Симметрия - Symmetry

Эта статья посвящена широкой концепции. Для использования в других целях см. Симметрия (значения).
Симметрия (слева) и асимметрия (правильно)
Геометрия
Стереографическая проекция в 3D.svg
Геометры
Сферический группа симметрии с участием октаэдрическая симметрия. Желтая область показывает фундаментальная область.
А фрактал -подобная форма, имеющая отражательная симметрия, вращательная симметрия и самоподобие, три формы симметрии. Эта форма получается правило конечного подразделения.

Симметрия (от Греческий συμμετρία симметрия «согласование размеров, пропорций, расположения»)[1] в повседневном языке означает чувство гармоничной и красивой пропорции и баланса.[2][3][а] В математике «симметрия» имеет более точное определение и обычно используется для обозначения объекта, который инвариантный под некоторыми трансформации; в том числе перевод, отражение, вращение или масштабирование.[4] Хотя эти два значения «симметрии» иногда можно разделить, они сложным образом связаны и поэтому обсуждаются вместе в этой статье.

Математическая симметрия может наблюдаться относительно прохождения время; как пространственные отношения; через геометрические преобразования; через другие виды функциональных преобразований; и как аспект абстрактные объекты, в том числе теоретические модели, язык, и Музыка.[5][b]

В этой статье симметрия описывается с трех точек зрения: математика, в том числе геометрия, наиболее знакомый многим тип симметрии; в наука и природа; и в искусстве, покрывая архитектура, искусство и Музыка.

Противоположностью симметрии является асимметрия, что означает отсутствие или нарушение симметрии.

По математике

В геометрии

Основная статья: Симметрия (геометрия)
В трискелион имеет 3-кратную вращательную симметрию.

Геометрическая форма или объект являются симметричными, если их можно разделить на две или более идентичные части, которые расположены организованно.[6] Это означает, что объект является симметричным, если есть преобразование, которое перемещает отдельные части объекта, но не меняет общую форму. Тип симметрии определяется способом организации фигур или типом преобразования:

  • Объект имеет отражательная симметрия (линейная или зеркальная симметрия), если есть линия (или в 3D плоскость), проходящая через него, которая делит его на две части, являющиеся зеркальным отображением друг друга.[7]
  • Объект имеет вращательная симметрия если объект можно повернуть вокруг фиксированной точки (или в 3D вокруг линии) без изменения общей формы.[8]
  • Объект имеет поступательная симметрия если это может быть переведено (перемещение каждой точки объекта на одинаковое расстояние) без изменения его общей формы.[9]
  • Объект имеет спиральная симметрия если его можно одновременно перемещать и вращать в трехмерном пространстве вдоль линии, известной как ось винта.[10]
  • Объект имеет симметрия масштаба если он не меняет форму при расширении или сжатии.[11] Фракталы также демонстрируют форму симметрии масштаба, когда меньшие части фрактала аналогичный по форме на большие порции.[12]
  • Другие симметрии включают скользящее отражение симметрия (отражение с последующим переводом) и вращательное отражение симметрия (комбинация вращения и отражения[13]).

В логике

А диадические отношения р = S × S симметричен, если для каждого элемента а, б в S, если верно, что Раб, верно также и то, что Rba.[14] Таким образом, отношение «ровесников» является симметричным, поскольку если Павел того же возраста, что и Мария, то Мария того же возраста, что и Павел.

В логике высказываний симметричная двоичная логические связки включают и (∧, или &), или (∨, или |) и если и только если (↔), а связка если (→) не симметричен.[15] Другие симметричные логические связки включают: nand (не-и, или ⊼), xor (небуквонный, или ⊻), и ни (не-или, или ⊽).

Другие области математики

Основная статья: Симметрия в математике

Обобщая геометрическую симметрию из предыдущего раздела, можно сказать, что математический объект является симметричный относительно данного математическая операция, если при применении к объекту эта операция сохраняет какое-либо свойство объекта.[16] Набор операций, которые сохраняют данное свойство объекта, образуют группа.

В общем, каждая структура в математике будет иметь свою симметрию. Примеры включают четные и нечетные функции в исчисление, симметричные группы в абстрактная алгебра, симметричные матрицы в линейная алгебра,[4] и Группы Галуа в Теория Галуа. В статистика, симметрия также проявляется как симметричные распределения вероятностей, и в качестве перекос - асимметрия распределений.[17]

В науке и природе

Дальнейшая информация: Узоры в природе

В физике

Основная статья: Симметрия в физике

Симметрия в физике была обобщена как инвариантность - то есть отсутствие изменений - при любых трансформациях, например произвольные преобразования координат.[18] Эта концепция стала одним из самых мощных инструментов теоретическая физика, поскольку стало очевидно, что практически все законы природы берут начало в симметрии. На самом деле эта роль вдохновила нобелевского лауреата. П.В. Андерсон написать в своей широко читаемой статье 1972 года Больше другое что «говорить о том, что физика занимается изучением симметрии, - это лишь немного преувеличение».[19] Увидеть Теорема Нётер (который в очень упрощенной форме утверждает, что для каждой непрерывной математической симметрии существует соответствующая сохраняющаяся величина, такая как энергия или импульс; сохраняющийся ток, на исходном языке Нётер);[20] а также, Классификация Вигнера, который гласит, что симметрии законов физики определяют свойства частиц, встречающихся в природе.[21]

Важные симметрии в физике включают: непрерывные симметрии и дискретные симметрии из пространство-время; внутренние симметрии частиц; и суперсимметрия физических теорий.

В биологии

Дальнейшая информация: симметрия в биологии и симметрия лица
Многие животные примерно зеркально-симметричны, хотя внутренние органы часто расположены асимметрично.
Леонардо да Винчи 's'Витрувианский человек '(ок. 1487 г.) часто используется как представление симметрии человеческого тела и, в более широком смысле, естественной вселенной.

В биологии понятие симметрии в основном используется явно для описания форм тела. Двусторонние животные, включая людей, более или менее симметричны относительно сагиттальная плоскость который делит тело на левую и правую половины.[22] Животные, которые движутся в одном направлении, обязательно имеют верхнюю и нижнюю стороны, концы головы и хвоста, а значит, и левую, и правую. В голова становится специализированной с ртом и органами чувств, и тело становится двусторонне симметричным для движения, с симметричными парами мышц и скелетных элементов, хотя внутренние органы часто остаются асимметричными.[23]

Растения и сидячие (прикрепленные) животные, такие как морские анемоны часто имеют радиальные или вращательная симметрия, что им подходит, потому что еда или угрозы могут прибыть с любого направления. Пятикратная симметрия обнаружена в иглокожие, группа, в которую входят морская звезда, морские ежи, и морские лилии.[24]

В биологии понятие симметрии также используется, как и в физике, то есть для описания свойств изучаемых объектов, включая их взаимодействия. Замечательное свойство биологической эволюции - это изменения симметрии, соответствующие появлению новых частей и динамики.[25][26]

В химии

Основная статья: молекулярная симметрия

Симметрия важна для химия потому что он лежит в основе практически всех конкретный взаимодействия между молекулами в природе (т. е. через взаимодействие природных и антропогенных хиральный молекулы с хиральными биологическими системами). Контроль над симметрия молекул, произведенных в современном химический синтез способствует способности ученых предлагать терапевтический вмешательства с минимальными побочные эффекты. Строгое понимание симметрии объясняет фундаментальные наблюдения в квантовая химия, а в прикладных областях спектроскопия и кристаллография. Теория и применение симметрии к этим областям физическая наука в значительной степени опирается на математическую область теория групп.[27]

В психологии и неврологии

Дальнейшая информация: Визуальное восприятие

Для человека-наблюдателя некоторые типы симметрии более заметны, чем другие, в частности, наиболее заметным является отражение с вертикальной осью, подобное тому, которое присутствует на лице человека. Эрнст Мах сделал это наблюдение в своей книге «Анализ ощущений» (1897),[28] и это означает, что восприятие симметрии не является общей реакцией на все типы закономерностей. И поведенческие, и нейрофизиологические исследования подтвердили особую чувствительность к симметрии отражения у людей и других животных.[29] Ранние исследования в Гештальт традиция предполагала, что двусторонняя симметрия была одним из ключевых факторов восприятия группировка. Это известно как Закон симметрии. Роль симметрии в группировании и организации фигуры / фона была подтверждена во многих исследованиях. Например, обнаружение отражательной симметрии происходит быстрее, если это свойство отдельного объекта.[30] Исследования человеческого восприятия и психофизики показали, что обнаружение симметрии происходит быстро, эффективно и устойчиво к возмущениям. Например, симметрия может быть обнаружена при длительности презентации от 100 до 150 миллисекунд.[31]

Более поздние исследования нейровизуализации документально подтвердили, какие области мозга активны во время восприятия симметрии. Сасаки и др.[32] использовали функциональную магнитно-резонансную томографию (фМРТ) для сравнения ответов на паттерны с симметричными или случайными точками. Сильная активность присутствовала в экстрастриальных областях затылочной коры, но не в первичной зрительной коре. Экстрастриальные области включали V3A, V4, V7 и латеральный затылочный комплекс (LOC). Электрофизиологические исследования выявили поздний задний негатив, происходящий из тех же областей.[33] В общем, большая часть визуальной системы, кажется, участвует в обработке визуальной симметрии, и эти области включают сети, аналогичные тем, которые отвечают за обнаружение и распознавание объектов.[34]

В социальных взаимодействиях

Люди наблюдают симметричный характер социальных взаимодействий, часто включающий асимметричный баланс, в различных контекстах. К ним относятся оценки взаимность, сочувствие, сочувствие, извинения, диалог, уважение, справедливость, и жажда мести.Отражающее равновесие баланс, который может быть достигнут путем взвешенной взаимной корректировки общих принципов и конкретных суждения.[35]Симметричные взаимодействия посылают моральный сообщение «мы все одинаковые», в то время как асимметричное взаимодействие может послать сообщение «Я особенный; лучше, чем ты». Отношения со сверстниками, например, регулируемые Золотое правило, основаны на симметрии, тогда как отношения мощности основаны на асимметрии.[36] Симметричные отношения могут до некоторой степени поддерживаться простыми (теория игры ) стратегии, представленные в симметричные игры такие как око за око.[37]

В искусстве

Потолок Мечеть Лотфолла, Исфахан, Иран имеет 8-кратную симметрию.
Дальнейшая информация: Математика и искусство

Существует список журналов и информационных бюллетеней, которые, по крайней мере частично, посвящены симметрии и искусству.[38]

В архитектуре

Дальнейшая информация: Математика и архитектура
Симметричные аркады портика в Великая мечеть Кайруана также называется мечетью Укба, в Тунис.
При взгляде сбоку Тадж-Махал имеет двустороннюю симметрию; сверху (в плане) он имеет четырехкратную симметрию.

Симметрия находит свое отражение в архитектуре любого масштаба, начиная с общих внешних видов зданий, таких как готика. соборы и Белый дом, через макет индивидуального Планировка этажей, и вплоть до дизайна отдельных элементов здания, таких как мозаика из плитки. Исламский такие здания, как Тадж-Махал и Мечеть Лотфолла тщательно используют симметрию как в своей структуре, так и в орнаменте.[39][40] Мавританские здания, такие как Альгамбра украшены сложными узорами, выполненными с использованием поступательной и отражательной симметрии, а также вращения.[41]

Было сказано, что только плохие архитекторы полагаются на «симметричную планировку блоков, масс и структур»;[42] Модернистская архитектура, начиная с Международный стиль, вместо этого полагается на «крылья и баланс масс».[42]

В керамических и металлических сосудах

Глиняные горшки, брошенные на гончарный круг приобретают вращательную симметрию.

С самого начала использования гончарные круги Чтобы помочь придать форму глиняным сосудам, керамика имеет сильную связь с симметрией. Глиняная посуда, созданная с помощью круга, приобретает полную симметрию вращения в своем поперечном сечении, обеспечивая при этом значительную свободу формы в вертикальном направлении. На этой изначально симметричной отправной точке гончары с древних времен добавляли узоры, которые изменяют вращательную симметрию для достижения визуальных целей.

Литым металлическим сосудам не хватало присущей керамической посуде вращательной симметрии, но в остальном предоставлялась аналогичная возможность украсить их поверхности узорами, приятными для тех, кто их использовал. Древний Китайский, например, использовали симметричные узоры в своих бронзовых отливках еще в 17 веке до нашей эры. На бронзовых сосудах присутствовали как двусторонний основной мотив, так и повторяющийся переведенный бордюрный узор.[43]

В коврах и ковриках

Персидский ковер с прямоугольной симметрией

Давняя традиция использования симметрии в ковер и узоры ковров представлены в самых разных культурах. Американец Навахо Индейцы использовали жирные диагонали и прямоугольные мотивы. Много Восточные коврики имеют замысловатые отраженные центры и границы, которые передают узор. Неудивительно, что прямоугольные коврики обычно имеют симметрию прямоугольник -это, мотивы которые отражаются как по горизонтальной, так и по вертикальной осям (см. Четыре группы Клейна § Геометрия ).[44][45]

В музыке

корень минорного трезвучиятреть ля минор трезвучияпятая часть ля минор трезвучияпятая часть ля минор трезвучиякорень трезвучия до мажоркорень трезвучия до мажортреть трезвучия до мажорпятая трезвучия до мажорпятая часть трезвучия ми минорпятая часть трезвучия ми миноркорень трезвучия ми минортреть трезвучия ми минортреть трезвучия соль мажорпятая часть трезвучия соль мажоркорень триады соль мажоркорень триады соль мажорпятая трезвучия ре минорпятая трезвучия ре миноркорень трезвучия ре минортреть трезвучия ре минортреть трезвучия фа мажорпятая часть триады фа мажоркорень триады фа мажоркорень триады фа мажор
Главный и незначительный триады на белых клавишах пианино симметричны D. (сравните статью) (файл)

Симметрия не ограничивается изобразительным искусством. Его роль в истории Музыка затрагивает многие аспекты создания и восприятия музыки.

Музыкальная форма

Симметрия использовалась как формальный ограничение многих композиторов, таких как арочная (вздутая) форма (ABCBA) используется Стив Райх, Бела Барток, и Джеймс Тенни. В классической музыке Бах использовал концепции симметрии перестановки и инвариантности.[46]

Структуры поля

Симметрия также является важным фактором при формировании напольные весы и аккорды, традиционный или тональный музыка состоит из несимметричных групп поля, такой как диатоническая шкала или мажорный аккорд. Симметричные шкалы или аккорды, такие как вся шкала тонов, расширенный аккорд, или уменьшился септаккорд (уменьшенная-уменьшенная седьмая), как говорят, не имеют направления или чувства поступательного движения, являются двусмысленный что касается ключ или тональный центр, и иметь менее конкретный диатоническая функциональность. Однако такие композиторы, как Альбан Берг, Бела Барток, и Джордж Перл использовали оси симметрии и / или интервальные циклы аналогичным образом ключи или нетональный тональный центры.[47] Джордж Перл объясняет, что «C – E, D – F♯, [и] Eb – G - это разные экземпляры одного и того же интервал … Другой вид идентичности. … Имеет отношение к осям симметрии. C – E принадлежит к семейству симметрично связанных диад следующим образом: "[47]

DD♯EFF♯гG♯
DC♯CBA♯АG♯

Таким образом, помимо того, что C – E является частью семейства interval-4, C – E также является частью семейства sum-4 (с C, равным 0).[47]

+2345678
210111098
4444444

Интервальные циклы симметричны и, следовательно, недиатоничны. Тем не менее, сегмент с семью тонами C5 (цикл пятых, которые энгармонический с циклом четвертых) произведет диатонический мажор. Циклический тональ прогрессии в работах Романтичный композиторы, такие как Густав Малер и Рихард Вагнер образуют связь с циклическими последовательностями высоты тона в атональной музыке модернистов, таких как Барток, Александр Скрябин, Эдгар Варез, и Венская школа. В то же время эти прогрессии сигнализируют об окончании тональности.[47][48]

Первой расширенной композицией, последовательно основанной на симметричных отношениях высоты звука, вероятно, была композиция Альбана Берга Квартет, Соч. 3 (1910).[48]

Эквивалентность

Тональные ряды или класс поля наборы которые инвариантный под ретроградный горизонтально симметричны, под инверсия вертикально. Смотрите также Асимметричный ритм.

В одеяла

Кухня калейдоскоп лоскутное одеяло блокировать

Так как одеяла сделаны из квадратных блоков (обычно 9, 16 или 25 штук в блоке), причем каждый меньший кусок обычно состоит из треугольников ткани, ремесло легко поддается применению симметрии.[49]

В других декоративно-прикладных искусствах

Кельтское шитье показывая симметрия p4
Дальнейшая информация: Исламские геометрические узоры

Симметрии проявляются в дизайне любых предметов. Примеры включают вышивка бисером, мебель, картины из песка, узловатая работа, маски, и музыкальные инструменты. Симметрии занимают центральное место в искусстве M.C. Эшер и множество приложений мозаика в искусстве и ремеслах, таких как обои, керамическая плитка, например, в Исламское геометрическое украшение, батик, икат, ковроделие и многие виды текстиль и вышивка узоры.[50]

Симметрия также используется при разработке логотипов.[51] Создавая логотип на сетке и используя теорию симметрии, дизайнеры могут организовать свою работу, создать симметричный или асимметричный дизайн, определить расстояние между буквами, определить, сколько отрицательного пространства требуется в дизайне и как выделить части логотип, чтобы выделить его.

В эстетике

Основная статья: Симметрия (физическая привлекательность)

Связь симметрии с эстетика сложный. Люди находят двусторонняя симметрия в лицах физически привлекательных;[52] это указывает на здоровье и генетическую пригодность.[53][54] Этому противостоит тенденция к тому, что чрезмерная симметрия воспринимается как скучная или неинтересная. Люди предпочитают формы, которые обладают некоторой симметрией, но достаточно сложными, чтобы сделать их интересными.[55]

В литературе

Симметрию можно найти в различных формах в литература, простым примером является палиндром где краткий текст читается одинаково вперед или назад. Истории могут иметь симметричную структуру, как в схеме подъем: падение Беовульф.[56]

Смотрите также

Заметки

  1. ^ Например, Аристотель приписывал небесным телам сферическую форму, приписывая эту формально определенную геометрическую меру симметрии естественному порядку и совершенству космоса.
  2. ^ Симметричные объекты могут быть материальными, например, человек, кристалл, лоскутное одеяло, напольная плитка, или молекула, или это может быть Абстрактные структура, такая как математическое уравнение или серию тонов (Музыка ).

использованная литература

  1. ^ "симметрия". Интернет-словарь этимологии.
  2. ^ Зи, А. (2007). Страшная симметрия. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-13482-6.
  3. ^ Симметрия и Прекрасная Вселенная, Кристофер Т. Хилл и Леон М. Ледерман, Книги Прометея (2005)
  4. ^ а б «Окончательный словарь высшего математического жаргона - инвариантность». Математическое хранилище. 2019-08-01. Получено 2019-11-12.
  5. ^ Майнцер, Клаус (2005). Симметрия и сложность: дух и красота нелинейной науки. World Scientific. ISBN  981-256-192-7.
  6. ^ Э. Х. Локвуд, Р. Х. Макмиллан, Геометрическая симметрия, Лондон: Cambridge Press, 1978.
  7. ^ Вейль, Герман (1982) [1952]. Симметрия. Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-02374-3.
  8. ^ Певец, Дэвид А. (1998). Геометрия: плоскость и фантазия. Springer Science & Business Media.
  9. ^ Стенджер, Виктор Дж. (2000) и Махоу Широ (2007). Вневременная реальность. Книги Прометея. Особенно главу 12. Нетехнические.
  10. ^ Боттема, О. и Б. Рот, Теоретическая кинематика, Dover Publications (сентябрь 1990 г.)
  11. ^ Тиан Ю Цао Концептуальные основы квантовой теории поля Издательство Кембриджского университета с.154-155
  12. ^ Гуйе, Жан-Франсуа (1996). Физика и фрактальные структуры. Париж / Нью-Йорк: Массон Спрингер. ISBN  978-0-387-94153-0.
  13. ^ "Ось ротоотражения". TheFreeDictionary.com. Получено 2019-11-12.
  14. ^ Джозайя Ройс, Игнас К. Скрупскелис (2005) Основные труды Джозайи Ройса: логика, верность и сообщество (электронная книга Google) Fordham Univ Press, стр. 790
  15. ^ Гао, Алиса (2019). «Логика высказываний: введение и синтаксис» (PDF). Университет Ватерлоо - Школа компьютерных наук. Получено 2019-11-12.
  16. ^ Кристофер Дж. Моррис (1992) Словарь академической прессы по науке и технологиям Gulf Professional Publishing
  17. ^ Петижан, М. (2003). «Меры хиральности и симметрии: трансдисциплинарный обзор». Энтропия. 5 (3): 271–312 (см. Раздел 2.9). Bibcode:2003Энтрп ... 5..271П. Дои:10.3390 / e5030271.
  18. ^ Коста, Джованни; Фольи, Джанлуиджи (2012). Симметрии и теория групп в физике элементарных частиц: введение в пространство-время и внутренние симметрии. Springer Science & Business Media. п. 112.
  19. ^ Андерсон, П.В. (1972). "Больше значит другое" (PDF). Наука. 177 (4047): 393–396. Bibcode:1972 г., Наука ... 177..393А. Дои:10.1126 / science.177.4047.393. PMID  17796623.
  20. ^ Косманн-Шварцбах, Иветт (2010). Теоремы Нётер: законы инвариантности и сохранения в двадцатом веке. Источники и исследования по истории математики и физических наук. Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-87867-6.
  21. ^ Вигнер, Э. (1939), «Об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца», Анналы математики, 40 (1): 149–204, Bibcode:1939AnMat..40..149W, Дои:10.2307/1968551, JSTOR  1968551, Г-Н  1503456
  22. ^ Валентин, Джеймс У. «Билатерия». AccessScience. Архивировано из оригинал 18 января 2008 г.. Получено 29 мая 2013.
  23. ^ Hickman, Cleveland P .; Робертс, Ларри С .; Ларсон, Аллан (2002). «Разнообразие животных (третье издание)» (PDF). Глава 8: Двусторонние животные акцеломаты. Макгроу-Хилл. п. 139. Получено 25 октября, 2012.
  24. ^ Стюарт, Ян (2001). Какая форма у снежинки? Волшебные числа в природе. Вайденфельд и Николсон. С. 64–65.
  25. ^ Лонго, Джузеппе; Монтевиль, Маэль (2016). Взгляды на организмы: биологическое время, симметрии и сингулярности. Springer. ISBN  978-3-662-51229-6.
  26. ^ Монтевиль, Маэль; Моссио, Маттео; Почевиль, Арно; Лонго, Джузеппе (2016). «Теоретические основы биологии: вариация». Прогресс в биофизике и молекулярной биологии. От века генома к веку организма: новые теоретические подходы. 122 (1): 36–50. Дои:10.1016 / j.pbiomolbio.2016.08.005. PMID  27530930.
  27. ^ Лоу, Джон П.; Петерсон, Кирк (2005). Квантовая химия (Третье изд.). Академическая пресса. ISBN  0-12-457551-X.
  28. ^ Мах, Эрнст (1897). Симметрии и теория групп в физике элементарных частиц: введение в пространство-время и внутренние симметрии. Издательство «Открытый суд».
  29. ^ Wagemans, J. (1997). «Характеристики и модели обнаружения симметрии человека». Тенденции в когнитивных науках. 1 (9): 346–352. Дои:10.1016 / S1364-6613 (97) 01105-4. PMID  21223945. S2CID  2143353.
  30. ^ Бертамини, М. (2010). «Чувствительность к отражению и переводу модулируется предметностью». Восприятие. 39 (1): 27–40. Дои:10.1068 / p6393. PMID  20301844. S2CID  22451173.
  31. ^ Barlow, H.B .; Ривз, Б. (1979). «Универсальность и абсолютная эффективность обнаружения зеркальной симметрии в дисплеях с произвольными точками». Исследование зрения. 19 (7): 783–793. Дои:10.1016/0042-6989(79)90154-8. PMID  483597. S2CID  41530752.
  32. ^ Sasaki, Y .; Vanduffel, W .; Knutsen, T .; Tyler, C.W .; Тутелл, Р. (2005). «Симметрия активирует экстрастриальную зрительную кору у людей и нечеловеческих приматов». Труды Национальной академии наук США. 102 (8): 3159–3163. Дои:10.1073 / pnas.0500319102. ЧВК  549500. PMID  15710884.
  33. ^ Makin, A.D.J .; Rampone, G .; Pecchinenda, A .; Бертамини, М. (2013). «Электрофизиологические реакции на зрительно-пространственную закономерность». Психофизиология. 50: 1045–1055. Дои:10.1111 / psyp.12082. PMID  23941638.
  34. ^ Бертамини, М .; Silvanto, J .; Norcia, A.M .; Makin, A.D.J .; Вейджманс, Дж. (2018). «Нейронная основа визуальной симметрии и ее роль в визуальной обработке среднего и высокого уровня». Летопись Нью-Йоркской академии наук. 132: 280–293. Дои:10.1111 / nyas.13667. PMID  29604083.
  35. ^ Дэниелс, Норман (2003-04-28). «Отражательное равновесие». В Залта, Эдуард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии.
  36. ^ Эмоциональная компетентность: Симметрия
  37. ^ Лутус, П. (2008). «Принцип симметрии». Получено 28 сентября 2015.
  38. ^ Bouissou, C .; Петижан, М. (2018). «Асимметричные биржи». Журнал междисциплинарных методологий и проблем науки. 4: 1–18. Дои:10.18713 / JIMIS-230718-4-1. (см. приложение 1)
  39. ^ Уильямс: симметрия в архитектуре. Members.tripod.com (31 декабря 1998 г.). Проверено 16 апреля 2013.
  40. ^ Аслаксен: математика в искусстве и архитектуре. Math.nus.edu.sg. Проверено 16 апреля 2013.
  41. ^ Дерри, Грегори Н. (2002). Что такое наука и как она работает. Издательство Принстонского университета. С. 269–. ISBN  978-1-4008-2311-6.
  42. ^ а б Данлэп, Дэвид В. (31 июля 2009 г.). «За кулисами: говорит Эдгар Мартинс». Газета "Нью-Йорк Таймс. Получено 11 ноября 2014. «Моей отправной точкой для этой конструкции было простое утверждение, которое я однажды прочитал (и которое не обязательно отражает мои личные взгляды):« Только плохой архитектор полагается на симметрию; вместо симметричного расположения блоков, масс и структур модернистская архитектура опирается на крылья и баланс масс ».
  43. ^ Искусство китайской бронзы В архиве 2003-12-11 в Wayback Machine. Chinavoc (19 ноября 2007 г.). Проверено 16 апреля 2013.
  44. ^ Текстиль и ковры в этническом восточном стиле Marla Mallett. Музей Метрополитен, Нью-Йорк.
  45. ^ Dilucchio: коврики навахо. Navajocentral.org (26 октября 2003 г.). Проверено 16 апреля 2013.
  46. ^ см. («Фуга № 21», pdf или Ударная волна )
  47. ^ а б c d Перл, Джордж (1992). «Симметрия, двенадцатитонная гамма и тональность». Обзор современной музыки. 6 (2): 81–96. Дои:10.1080/07494469200640151.
  48. ^ а б Перл, Джордж (1990). Слушающий композитор. Калифорнийский университет Press. п.21. ISBN  978-0-520-06991-6.
  49. ^ Quate: изучение геометрии с помощью лоскутных одеял В архиве 2003-12-31 на Wayback Machine. Its.guilford.k12.nc.us. Проверено 16 апреля 2013.
  50. ^ Кукер, Феликс (2013). Многообразные зеркала: пути пересечения искусства и математики. Издательство Кембриджского университета. С. 77–78, 83, 89, 103. ISBN  978-0-521-72876-8.
  51. ^ «Как создать идеальный логотип с сеткой и симметрией».
  52. ^ Grammer, K .; Торнхилл Р. (1994). «Привлекательность лица и половой отбор человека (Homo sapiens): роль симметрии и усредненности». Журнал сравнительной психологии. Вашингтон. 108 (3): 233–42. Дои:10.1037/0735-7036.108.3.233. PMID  7924253.
  53. ^ Родос, Джиллиан; Зебровиц, Лесли, А. (2002). Внешняя привлекательность - эволюционная, когнитивная и социальная точки зрения. Ablex. ISBN  1-56750-636-4.
  54. ^ Джонс, Б.С., Литтл, А.С., Тиддеман, Б.П., Берт, Д.М., и Перретт, Д.И. (2001). Симметрия лица и суждения об очевидном здоровье Поддержка объяснения отношения привлекательности и симметрии «хорошими генами», 22, 417–429.
  55. ^ Арнхейм, Рудольф (1969). Визуальное мышление. Калифорнийский университет Press.
  56. ^ Дженни Лиа Боуман (2009). «Симметричная эстетика Беовульфа». Университет Теннесси, Ноксвилл.

дальнейшее чтение

внешние ссылки