty.}

Второй набор фиксированных точек {−1, 1/2, 2}. Это то, что классически называют гармоническое поперечное отношение, и возникает в проективные гармонические сопряжения. В реальном случае других исключительных орбит нет.

В сложном случае наиболее симметричное поперечное отношение имеет место, когда ${ displaystyle lambda = e ^ { pm я pi / 3}}$ . Тогда это единственные два значения перекрестного отношения, и на них действуют в соответствии со знаком перестановки.

Трансформационный подход

Кросс-отношение инвариантно относительно проективные преобразования линии. В случае сложный проективная линия, или Сфера Римана эти преобразования известны как Преобразования Мебиуса. Общее преобразование Мёбиуса имеет вид

{ displaystyle f (z) = { frac {az + b} {cz + d}} ;, quad { mbox {where}} a, b, c, d in mathbb {C} { mbox {и}} ad-bc neq 0.}

Эти преобразования образуют группа играет роль на Сфера Римана, то Группа Мебиуса.

Проективная инвариантность кросс-отношения означает, что

{ Displaystyle (е (z_ {1}), f (z_ {2}); f (z_ {3}), f (z_ {4})) = (z_ {1}, z_ {2}; z_ { 3}, z_ {4}). }

Кросс-отношение равно настоящий тогда и только тогда, когда четыре точки либо коллинеарен или конциклический, отражая тот факт, что каждое преобразование Мёбиуса отображает обобщенные круги в обобщенные круги.

Действие группы Мёбиуса есть просто переходный на множестве троек различных точек сферы Римана: для любой упорядоченной тройки различных точек, (z₂, z₃, z₄), существует уникальное преобразование Мёбиуса ж(z), который отображает его в тройку (1, 0, ∞). Это преобразование удобно описать с помощью перекрестного отношения: поскольку (z, z₂, z₃, z₄) должен равняться (ж(z), 1; 0, ∞), что, в свою очередь, равно ж(z), мы получаем

{ displaystyle f (z) = (z, z_ {2}; z_ {3}, z_ {4}).}

Альтернативное объяснение инвариантности кросс-отношения основано на том факте, что группа проективных преобразований линии порождается переводами, гомотетиями и мультипликативной инверсией. Различия z_j − z_k инвариантны относительно переводы

{ Displaystyle г mapsto г + а}

где а это постоянный в наземном поле F. Кроме того, коэффициенты деления инвариантны относительно гомотетия

{ displaystyle z mapsto bz}

для ненулевой константы б в F. Следовательно, кросс-отношение инвариантно относительно аффинные преобразования.

Чтобы получить четко определенный инверсионное отображение

{ displaystyle T: z mapsto z ^ {- 1},}

аффинную линию нужно дополнить точка в бесконечности, обозначенную ∞, образующую проективную прямую п¹(F). Каждое аффинное отображение ж : F → F однозначно продолжается до отображения п¹(F) в себя, что фиксирует бесконечно удаленную точку. Карта Т меняет местами 0 и ∞. Проективная группа Сгенерированно с помощью Т а аффинные отображения продолжаются на п¹(F). В этом случае F = C, то комплексная плоскость, это приводит к Группа Мебиуса. Поскольку кросс-отношение также инвариантно относительно Т, он инвариантен относительно любого проективного отображения п¹(F) в себя.

Описание координат

Если мы запишем комплексные точки как векторы ${ displaystyle { overrightarrow {x}} _ {n} = [ Re (z_ {n}), Im (z_ {n})] ^ { rm {T}}}$ и определить ${ displaystyle x_ {nm} = x_ {n} -x_ {m}}$ , и разреши ${ Displaystyle (а, б)}$ быть скалярным произведением ${ displaystyle a}$ с ${ displaystyle b}$ , то действительная часть кросс-отношения определяется выражением:

{ displaystyle C_ {1} = { frac {(x_ {12}, x_ {14}) (x_ {23}, x_ {34}) - (x_ {12}, x_ {34}) (x_ {14} }, x_ {23}) + (x_ {12}, x_ {23}) (x_ {14}, x_ {34})} {| x_ {23} | ^ {2} | x_ {14} | ^ { 2}}}}

Это инвариант 2D специальное конформное преобразование например инверсия ${ displaystyle x ^ { mu} rightarrow { frac {x ^ { mu}} {| x | ^ {2}}}}$ .

Мнимая часть должна использовать двумерное векторное произведение ${ displaystyle a times b = [a, b] = a_ {2} b_ {1} -a_ {1} b_ {2}}$

{ displaystyle C_ {2} = { frac {(x_ {12}, x_ {14}) [x_ {34}, x_ {23}] - (x_ {43}, x_ {23}) [x_ {12 }, x_ {34}]} {| x_ {23} | ^ {2} | x_ {14} | ^ {2}}}}

Кольцо омография

Концепция кросс-отношения зависит только от кольцо операции сложения, умножения и инверсии (хотя инверсия данного элемента не определена в кольце). Один подход к кросс-соотношению интерпретирует его как омография который переводит три обозначенные точки в 0, 1 и бесконечность. При ограничениях, связанных с инверсиями, можно сгенерировать такое отображение с кольцевыми операциями в проективная прямая над кольцом. Перекрестное отношение четырех баллов является оценкой этой гомографии в четвертой точке.

Дифференциально-геометрическая точка зрения

Теория приобретает аспект дифференциального исчисления, когда четыре точки сближаются. Это приводит к теории Производная Шварца, и в более общем плане проективные связи.

Многомерные обобщения

Перекрестное отношение не обобщается простым образом на более высокие измерения из-за других геометрических свойств конфигураций точек, в частности коллинеарности - конфигурационные пространства сложнее и отчетливее k-набор точек не входит общая позиция.

В то время как проективная линейная группа проективной прямой является 3-транзитивной (любые три различные точки могут быть отображены в любые другие три точки), и действительно просто 3-транзитивной (существует уникальный проективное отображение, переводящее любую тройку в другую тройку), с перекрестным отношением, таким образом, являющимся единственным проективным инвариантом набора из четырех точек, существуют основные геометрические инварианты в более высокой размерности. Проективная линейная группа п-Космос ${ Displaystyle mathbf {P} ^ {n} = mathbf {P} (K ^ {n + 1})}$ имеет (п + 1)² - 1 размер (потому что это ${ Displaystyle mathrm {PGL} (n, K) = mathbf {P} ( mathrm {GL} (n + 1, K)),}$ проективизация, удаляющая одно измерение), но в других измерениях проективная линейная группа является только 2-транзитивной - потому что три коллинеарных точки должны отображаться в три коллинеарных точки (что не является ограничением в проективной прямой) - и, таким образом, нет " обобщенное кросс-отношение ", обеспечивающее уникальный инвариант п² точки.

Коллинеарность - не единственное геометрическое свойство конфигураций точек, которое необходимо поддерживать - например, пять точек определяют конус, но шесть общих точек не лежат на конике, поэтому любой набор из шести точек, лежащий на конике, также является проективным инвариантом. Можно изучать орбиты точек в общая позиция - в строке «общее положение» эквивалентно различению, в то время как в более высоких измерениях это требует геометрических соображений, как обсуждалось, - но, как указано выше, это более сложно и менее информативно.

Однако обобщение на Римановы поверхности положительных род существует, используя Карта Абеля – Якоби и тета-функции.

Смотрите также

Метрика Гильберта

Примечания

^ Теорема об ангармоническом отношении линий появилась в работе Паппус, но Мишель Часлес, приложившие немалые усилия для восстановления утраченных произведений Евклид, утверждал, что ранее это фигурировало в его книге Поризмы.
^ Александр Джонс (1986) Книга 7 Сборника, часть 1: введение, текст, перевод ISBN 0-387-96257-3, часть 2: комментарий, указатель, рисунки ISBN 3-540-96257-3, Springer-Verlag
^ Говард Ивс (1972) Обзор геометрии, Пересмотренное издание, стр. 73, Аллин и Бэкон
^ W.K. Клиффорд (1878) Элементы Динамики, книги I, II, III, стр. 42, Лондон: MacMillan & Co; он-лайн презентация Корнелл Университет Исторические математические монографии.
^ Ирвинг Каплански (1969). Линейная алгебра и геометрия: второй курс. ISBN 0-486-43233-5.
^ Чандрасекхаран, К. (1985). Эллиптические функции. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 281. Springer-Verlag. п. 120. ISBN 3-540-15295-4. Zbl 0575.33001.

внешняя ссылка

MathPages - Кевин Браун объясняет кросс-соотношение в своей статье о Мистическая гексаграмма Паскаля
Кросс-соотношение в завязать узел
Вайсштейн, Эрик В. "Перекрестное соотношение". MathWorld.
Ардила, Федерико. «Поперечное соотношение» (видео). YouTube. Брэди Харан. Получено 6 июля 2018.

[1] Теорема об ангармоническом отношении линий появилась в работе Паппус, но Мишель Часлес, приложившие немалые усилия для восстановления утраченных произведений Евклид, утверждал, что ранее это фигурировало в его книге Поризмы.

[2] Александр Джонс (1986) Книга 7 Сборника, часть 1: введение, текст, перевод ISBN 0-387-96257-3, часть 2: комментарий, указатель, рисунки ISBN 3-540-96257-3, Springer-Verlag

[3] Говард Ивс (1972) Обзор геометрии, Пересмотренное издание, стр. 73, Аллин и Бэкон

[4] W.K. Клиффорд (1878) Элементы Динамики, книги I, II, III, стр. 42, Лондон: MacMillan & Co; он-лайн презентация Корнелл Университет Исторические математические монографии.

[5] Ирвинг Каплански (1969). Линейная алгебра и геометрия: второй курс. ISBN 0-486-43233-5.

[6] Чандрасекхаран, К. (1985). Эллиптические функции. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 281. Springer-Verlag. п. 120. ISBN 3-540-15295-4. Zbl 0575.33001.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]