Ось винта - Screw axis

А спираль на винтовой оси

А ось винта (винтовая ось или же ось поворота) - линия, которая одновременно является осью вращение и линия, по которой перевод тела происходит. Теорема Часлеса показывает, что каждый Евклидово смещение В трехмерном пространстве имеется винтовая ось, и смещение можно разложить на вращение вокруг и скольжение вдоль этой винтовой оси.^[1][2]

Координаты Плюккера используются для размещения оси винта в Космос, и состоят из пары трехмерных векторов. Первый вектор определяет направление оси, а второй определяет ее положение. Особый случай, когда первый вектор равен нулю, интерпретируется как чистый перенос в направлении второго вектора. Ось винта связана с каждой парой векторов в алгебре винтов, также известной как теория винта.^[3]

Пространственное движение тела может быть представлено непрерывным набором перемещений. Поскольку каждое из этих перемещений имеет ось винта, перемещение имеет связанную линейчатую поверхность, известную как винтовая поверхность. Эта поверхность не такая, как аксода, которая отслеживается мгновенными осями винта движения тела. Мгновенная ось винта или «мгновенная винтовая ось» (IHA) - это ось геликоидального поля, создаваемого скоростями каждой точки движущегося тела.

Когда пространственное перемещение специализируется на плоском перемещении, ось винта становится полюс смещения, а мгновенная ось винта принимает вид полюс скорости, или же мгновенный центр вращения, также называемый мгновенный центр. Период, термин центр также используется для полюса скорости, а геометрическое место этих точек для плоского движения называется центрода.^[4]

История

Доказательство того, что пространственное перемещение можно разложить на вращение и скольжение вокруг и вдоль линии в пространстве, приписывается Мишель Часлес в 1830 г.^[5] Недавно было установлено, что работа Гулио Моцци представляет аналогичный результат 1763 года.^[6][7]

Симметрия оси винта

В Спираль Бурдейка – Кокстера является примером непериодической симметрии оси винта.

А смещение винта (также винтовая операция или же поворотный перевод) - композиция поворота на угол φ вокруг оси (называемой ось винта) с переводом на расстояние d вдоль этой оси. Положительное направление вращения обычно означает направление, которое соответствует направлению поступательного перемещения правило правой руки. Кроме φ = 180 °, нужно отличать смещение винта от его зеркальное изображение. В отличие от вращения, правосторонняя и левосторонняя винтовые операции создают разные группы.

Комбинация вращения вокруг оси и перемещения в перпендикулярном направлении представляет собой вращение вокруг параллельной оси. Однако винтовая операция с ненулевым вектором перемещения по оси не может быть уменьшена таким образом. Таким образом, эффект вращения в сочетании с любой перевод - это винтовая операция в общем смысле, с отдельными случаями - чистый перенос, чистое вращение и тождество. Вместе это все прямые изометрии в 3D.

3₁ ось винта в кристаллической структуре теллур

В кристаллография, а симметрия оси винта представляет собой комбинацию вращения вокруг оси и поступательного движения, параллельного этой оси, при котором кристалл остается неизменным. Если φ = 360°/п для некоторого положительного целого числа п, то из симметрии оси винта следует поступательная симметрия с вектором перевода, который п раз что у винта отпишусь. Итак, 6₃ представляет собой поворот на 60 ° в сочетании со смещением 1/2 вектора решетки, что означает, что существует также 3-кратное вращательная симметрия об этой оси. Возможности 2₁, 3₁, 4₁, 4₂, 6₁, 6₂, и 6₃, а энантиоморфный 3₂, 4₃, 6₄, и 6₅.^[8]

Недискретная ось винта группа изометрии содержит все комбинации поворота вокруг некоторой оси и пропорционального перемещения вдоль оси (в нарезы, коэффициент пропорциональности называется скорость скручивания ); в общем это сочетается с k-кратные изометрии вращения вокруг одной оси (k ≥ 1); множество изображений точки при изометриях есть k-складывать спираль; кроме того, возможен двукратный поворот вокруг перпендикулярно пересекающейся оси, и, следовательно, k-скрученная спираль таких осей.

Винтовая ось пространственного перемещения

Геометрический аргумент

Позволять D : р³ → р³ - сохраняющее ориентацию жесткое движение р³. Набор этих преобразований является подгруппой Евклидовы движения известная как специальная евклидова группа SE (3). Эти жесткие движения определяются преобразованиями Икс в р³ данный

${displaystyle D(mathbf {x} )=A(mathbf {x} )+mathbf {d} }$

состоящий из трехмерного вращения А с последующим переводом вектора d.

Трехмерный вращение А имеет уникальную ось, определяющую линию L. Пусть единичный вектор вдоль этой прямой равен S так что вектор перевода d можно разложить на сумму двух векторов, один параллельный и один перпендикулярный оси L, то есть,

${displaystyle mathbf {d} =mathbf {d} _{L}+mathbf {d} _{perp },quad mathbf {d} _{L}=(mathbf {d} cdot mathbf {S} )mathbf {S} ,quad mathbf {d} _{perp }=mathbf {d} -mathbf {d} _{L}.}$

В этом случае жесткое движение принимает вид

${displaystyle D(mathbf {x} )=(A(mathbf {x} )+mathbf {d} _{perp })+mathbf {d} _{L}.}$

Теперь ориентация, сохраняющая жесткое движение D* = А(Икс) + d_⊥ преобразует все точки р³ чтобы они оставались в плоскостях, перпендикулярных L. Для такого твердого движения существует единственная точка c в плоскости п перпендикулярно L через 0, так что

${displaystyle D^{*}(mathbf {C} )=A(mathbf {C} )+mathbf {d} _{perp }=mathbf {C} .}$

Смысл C можно рассчитать как

${displaystyle mathbf {C} =[I-A]^{-1}mathbf {d} _{perp },}$

потому что d_⊥ не имеет составляющей в направлении оси А.

Жесткое движение D* с фиксированной точкой должен быть поворот вокруг оси L_c через точку c. Следовательно, жесткое движение

${displaystyle D(mathbf {x} )=D^{*}(mathbf {x} )+mathbf {d} _{L},}$

состоит из вращения вокруг линии L_c с последующим переводом вектора d_L в направлении линии L_c.

Вывод: каждое жесткое движение р³ является результатом вращения р³ о линии L_c с последующим переводом в направлении линии. Комбинация вращения вокруг прямой и поступательного движения по прямой называется винтовым движением.

Вычисление точки на оси винта

Точка C на оси винта удовлетворяет уравнению:^[9]

${displaystyle D^{*}(mathbf {C} )=A(mathbf {C} )+mathbf {d} _{perp }=mathbf {C} .}$

Решите это уравнение для C с помощью Формула Кэли для матрицы вращения

${displaystyle [A]=[I-B]^{-1}[I+B],}$

где [B] - кососимметричная матрица, построенная из Вектор Родригеса

${displaystyle mathbf {b} = an {frac {phi }{2}}mathbf {S} ,}$

такой, что

${displaystyle [B]mathbf {y} =mathbf {b} imes mathbf {y} .}$

Используйте эту форму вращения А чтобы получить

${displaystyle mathbf {C} =[I-B]^{-1}[I+B]mathbf {C} +mathbf {d} _{perp },quad [I-B]mathbf {C} =[I+B]mathbf {C} +[I-B]mathbf {d} _{perp },}$

который становится

${displaystyle -2[B]mathbf {C} =[I-B]mathbf {d} _{perp }.}$

Это уравнение можно решить для C на оси винта п(t), чтобы получить,

${displaystyle mathbf {C} ={frac {mathbf {b} imes mathbf {d} -mathbf {b} imes (mathbf {b} imes mathbf {d} )}{2mathbf {b} cdot mathbf {b} }}.}$

Винтовая ось п(t) = C + тS этого пространственного смещения имеет Координаты Плюккера S = (S, C × S).^[9]

Двойной кватернион

Ось винта появится в двойной кватернион формулировка пространственного перемещения D = ([A], d). Двойной кватернион строится из двойной вектор S = (S, V) определение оси винта и двойного угла (φ, d), куда φ вращение вокруг и d ползун по этой оси, определяющий смещение D для получения,

${displaystyle {hat {S}}=cos {frac {hat {varphi }}{2}}+sin {frac {hat {varphi }}{2}}{mathsf {S}}.}$

Пространственное смещение точек q представленный как векторный кватернион, можно определить с помощью кватернионы как отображение

${displaystyle mathbf {q} mapsto Smathbf {q} S^{-1}+mathbf {d} }$

куда d кватернион вектора перевода и S - единичный кватернион, также называемый Versor, данный

${displaystyle S=cos heta +mathbf {S} sin heta , mathbf {S} ^{2}=-1,}$

что определяет поворот на 2θ вокруг оси S.

В собственном Евклидова группа E⁺(3) вращение может быть сопряженный с перемещением, чтобы переместить его к параллельной оси вращения. Такое спряжение, используя кватернионные омографии, создает соответствующую ось винта, чтобы выразить заданное пространственное смещение как смещение винта в соответствии с Теорема Часлеса.

Механика

Движение жесткое тело может быть комбинацией вращения вокруг оси (оси винта) и перемещения вдоль этой оси. Этот винтовой ход характеризуется вектором скорости поступательного движения и угловая скорость вектор в том же или противоположном направлении. Если эти два вектора постоянны и вдоль одного из главные оси тела, для этого движения не нужны никакие внешние силы (движущиеся и прядение ). Например, если не учитывать гравитацию и сопротивление, это движение пуля выстрелил из нарезанный пистолет.

Биомеханика

Этот параметр часто используется в биомеханика, при описании движения суставы тела. В течение любого периода времени совместное движение можно рассматривать как движение одной точки на одной шарнирной поверхности по отношению к прилегающей поверхности (обычно дистальный относительно проксимальный ). Суммарное поступательное движение и повороты по траектории движения можно определить как временные интегралы мгновенных скоростей поступательного перемещения и вращения в IHA для заданного эталонного времени.^[10]

В любом сингле самолет, путь, образованный положениями движущейся мгновенной оси вращения (IAR), известен как «центроид» и используется при описании совместного движения.

Смотрите также

• Штопор (элемент американских горок)
• Теорема Эйлера вращения - повороты без перевода
• Скользящее отражение
• Спиральная симметрия
• Группа линий
• Теория винта
• Космическая группа

Рекомендации

1. Боттема, О. и Б. Рот, Теоретическая кинематика, Dover Publications (сентябрь 1990 г.), ссылка на книги Google
2. Хант, К. Х., Кинематическая геометрия механизма, Издательство Оксфордского университета, 1990 г.
3. Р.С. Болл, Трактат по теории винтов, Ходжес, Дублин, 1876 г., приложение 1, University Press, Cambridge, 1900, стр. 510
4. Гомер Д. Экхардт, Кинематическое проектирование машин и механизмов, МакГроу-Хилл (1998) стр. 63 ISBN  0-07-018953-6 онлайн в Google Книгах
5. M. Chasles, Note sur les Proprietes Generales du Systeme de Deux Corps Semblables entr'eux, Bullettin de Sciences Mathematiques, Astronomiques Physiques et Chimiques, Барон де Ферусак, Париж, 1830, стр. 321-326
6. Дж. Моцци, Математический дискурс, связанный с моментальным вращением тела, Стамперия ди Донато Кампо, Неаполь, 1763 г.
7. М. Чеккарелли, Винтовая ось, определенная Джулио Моцци в 1763 году, и ранние исследования геликоидального движения, Теория механизмов и машин 35 (2000) 761-770
8. Уолтер Борхардт-Отт (1995). Кристаллография. Springer-Verlag. ISBN  3-540-59478-7.
9. Дж. М. Маккарти и Г. С. Со, Геометрический дизайн связей, 2-е издание, Springer 2010 г.
10. Woltring HJ, de Lange A, Kauer JMG, Huiskes R. 1987 Мгновенная оценка винтовых осей с помощью естественных, перекрестно проверенных шлицев. В: Bergmann G, Kölbel R, Rohlmann A (редакторы). Биомеханика: фундаментальные и прикладные исследования. Springer, стр. 121–128. полный текст