Абсолютная геометрия - Absolute geometry

Геометрия
Стереографическая проекция в 3D.svg
Геометры

Абсолютная геометрия это геометрия на основе система аксиом для Евклидова геометрия без параллельный постулат или любой из его альтернатив. Традиционно это означало использование только первых четырех из Постулаты Евклида, но поскольку их недостаточно в качестве основы евклидовой геометрии, другие системы, такие как Аксиомы Гильберта без аксиомы параллельности.[1] Термин был введен Янош Бойяи в 1832 г.[2] Иногда его называют нейтральная геометрия,[3] поскольку она нейтральна по отношению к постулату параллельности.

Свойства

Можно подумать, что абсолютная геометрия - довольно слабая система, но это не так. Действительно, в Евклида Элементы первые 28 предложений и предложение 31 избегают использования постулата параллельности и, следовательно, верны в абсолютной геометрии. Можно также доказать в абсолютной геометрии, что теорема о внешнем угле (внешний угол треугольника больше любого из удаленных углов), а также Теорема Саккери – Лежандра, который гласит, что сумма углов в треугольнике не превышает 180 °.[4]

Предложение 31 - построение параллельная линия к заданной линии через точку не на данной линии.[5] Поскольку для доказательства требуется только использование предложения 27 (теорема об альтернативном внутреннем угле), это верная конструкция в абсолютной геометрии. Точнее, учитывая любую строку л и любой момент п не на л, есть по крайней мере одна линия через п что параллельно л. Это можно доказать, используя знакомую конструкцию: задана линия л и точка п не на л, опустите перпендикуляр м от п к л, затем установите перпендикуляр п к м через п. По теореме об альтернативном внутреннем угле л параллельно п. (Теорема об альтернативном внутреннем угле утверждает, что если прямые а и б разрезаны поперечным т такая, что существует пара совпадающих альтернативных внутренних углов, то а и б параллельны.) Вышеупомянутая конструкция и теорема об альтернативном внутреннем угле не зависят от постулата параллельности и, следовательно, верны в абсолютной геометрии.[6]

В абсолютной геометрии также доказывается, что две прямые, перпендикулярные одной и той же, не могут пересекаться (что делает две прямые параллельными по определению параллельных прямых), доказывая, что вершины углов Четырехугольник Саккери не может быть тупой, и это сферическая геометрия не является абсолютной геометрией.

Отношение к другим геометриям

Теоремы абсолютной геометрии верны в гиперболическая геометрия, который является неевклидова геометрия, а также в Евклидова геометрия.[7]

Абсолютная геометрия несовместима с эллиптическая геометрия: в этой теории вообще нет параллельных прямых, но это теорема абсолютной геометрии, что параллельные прямые действительно существуют. Однако можно изменить систему аксиом так, чтобы абсолютная геометрия, определенная модифицированной системой, включала сферическую и эллиптическую геометрии, не имеющие параллельных линий.[8]

Абсолютная геометрия является продолжением упорядоченная геометрия, и, следовательно, все теоремы упорядоченной геометрии верны в абсолютной геометрии. Обратное неверно. Абсолютная геометрия предполагает, что первые четыре аксиомы Евклида (или их эквиваленты) противопоставляются аффинная геометрия, который не предполагает третьей и четвертой аксиом Евклида. (3: «Чтобы описать круг с любым центром и расстоянием радиус. ", 4:" Это все прямые углы равны друг другу ».) Упорядоченная геометрия является общей основой как абсолютной, так и аффинной геометрии.[9]

В геометрия специальной теории относительности был разработан, исходя из девяти аксиом и одиннадцати положений абсолютной геометрии.[10][11] Авторы Эдвин Б. Уилсон и Гилберт Н. Льюис затем выйти за рамки абсолютной геометрии, когда они вводят гиперболическое вращение как преобразование, связывающее два системы отсчета.

Плоскости Гильберта

Плоскость, удовлетворяющая Гильбертову Заболеваемость, Между делом и Конгруэнтность аксиом называется Плоскость Гильберта.[12] Плоскости Гильберта - это модели абсолютной геометрии.[13]

Неполнота

Абсолютная геометрия - это неполный аксиоматическая система в том смысле, что можно добавлять дополнительные независимые аксиомы, не делая систему аксиом противоречивой. Можно расширить абсолютную геометрию, добавив различные аксиомы о параллельных прямых и получить несовместимые, но непротиворечивые системы аксиом, что приведет к евклидовой или гиперболической геометрии. Таким образом, каждая теорема абсолютной геометрии является теоремой гиперболической геометрии и евклидовой геометрии. Однако обратное неверно.

Смотрите также

Заметки

  1. ^ Faber 1983, стр. 131
  2. ^ В "Приложение, демонстрирующее абсолютную науку о космосе: независимо от истинности или ложности Аксиомы XI Евклида (ни в коем случае не решено заранее)" (Faber 1983, стр. 161)
  3. ^ Гринберг цитирует В. Преновица и М. Джордана (Greenberg, p. Xvi) за то, что они использовали термин нейтральная геометрия для обозначения той части евклидовой геометрии, которая не зависит от постулата Евклида о параллельности. Он говорит, что слово абсолютный в абсолютная геометрия ошибочно подразумевает, что все остальные геометрические формы зависят от него.
  4. ^ Видно несовместимость абсолютной геометрии с эллиптической геометрией, потому что в последней теории все треугольники имеют суммы углов больше 180 °.
  5. ^ Faber 1983, п. 296
  6. ^ Гринберг 2007, п. 163
  7. ^ Действительно, абсолютная геометрия на самом деле является пересечением гиперболической геометрии и евклидовой геометрии, когда они рассматриваются как наборы утверждений.
  8. ^ Эвальд, Г. (1971), Геометрия: введение, Уодсворт
  9. ^ Кокстер 1969, стр. 175–6
  10. ^ Эдвин Б. Уилсон & Гилберт Н. Льюис (1912) "Пространственно-временное многообразие теории относительности. Неевклидова геометрия механики и электромагнетизма" Труды Американская академия искусств и наук 48:387–507
  11. ^ Синтетическое пространство-время, сборник использованных аксиом и доказанных теорем Уилсоном и Льюисом. Архивировано WebCite
  12. ^ Хартсхорн 2005, стр.97
  13. ^ Гринберг 2010, стр.200

использованная литература

внешние ссылки