Неархимедова геометрия - Non-Archimedean geometry - Wikipedia

В математика, неархимедова геометрия[1] является любой из множества форм геометрия в которой аксиома архимеда отрицается. Примером такой геометрии является Самолет Дена. Неархимедовы геометрии могут, как показывает пример, иметь свойства, значительно отличающиеся от Евклидова геометрия.

Этот термин может использоваться в двух смыслах, относясь к геометрии над поля которые нарушают одно из двух смыслов Архимедова собственность (т.е. по порядку или величине).

Геометрия над неархимедовым упорядоченным полем

Первый смысл этого термина - это геометрия над неархимедово упорядоченное поле или их подмножество. Вышеупомянутая плоскость Дена является самопроизведением конечной части определенного неархимедова упорядоченного поля, основанного на поле рациональные функции. В этой геометрии есть существенные отличия от евклидовой геометрии; в частности, есть бесконечно много параллелей прямой, проходящей через точку, поэтому параллельный постулат терпит неудачу, но сумма углов треугольника по-прежнему является прямым углом.[2]

Интуитивно понятно, что в таком пространстве точки на линии не могут быть описаны действительными числами или их подмножеством, и существуют сегменты «бесконечной» или «бесконечно малой» длины.

Геометрия над неархимедово-значным полем

Второй смысл этого термина - метрическая геометрия над неархимедовой ценное поле,[3] или же ультраметрическое пространство. В таком пространстве возникают еще большие противоречия с евклидовой геометрией. Например, все треугольники равнобедренные и перекрывают друг друга. мячи гнездо. Примером такого пространства является p-адические числа.

Интуитивно понятно, что в таком пространстве расстояния не могут «складываться» или «накапливаться».

Рекомендации

  1. ^ Робин Хартшорн, Геометрия: Евклид и не только (2000), стр. 158.
  2. ^ Гильберт, Дэвид (1902), Основы геометрии (PDF), The Open Court Publishing Co., Ла Саль, Иллинойс, МИСТЕР  0116216
  3. ^ Конрад, Б. "Несколько подходов к неархимедовой геометрии. В p-адической геометрии (Лекции из Зимней школы Аризоны 2007 г.). Серия лекций Университета AMS". Амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд 41 (2008): 78.