Неевклидова геометрия - Non-Euclidean geometry

Поведение линий с общим перпендикуляром в каждом из трех типов геометрии

В математика, неевклидова геометрия состоит из двух геометрий, основанных на аксиомы тесно связаны с теми, которые определяют Евклидова геометрия. Поскольку евклидова геометрия лежит на пересечении метрическая геометрия и аффинная геометрия, неевклидова геометрия возникает либо путем ослабления требования метрики, либо путем замены параллельный постулат с альтернативой. В последнем случае получаем гиперболическая геометрия и эллиптическая геометрия, традиционные неевклидовы геометрии. Когда требования к метрике ослаблены, появляются аффинные плоскости, связанные с плоские алгебры, которые вызывают кинематическая геометрия которые также были названы неевклидовой геометрией.

Существенное различие между метрическими геометриями заключается в природе параллельно линий. Евклид пятый постулат, параллельный постулат, эквивалентно Постулат Playfair, который утверждает, что в двухмерной плоскости для любой данной линии л и точка А, которого нет на л, проходит ровно одна линия А что не пересекается л. В гиперболической геометрии, напротив, есть бесконечно много строк через А не пересекаются л, а в эллиптической геометрии любая линия, проходящая через А пересекает л.

Другой способ описать различия между этими геометриями - рассмотреть две прямые линии, неограниченно вытянутые в двумерной плоскости, которые обе являются перпендикуляр на третью строку (в той же плоскости):

• В евклидовой геометрии линии остаются неизменными. расстояние друг от друга (это означает, что линия, проведенная перпендикулярно одной линии в любой точке, будет пересекать другую линию, а длина отрезка линии, соединяющего точки пересечения, остается постоянной) и называются параллелями.
• В гиперболической геометрии они «изгибаются» друг от друга, увеличиваясь по мере удаления от точек пересечения с общим перпендикуляром; эти строки часто называют ультрапараллели.
• В эллиптической геометрии линии «изгибаются навстречу» друг другу и пересекаются.

История

Смотрите также: Гиперболическая геометрия § История

Фон

Евклидова геометрия, названный в честь Греческий математик Евклид, включает в себя некоторые из старейших известных математиков, а геометрии, отклоняющиеся от этого, не были широко признаны законными до 19 века.

Споры, которые в конечном итоге привели к открытию неевклидовой геометрии, начались почти сразу после того, как Евклид написал Элементы. в ЭлементыЕвклид начинает с ограниченного числа предположений (23 определения, пять общих понятий и пять постулатов) и пытается доказать все остальные результаты (предложения ) в работе. Самый печально известный постулат часто называют «Пятым постулатом Евклида» или просто параллельный постулат, что в исходной формулировке Евклида:

Если прямая линия падает на две прямые таким образом, что внутренние углы на одной стороне вместе составляют меньше двух прямых углов, тогда прямые линии, если они образуются бесконечно, пересекаются на той стороне, на которой углы меньше, чем два прямых угла.

Другие математики придумали более простые формы этого свойства. Однако, независимо от формы постулата, он всегда кажется более сложным, чем Другие постулаты Евклида:

1. Провести прямую линию из любой точки в любую точку.

2. Построить [удлинить] конечную прямую непрерывно в прямую.

3. Описать круг с любым центром и расстоянием [радиусом].

4. Все прямые углы равны друг другу.

По крайней мере, тысячу лет геометры были обеспокоены несопоставимой сложностью пятого постулата и полагали, что его можно доказать в виде теоремы из четырех других. Многие пытались найти доказательство от противного, включая Ибн аль-Хайсам (Альхазен, 11 век),^[1] Омар Хайям (12 век), Насир ад-Дин ат-Туси (13 век), и Джованни Джироламо Саккери (18-ый век).

Теоремы Ибн аль-Хайсама, Хайяма и ат-Туси о четырехугольники, в том числе Четырехугольник Ламберта и Четырехугольник Саккери, были «первые несколько теорем гиперболический и эллиптические геометрии ". Эти теоремы вместе с их альтернативными постулатами, такими как Аксиома Playfair, сыграл важную роль в более позднем развитии неевклидовой геометрии. Эти ранние попытки оспорить пятый постулат оказали значительное влияние на его развитие среди более поздних европейских геометров, включая Witelo, Леви бен Герсон, Альфонсо, Джон Уоллис и Саккери.^[2] Однако все эти ранние попытки сформулировать неевклидову геометрию дали ошибочные доказательства постулата параллельности, содержащие предположения, которые по существу эквивалентны постулату параллельности. Однако эти ранние попытки предоставили некоторые ранние свойства гиперболической и эллиптической геометрий.

Хайям, например, пытался вывести его из эквивалентного постулата, который он сформулировал из «принципов философа» (Аристотель ): "Две сходящиеся прямые линии пересекаются, и две сходящиеся прямые линии не могут расходиться в направлении, в котором они сходятся."^[3] Затем Хайям рассмотрел три случая правильного, тупого и острого, которые могут принимать вершины четырехугольника Саккери, и после доказательства ряда теорем о них, он правильно опроверг эти тупые и острые случаи на основе своего постулата и, следовательно, вывел классический постулат Евклида, что он не осознавал, было эквивалентно его собственному постулату. Другой пример - сын ат-Туси, Садр ад-Дин (иногда известный как «Псевдо-Туси»), который написал книгу на эту тему в 1298 году, основанную на более поздних мыслях ат-Туси, в которой была представлена ​​другая гипотеза, эквивалентная параллельному постулату. . "Он существенно пересмотрел как евклидову систему аксиом и постулатов, так и доказательства многих утверждений из Элементы."^[4][5] Его работа была опубликована в Рим в 1594 г. и изучалась европейскими геометрами, в том числе Саккери.^[4] который критиковал эту работу, а также работу Уоллиса.^[6]

Джордано Витале, в его книге Евклид реституо (1680, 1686) использовали четырехугольник Саккери, чтобы доказать, что если три точки равноудалены на основании AB и вершине CD, то AB и CD везде равноудалены.

В работе под названием Евклид ab Omni Naevo Vindicatus (Евклид свободен от всех недостатков), опубликованной в 1733 году, Саккери быстро отверг эллиптическую геометрию как возможность (некоторые другие аксиомы Евклида должны быть изменены, чтобы эллиптическая геометрия работала) и принялся за работу, доказывая большое количество результатов в гиперболической геометрии.

В конце концов он достиг точки, когда он считал, что его результаты демонстрируют невозможность гиперболической геометрии. Его утверждение, кажется, было основано на предположениях Евклида, потому что нет логичный противоречие присутствовало. В этой попытке доказать евклидову геометрию он вместо этого непреднамеренно открыл новую жизнеспособную геометрию, но не реализовал ее.

В 1766 г. Иоганн Ламберт написал, но не опубликовал, Theorie der Parallellinien в котором он попытался, как и Саккери, доказать пятый постулат. Он работал с фигурой, которую сегодня мы называем Четырехугольник Ламберта, четырехугольник с тремя прямыми углами (можно рассматривать как половину четырехугольника Саккери). Он быстро исключил возможность тупости четвертого угла, как это сделали Саккери и Хайям, а затем приступил к доказательству многих теорем в предположении об остром угле. В отличие от Саккери, он никогда не чувствовал, что пришел к противоречию с этим предположением. Он доказал неевклидов результат, согласно которому сумма углов в треугольнике увеличивается с уменьшением площади треугольника, и это привело его к размышлениям о возможности модели острого случая на сфере мнимого радиуса. Он не стал продвигать эту идею дальше.^[7]

В то время было широко распространено мнение, что Вселенная работает в соответствии с принципами евклидовой геометрии.^[8]

Открытие неевклидовой геометрии

В начале XIX века, наконец, произошли решающие шаги в создании неевклидовой геометрии. Карл Фридрих Гаусс и независимо около 1818 года немецкий профессор права Фердинанд Карл Швейкарт^[9] были разработаны зародышевые идеи неевклидовой геометрии, но ни один из них не опубликовал никаких результатов. Племянник Швейкарта Франц Тауринус действительно опубликовал важные результаты гиперболической тригонометрии в двух статьях в 1825 и 1826 годах, однако, признавая внутреннюю непротиворечивость гиперболической геометрии, он все же верил в особую роль евклидовой геометрии.^[10]

Затем, в 1829–1830 гг. русский математик Николай Иванович Лобачевский а в 1832 г. Венгерский математик Янош Бойяи отдельно и независимо опубликованные трактаты по гиперболической геометрии. Следовательно, гиперболическая геометрия называется геометрией Лобачевского или геометрией Бояи-Лобачевского, поскольку оба математика, независимо друг от друга, являются основными авторами неевклидовой геометрии. Гаусс упомянул отцу Бойая, когда ему показали работу младшего Бояи, что он разработал такую ​​геометрию за несколько лет до этого,^[11] правда он не публиковал. В то время как Лобачевский создал неевклидову геометрию, отрицая постулат параллельности, Бойяи разработал геометрию, в которой возможны как евклидова, так и гиперболическая геометрия в зависимости от параметра.k. Бойяи завершает свою работу упоминанием о том, что невозможно решить с помощью одних только математических рассуждений, является ли геометрия физической вселенной евклидовой или неевклидовой; это задача физических наук.

Бернхард Риманн в известной лекции 1854 г. Риманова геометрия, обсуждая, в частности, идеи, которые сейчас называются коллекторы, Риманова метрика, и кривизна Он построил бесконечное семейство неевклидовых геометрий, указав формулу для семейства римановых метрик на единичном шаре в Евклидово пространство. Самый простой из них называется эллиптическая геометрия и считается неевклидовой геометрией из-за отсутствия параллельных линий.^[12]

Формулируя геометрию в терминах кривизны тензор Риман позволил неевклидовой геометрии применяться к более высоким измерениям. Бельтрами (1868) был первым, кто применил геометрию Римана к пространствам отрицательной кривизны.

Терминология

Именно Гаусс ввел термин «неевклидова геометрия».^[13] Он имел в виду свою собственную работу, которую сегодня мы называем гиперболическая геометрия. Некоторые современные авторы до сих пор считают неевклидова геометрия и гиперболическая геометрия синонимы.

Артур Кэли отметил, что расстояние между точками внутри коники можно определить в терминах логарифм и проективный перекрестное соотношение функция. Метод получил название Метрика Кэли – Клейна потому что Феликс Кляйн использовали его для описания неевклидовой геометрии в статьях^[14] в 1871 и 1873 годах, а затем в виде книги. Метрики Кэли – Клейна предоставили рабочие модели гиперболической и эллиптической метрической геометрии, а также евклидовой геометрии.

Клейн отвечает за термины «гиперболический» и «эллиптический» (в своей системе он назвал евклидовой геометрией параболический, термин, который обычно выходил из употребления^[15]). Его влияние привело к нынешнему использованию термина «неевклидова геометрия» для обозначения либо «гиперболической», либо «эллиптической» геометрии.

Есть некоторые математики, которые по-разному расширяют список геометрий, которые следует называть «неевклидовой».^[16]

Аксиоматическая основа неевклидовой геометрии

Евклидова геометрия может быть описана аксиоматически несколькими способами. К сожалению, первоначальная система пяти постулатов (аксиом) Евклида не входит в их число, так как его доказательства опирались на несколько неустановленных предположений, которые также следовало принять в качестве аксиом. Система гильберта состоящий из 20 аксиом^[17] наиболее близко следует подходу Евклида и обеспечивает обоснование всех доказательств Евклида. Другие системы, использующие другие наборы неопределенные условия получить одинаковую геометрию разными путями. Однако все подходы имеют аксиому, которая логически эквивалентна пятому постулату Евклида, постулату параллельности. Гильберта использует форму аксиомы Playfair, а Биркофф, например, использует аксиому, которая гласит: «Существует пара похожих, но не совпадающих треугольников». В любой из этих систем удаление одной аксиомы, эквивалентной постулату параллельности, в какой бы форме она ни принималась, и оставление всех остальных аксиом нетронутыми, дает абсолютная геометрия. Поскольку первые 28 предложений Евклида (в Элементы) не требуют использования постулата параллельности или чего-либо эквивалентного ему, все они являются истинными утверждениями в абсолютной геометрии.^[18]

Чтобы получить неевклидову геометрию, постулат параллельности (или его эквивалент) должен заменить его отрицание. Отрицая Аксиома Playfair form, поскольку это составной оператор (... существует один и только один ...), можно выполнить двумя способами:

• Либо будет существовать более одной прямой, проходящей через точку, параллельную данной прямой, либо не будет никаких прямых, проходящих через точку, параллельную данной прямой. В первом случае замена постулата параллельности (или его эквивалента) утверждением «На плоскости, заданной точке P и прямой л не проходя через P, существуют две прямые, проходящие через P, которые не пересекаются л"и соблюдая все остальные аксиомы, дает гиперболическая геометрия.^[19]
• Второй случай решается не так просто. Просто заменив постулат параллельности утверждением: "На плоскости, если даны точка P и прямая л не проходя через P, все прямые, проходящие через P, пересекаются л", не дает последовательного набора аксиом. Это следует из того, что параллельные прямые существуют в абсолютной геометрии,^[20] но это утверждение говорит, что нет параллельных линий. Эта проблема была известна (в другом виде) Хайяму, Саккери и Ламберту и послужила основанием для их отказа от так называемого «случая тупого угла». Чтобы получить непротиворечивый набор аксиом, включающий эту аксиому об отсутствии параллельных прямых, необходимо изменить некоторые другие аксиомы. Эти корректировки зависят от используемой системы аксиом. Среди прочего, эти настройки имеют эффект модификации второго постулата Евклида от утверждения, что отрезки линии могут быть неограниченно продолжены, до утверждения, что линии не ограничены. Риман с эллиптическая геометрия возникает как наиболее естественная геометрия, удовлетворяющая этой аксиоме.

Модели неевклидовой геометрии

Сравнение эллиптической, евклидовой и гиперболической геометрий в двух измерениях

Дальнейшая информация: Модели неевклидовой геометрии

На сфере сумма углов треугольника не равна 180 °. Поверхность сферы не является евклидовым пространством, но локально законы евклидовой геометрии являются хорошими приближениями. В маленьком треугольнике на поверхности земли сумма углов очень близка к 180 °.

Двумерная евклидова геометрия смоделированный по нашему понятию "квартира самолет ".

Эллиптическая геометрия

Основная статья: Эллиптическая геометрия

Самая простая модель для эллиптическая геометрия это сфера, где линии "большие круги " (такой как экватор или меридианы на глобус ), и точки напротив друг друга (называемые противоположные точки ) идентифицированы (считаются одинаковыми). Это тоже одна из стандартных моделей реальная проективная плоскость. Разница в том, что в качестве модели эллиптической геометрии вводится метрика, позволяющая измерять длины и углы, а в качестве модели проективной плоскости такой метрики нет.

В эллиптической модели для любой данной линии л и точка А, которого нет на л, все строки через А пересечется л.

Гиперболическая геометрия

Основная статья: Гиперболическая геометрия

Даже после работ Лобачевского, Гаусса и Бояи оставался вопрос: «Существует ли такая модель для гиперболическая геометрия ? ". Модель для гиперболическая геометрия ответил Эухенио Бельтрами, в 1868 году, который первым показал, что поверхность, называемая псевдосфера имеет соответствующий кривизна смоделировать часть гиперболическое пространство и во второй статье того же года определил Модель Кляйна, который моделирует все гиперболическое пространство, и использовал это, чтобы показать, что евклидова геометрия и гиперболическая геометрия были равноправный так что гиперболическая геометрия была логически последовательный тогда и только тогда, когда была евклидова геометрия. (Обратное следствие следует из горосфера модель евклидовой геометрии.)

В гиперболической модели в двухмерной плоскости для любой данной линии л и точка А, которого нет на л, Существуют бесконечно много строк через А которые не пересекаются л.

В этих моделях концепции неевклидовой геометрии представлены евклидовыми объектами в евклидовой обстановке. Это приводит к искажению восприятия, при котором прямые линии неевклидовой геометрии представлены евклидовыми кривыми, которые визуально изгибаются. Этот «изгиб» не является свойством неевклидовых линий, а лишь искусственным способом их представления.

Трехмерная неевклидова геометрия

Основная статья: Геометрия терстона

В трех измерениях существует восемь геометрических моделей.^[21] Как и в двумерном случае, существуют евклидова, эллиптическая и гиперболическая геометрии; смешанная геометрия, частично евклидова, частично гиперболическая или сферическая; витые варианты смешанной геометрии; и одна необычная геометрия, которая полностью анизотропный (т.е. каждое направление ведет себя по-разному).

Необычные свойства

Четырехугольник Ламберта в гиперболической геометрии

Четырехугольники Саккери в трех геометриях

Евклидова и неевклидова геометрии, естественно, обладают многими схожими свойствами, а именно теми, которые не зависят от природы параллелизма. Эта общность является предметом абсолютная геометрия (также называемый нейтральная геометрия). Однако исторически наибольшее внимание уделялось свойствам, которые отличают одну геометрию от других.

Помимо поведения линий относительно общего перпендикуляра, упомянутого во введении, мы также имеем следующее:

• А Четырехугольник Ламберта - четырехугольник с тремя прямыми углами. Четвертый угол четырехугольника Ламберта равен острый если геометрия гиперболическая, a прямой угол если геометрия евклидова или тупой если геометрия эллиптическая. Как следствие, прямоугольники существуют (утверждение, эквивалентное постулату параллельности) только в евклидовой геометрии.
• А Четырехугольник Саккери - четырехугольник с двумя сторонами равной длины, перпендикулярными стороне, называемой основание. Два других угла четырехугольника Саккери называются углы вершины и у них равная мера. Вершины четырехугольника Саккери острые, если геометрия гиперболическая, прямые углы, если геометрия евклидова, и тупые углы, если геометрия эллиптическая.
• Сумма углов любого треугольника меньше 180 °, если геометрия гиперболическая, равна 180 °, если геометрия евклидова, и больше 180 °, если геометрия эллиптическая. В дефект треугольника - числовое значение (180 ° - сумма размеров углов треугольника). Этот результат можно также сформулировать так: дефект треугольников в гиперболической геометрии положительный, дефект треугольников в евклидовой геометрии равен нулю, а дефект треугольников в эллиптической геометрии отрицателен.

Важность

До того как модели неевклидовой плоскости были представлены Бельтрами, Кляйном и Пуанкаре, евклидова геометрия неоспорима как математическая модель из Космос. Кроме того, поскольку суть предмета в синтетическая геометрия была главным проявлением рациональности, евклидова точка зрения олицетворяла абсолютный авторитет.

Открытие неевклидовой геометрии имело волновой эффект, выходящий далеко за рамки математики и науки. Философ Иммануил Кант Российская трактовка человеческих знаний сыграла особую роль для геометрии. Это был его главный пример синтетического априорного знания; не выводится из органов чувств и не выводится с помощью логики - наше знание пространства было истиной, с которой мы родились. К несчастью для Канта, его концепция этой неизменно истинной геометрии была евклидовой. На богословие также повлиял переход от абсолютной истины к относительной истине в том, как математика соотносится с окружающим миром, что явилось результатом этого сдвига парадигмы.^[22]

Неевклидова геометрия является примером научная революция в история науки, в котором математики и ученые изменили взгляд на свои предметы.^[23] Некоторые геометры называли Лобачевский "Коперник геометрии »в связи с революционным характером его работ.^[24][25]

Существование неевклидовой геометрии повлияло на интеллектуальную жизнь Викторианская Англия во многих отношениях^[26] и, в частности, был одним из ведущих факторов, вызвавших пересмотр преподавания геометрии на основе Элементы Евклида. В то время этот вопрос об учебной программе горячо обсуждался и даже стал предметом книги, Евклид и его современные соперники, написанный Чарльзом Лютвиджем Доджсоном (1832–1898), более известным как Льюис Кэрролл, автор Алиса в стране чудес.

Планарные алгебры

В аналитическая геометрия а самолет описывается Декартовы координаты  : C = { (х, у) : Икс, у ∈ ℝ}. В точки иногда отождествляются с комплексными числами z = Икс + у ε где ε² ∈ { –1, 0, 1}.

Евклидова плоскость соответствует случаю ε² = −1 поскольку модуль z дан кем-то

${\displaystyle zz^{\ast }=(x+y\epsilon )(x-y\epsilon )=x^{2}+y^{2}}$

и эта величина есть квадрат Евклидово расстояние между z и происхождение. Например, {z | z z* = 1} это единичный круг.

Для плоской алгебры неевклидова геометрия возникает в других случаях. ε² = +1, тогда z это расщепленное комплексное число и условно j заменяет эпсилон. потом

${\displaystyle zz^{\ast }=(x+y\mathbf {j} )(x-y\mathbf {j} )=x^{2}-y^{2}\!}$

и {z | z z* = 1} это гипербола единиц.

Когда ε² = 0, тогда z это двойной номер.^[27]

Такой подход к неевклидовой геометрии объясняет неевклидовы углы: параметры склон в плоскости двойных чисел и гиперболический угол в расщепленной комплексной плоскости соответствуют угол в евклидовой геометрии. Действительно, каждый из них возникает в полярное разложение комплексного числа z.^[28]

Кинематическая геометрия

Гиперболическая геометрия нашла применение в кинематика с физическая космология представлен Герман Минковски в 1908 г. Минковский ввел такие термины, как мировая линия и подходящее время в математическая физика. Он понял, что подмногообразие событий, происходящих в один момент надлежащего времени в будущем, можно рассматривать как гиперболическое пространство трех измерений.^[29][30]Уже в 1890-х гг. Александр Макфарлейн рисовал это подмногообразие через свой Алгебра физики и гиперболические кватернионы, хотя Макфарлейн не использовал космологический язык, как Минковский в 1908 году. Соответствующая структура теперь называется модель гиперболоида гиперболической геометрии.

Неевклидовы плоские алгебры поддерживают кинематическую геометрию на плоскости. Например, расщепленное комплексное число z = e^аj может представлять пространственно-временное событие в один момент в будущем точка зрения из быстрота а. Кроме того, умножение на z составляет Повышение лоренца отображение фрейма с нулевой скоростью на фрейм с быстрой а.

Кинематическое исследование использует двойные числа ${\displaystyle z=x+y\epsilon ,\quad \epsilon ^{2}=0,}$ представить классическое описание движения в абсолютное время и пространство: Уравнения ${\displaystyle x^{\prime }=x+vt,\quad t^{\prime }=t}$ эквивалентны картирование сдвига в линейной алгебре:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix}}.}$

С двойными числами отображение ${\displaystyle t^{\prime }+x^{\prime }\epsilon =(1+v\epsilon )(t+x\epsilon )=t+(x+vt)\epsilon .}$^[31]

Другой взгляд на специальная теория относительности поскольку неевклидова геометрия была развита Э. Б. Уилсон и Гилберт Льюис в Труды Американская академия искусств и наук в 1912 г. Они переработали аналитическую геометрию, неявную в алгебре расщепленных комплексных чисел, в синтетическая геометрия помещений и отчислений.^[32][33]

Вымысел

Неевклидова геометрия часто встречается в работах научная фантастика и фантазия.

• В 1895 г. Х. Г. Уэллс опубликовал рассказ Замечательный случай с глазами Дэвидсона. Чтобы оценить эту историю, нужно знать, как противоположные точки на сфере идентифицируются в модели эллиптической плоскости. По сюжету посреди грозы Сидни Дэвидсон видит «Волны и удивительно аккуратную шхуну», работая в электротехнической лаборатории в Техническом колледже Харлоу. В конце рассказа Дэвидсон оказывается свидетелем Х.М.С. Фульмар выключенный Остров Антиподов.
• Неевклидова геометрия иногда связана с влиянием ХХ века. фантастика ужасов писатель Х. П. Лавкрафт. В его работах многие неестественные вещи подчиняются своим собственным уникальным законам геометрии. Ктулху Мифы, затонувший город Р'льех характеризуется неевклидовой геометрией. В значительной степени подразумевается, что это достигается как побочный эффект несоблюдения естественных законов этой вселенной, а не просто использования альтернативной геометрической модели, поскольку ее явная врожденная неправильность, как говорят, способна свести с ума тех, кто смотрит на нее.^[34]
• Главный герой в Роберт Пирсиг с Дзен и искусство ухода за мотоциклами неоднократно упоминал риманову геометрию.
• В Братья Карамазовы Достоевский обсуждает неевклидову геометрию через своего персонажа Ивана.
• Роман Кристофера Приста Перевернутый мир описывает борьбу за жизнь на планете в форме вращающегося псевдосфера.
• Роберта Хайнлайна Число зверя использует неевклидову геометрию для объяснения мгновенного переноса в пространстве и времени, а также между параллельными и вымышленными вселенными.
• Зенона Роуга HyperRogue это рогалик игра установлена ​​на гиперболическая плоскость, позволяя игроку ощутить многие свойства этой геометрии. Многие механики, квесты и локации сильно зависят от особенностей гиперболической геометрии.^[35]
• в Отступник Легиона научная фантастика установка для FASA с варгейм, ролевая игра и фантастика, сверхсветовое путешествие и связь возможна благодаря использованию многомерной неевклидовой геометрии Се Хо, опубликованной где-то в середине 22-го века.
• В Яна Стюарта Флаттерленд то главный герой Victoria Line посещает всевозможные неевклидовы миры.
• В Жан-Пьер Пети с Вот смотрю на Евклида (а не на Евклида) Арчибальд Хиггинс натыкается на сферическая геометрия^[36]

Смотрите также

• Гиперболическое пространство
• Ленарт сфера
• Проективная геометрия
• Рост неевклидовой поверхности

Примечания

1. Эдер, Мишель (2000), Взгляды на параллельный постулат Евклида в Древней Греции и в средневековом исламе, Университет Рутгерса, получено 2008-01-23
2. Борис А. Розенфельд и Адольф П. Юшкевич, «Геометрия», с. 470, в Roshdi Rashed & Régis Morelon (1996), Энциклопедия истории арабской науки, Vol. 2. С. 447–494, Рутледж, Лондон и Нью-Йорк:

   «Три ученых, Ибн аль-Хайтам, Хайям и ат-Туси, внесли наиболее значительный вклад в эту отрасль геометрии, важность которой была полностью признана только в девятнадцатом веке. По сути, их положения относительно свойств четырехугольника - которые они рассматривали, предполагая, что некоторые из углов этих фигур были острыми или тупыми, - воплощали первые несколько теорем гиперболической и эллиптической геометрий. Их другие предложения показали, что различные геометрические утверждения эквивалентны постулату Евклида V. Это чрезвычайно важно что эти ученые установили взаимную связь между этим постулатом и суммой углов треугольника и четырехугольника. Своими работами по теории параллельных прямых арабские математики оказали непосредственное влияние на соответствующие исследования своих европейских коллег. Первая европейская попытка доказать постулат о параллельных линиях - сделанный Witelo, польские ученые XIII века, пересматривая Ибн аль-Хайсам с Книга оптики (Китаб аль-Маназир) - несомненно, подсказано арабскими источниками. Доказательства, выдвинутые в четырнадцатом веке еврейским ученым Леви бен Герсон, который жил на юге Франции, и упомянутым выше Альфонсо из Испании непосредственно граничат с демонстрацией Ибн аль-Хайсама. Выше мы показали, что Экспозиция Евклида псевдо-Туси стимулировали Борта Дж. Уоллиса и Г. Саккери "Исследования теории параллельных прямых".

3. Борис А. Розенфельд и Адольф П. Юшкевич (1996), "Геометрия", с. 467, в Рошди Рашед и Регис Морелон (1996), Энциклопедия истории арабской науки, Vol. 2. С. 447–494, Рутледж, ISBN  0-415-12411-5
4. Виктор Дж. Кац (1998), История математики: введение, п. 270–271, г. Эддисон – Уэсли, ISBN  0-321-01618-1:

   "Но в рукописи, вероятно написанной его сыном Садр ад-Дином в 1298 году на основе более поздних мыслей Насир ад-Дина по этому вопросу, есть новый аргумент, основанный на другой гипотезе, также эквивалентной гипотезе Евклида, [...] Важность этой последней работы состоит в том, что она была опубликована в Риме в 1594 году и была изучена европейскими геометрами. В частности, она стала отправной точкой для работ Саккери и, в конечном итоге, для открытия неевклидовой геометрии ».

5. Борис А. Розенфельд и Адольф П. Юшкевич (1996), «Геометрия», в Рошди Рашед, ред. Энциклопедия истории арабской науки, Vol. 2, стр. 447–494 [469], Рутледж, Лондон и Нью-Йорк:

   "В Экспозиция Евклида псевдо-Туси, [...] вместо постулата используется другое утверждение. Он не зависел от постулата Евклида V и его легко доказать. [...] Он существенно переработал как евклидову систему аксиом и постулатов, так и доказательства многих утверждений из Элементы."

6. Джованни Джироламо Саккери из MacTutor
7. О'Коннор, Дж. Дж .; Робертсон, Э.Ф. "Иоганн Генрих Ламберт". Получено 16 сентября 2011.
8. Заметным исключением является Дэвид Юм, который еще в 1739 году всерьез высказал предположение, что наша Вселенная не является евклидовой; см. Дэвид Хьюм (1739/1978) Трактат о человеческой природе, Л.А. Селби-Бигге, изд. (Oxford: Oxford University Press), стр. 51-52.
9. В письме от декабря 1818 года Фердинанд Карл Швейкарт (1780–1859) сделал набросок некоторых идей неевклидовой геометрии. Письмо было отправлено Гауссу в 1819 году бывшим учеником Гаусса Герлингом. В своем ответе Герлингу Гаусс похвалил Швейкарта и упомянул свое собственное, более раннее исследование неевклидовой геометрии. Видеть:
   • Карл Фридрих Гаусс, Werke (Лейпциг, Германия: Б. Г. Тойбнер, 1900), том 8, страницы 180-182.
   • Английский перевод письма Швейкарта и ответа Гаусса Герлингу можно найти в: Заметки к курсу: «Гаусс и неевклидова геометрия», Университет Ватерлоо, Онтарио, Канада; особенно см. страницы 10 и 11.
   • Письма Швейкарта и сочинения его племянника Франц Адольф Тауринус, который также интересовался неевклидовой геометрией и опубликовал в 1825 г. краткую книгу об аксиоме параллелизма, появляются в: Paul Stäckel and Friedrich Engel, Die theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauss, eine Urkundensammlung der nichteuklidischen Geometrie (Теория параллельных прямых от Евклида до Гаусса, архив неевклидовой геометрии), (Лейпциг, Германия: Б. Г. Тойбнер, 1895), страницы 243 и далее.
10. Бонола, Р. (1912). Неевклидова геометрия: критическое и историческое исследование ее развития. Чикаго: Открытый суд.
11. В письме к Вольфгангу (Фаркасу) Бойяи от 6 марта 1832 г. Гаусс утверждает, что работал над этой проблемой тридцать или тридцать пять лет (Faber 1983, стр. 162). В своем письме 1824 г. к Таурину (Faber 1983, стр. 158), он утверждал, что работал над проблемой более 30 лет и представил достаточно деталей, чтобы показать, что он действительно разработал детали. В соответствии с Фабер (1983, стр. 156) только в 1813 году Гаусс согласился с существованием новой геометрии.
12. Однако другие аксиомы, помимо постулата параллельности, должны быть изменены, чтобы сделать эту геометрию допустимой.
13. Феликс Кляйн, Элементарная математика с продвинутой точки зрения: геометрия, Dover, 1948 (перепечатка английского перевода 3-го издания 1940 г. Первое издание на немецком языке 1908 г.) стр. 176
14. Ф. Кляйн, Über die sogenannte nichteuklidische Geometrie, Mathematische Annalen, 4(1871).
15. Евклидова плоскость до сих пор называется параболический в контексте конформная геометрия: видеть Теорема униформизации.
16. например, Мэннинг 1963 и Яглом 1968 г.
17. 21-я аксиома появилась во французском переводе книги Гильберта. Grundlagen der Geometrie в соответствии с Смарт 1997, стр. 416
18. (Смарт 1997, стр.366)
19. хотя постулируются только две линии, легко показать, что таких линий должно быть бесконечное количество.
20. Книга I Предложение 27 Евклида Элементы
21. * Уильям Терстон. Трехмерная геометрия и топология. Vol. 1. Под редакцией Сильвио Леви. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x + 311 pp. ISBN  0-691-08304-5 (подробное объяснение восьми геометрий и доказательство того, что их всего восемь)
22. Имре Тот, "Gott und Geometrie: Eine viktorianische Kontroverse", Evolutionstheorie und ihre Evolution, Дитер Генрих, изд. (Schriftenreihe der Universität Regensburg, группа 7, 1982 г.) стр. 141–204.
23. видеть Трюдо 1987, п. vii-viii
24. Белл, Э. Т. (1986). Математики. Книги оселка. п. 294. ISBN  978-0-671-62818-5. Автор приписывает эту цитату другому математику, Уильям Кингдон Клиффорд.
25. Это цитата из предисловия переводчика Г. Б. Хальстеда к его переводу 1914 г. Теория параллелей: "Что Везалий было Гален, Какие Коперник было Птолемей это был Лобачевский Евклид." — В. К. Клиффорд
26. (Ричардс 1988 )
27. Исаак Яглом (1968) Комплексные числа в геометрии, перевод Э. Примроуза с русского оригинала 1963 г., приложение «Неевклидовы геометрии на плоскости и комплексные числа», стр. 195–219, Академическая пресса, Нью-Йорк
28. Ричард К. Толмен (2004) Теория относительности движения, стр. 194, §180 Неевклидов угол, §181 Кинематическая интерпретация угла с точки зрения скорости
29. Герман Минковский (1908–1909). «Пространство и время» (Wikisource).
30. Скотт Вальтер (1999) Неевклидов стиль специальной теории относительности
31. Исаак Яглом (1979) Простая неевклидова геометрия и ее физическая основа: элементарное описание геометрии Галилея и принцип относительности Галилея, Спрингер ISBN  0-387-90332-1
32. Эдвин Б. Уилсон & Гилберт Н. Льюис (1912) "Пространственно-временное многообразие теории относительности. Неевклидова геометрия механики и электромагнетизма" Труды Американская академия искусств и наук 48:387–507
33. Синтетическое пространство-время, сборник использованных аксиом и доказанных теорем Уилсоном и Льюисом. Архивировано WebCite
34. "Зов Ктулху".
35. "Сайт HyperRogue".
36. Жан-Пьер Пети. "Вот смотрите на Евклида". savoir-sans-frontieres. Получено 30 августа 2015.

Рекомендации

• А'Кампо, Норберт и Пападопулос, Атанас, (2012) Замечания по гиперболической геометрии, в: Страсбургский мастер-класс по геометрии, стр. 1–182, Лекции ИРМА по математике и теоретической физике, Том. 18, Цюрих: Европейское математическое общество (EMS), 461 страница, ISBN  978-3-03719-105-7, DOI: 10.4171 / 105.
• Андерсон, Джеймс У. Гиперболическая геометрия, второе издание, Springer, 2005 г.
• Бельтрами, Эухенио Teoria fondamentale degli spazî di curvatura costante, Annali. ди Мат., серия II 2 (1868), 232–255
• Блюменталь, Леонард М. (1980), Современный взгляд на геометрию, Нью-Йорк: Дувр, ISBN  0-486-63962-2
• Кэрролл, Льюис Евклид и его современные соперники, Нью-Йорк: Барнс и Ноубл, 2009 (перепечатка) ISBN  978-1-4351-2348-9
• Х. С. М. Коксетер (1942) Неевклидова геометрия, University of Toronto Press, переиздан в 1998 г. Математическая ассоциация Америки, ISBN  0-88385-522-4.
• Фабер, Ричард Л. (1983), Основы евклидовой и неевклидовой геометрии, Нью-Йорк: Марсель Деккер, ISBN  0-8247-1748-1
• Джереми Грей (1989) Идеи пространства: евклидово, неевклидово и релятивистское, 2-е издание, Clarendon Press.
• Гринберг, Марвин Джей Евклидова и неевклидова геометрии: развитие и история, 4-е изд., Нью-Йорк: У. Фриман, 2007. ISBN  0-7167-9948-0
• Моррис Клайн (1972) Математическая мысль от древних до наших дней, Глава 36 Неевклидова геометрия, стр. 861–81, Oxford University Press.
• Бернард Х. Лавенда, (2012) «Новый взгляд на теорию относительности: одиссея в неевклидовой геометрии», Всемирный научный, стр.696, ISBN  9789814340489.
• Николай Лобачевский (2010) Пангеометрия, Переводчик и редактор: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, Европейское математическое общество.
• Мэннинг, Генри Паркер (1963), Вводная неевклидова геометрия, Нью-Йорк: Дувр
• Мешковский, Герберт (1964), Невклидова геометрия, Нью-Йорк: Academic Press
• Милнор, Джон В. (1982) Гиперболическая геометрия: первые 150 лет, Бык. Амер. Математика. Soc. (N.S.) Том 6, номер 1, стр. 9–24.
• Richards, Joan L. (1988), Mathematical Visions: The Pursuit of Geometry in Victorian England, Boston: Academic Press, ISBN  0-12-587445-6
• Smart, James R. (1997), Modern Geometries (5th Ed.), Pacific Grove: Brooks/Cole, ISBN  0-534-35188-3
• Stewart, Ian (2001) Флаттерленд, New York: Perseus Publishing ISBN  0-7382-0675-X (softcover)
• Джон Стиллвелл (1996) Sources of Hyperbolic Geometry, Американское математическое общество ISBN  0-8218-0529-0 .
• Trudeau, Richard J. (1987), The Non-Euclidean Revolution, Boston: Birkhauser, ISBN  0-8176-3311-1
• A. Papadopoulos et Guillaume Théret (2014) La théorie des parallèles de Johann Heinrich Lambert, (Critical edition of Lambert's memoir with a French translation, with historical and mathematical notes and commentaries éd. Blanchard, coll. Sciences dans l'Histoire, Paris ISBN  978-2-85367-266-5

внешняя ссылка

• Roberto Bonola (1912) Неевклидова геометрия, Open Court, Chicago.
• Архивная статья MacTutor о неевклидовой геометрии
• Non-euclidean geometry в PlanetMath.
• Неевклидовы геометрии из Encyclopedia of Math из Европейское математическое общество и Springer Science + Business Media
• Synthetic Spacetime, a digest of the axioms used, and theorems proved, by Wilson and Lewis. Архивировано WebCite.