Жесткое тело - Rigid body

Положение твердого тела определяется положением его центра масс и его отношение (всего не менее шести параметров).^[1]

В физика, а жесткое тело (также известный как жесткий объект ^[2]) является твердым тело в котором деформация равна нулю или настолько мала, что им можно пренебречь. В расстояние между любыми двумя данными точки на твердом теле остается постоянным во времени независимо от внешних силы оказал на это. Твердое тело обычно рассматривается как непрерывное распределение массы.

При изучении специальная теория относительности, абсолютно твердого тела не существует; и объекты можно считать твердыми, только если они не движутся вблизи скорость света. В квантовая механика твердое тело обычно рассматривается как совокупность точечных масс. Например, в квантовой механике молекулы (состоящие из точечных масс: электронов и ядер) часто рассматриваются как твердые тела (см. классификация молекул как жестких роторов ).

Кинематика

Линейное и угловое положение

Положение твердого тела - это позиция всех частиц, из которых он состоит. Чтобы упростить описание этого положения, мы используем свойство твердости тела, а именно то, что все его частицы сохраняют одинаковое расстояние относительно друг друга. Если тело жесткое, достаточно описать положение как минимум трех не-коллинеарен частицы. Это позволяет восстановить положение всех остальных частиц при условии, что их неизменный во времени положение относительно трех выбранных частиц известно. Однако обычно используется другой, более удобный, но эквивалентный подход. Положение всего тела представлено:

в линейное положение или же позиция тел, а именно положение одного из частиц тела, в частности, выбран в качестве опорной точки (как правило, совпадающий с центр массы или же центроид тела) вместе с
в угловое положение (также известный как ориентация, или же отношение) тела.

Таким образом, положение твердого тела состоит из двух составляющих: линейный и угловатый, соответственно.^[3] То же верно и для других кинематический и кинетический величины, описывающие движение твердого тела, такие как линейные и угловые скорость, ускорение, импульс, импульс, и кинетическая энергия.^[4]

Линейный позиция может быть представлен вектор с хвостом в произвольной точке отсчета в Космос (происхождение избранных система координат ) и его наконечник в произвольной интересующей точке твердого тела, обычно совпадающей с его центр массы или же центроид. Эта контрольная точка может определять происхождение система координат крепится к корпусу.

Есть несколько способов численного описания ориентация твердого тела, включая набор из трех Углы Эйлера, а кватернион, или матрица направляющих косинусов (также называемый матрица вращения ). Все эти методы фактически определяют ориентацию базисный набор (или же система координат ), который имеет фиксированную ориентацию относительно тела (т.е. вращается вместе с телом) относительно другого базисного набора (или системы координат), из которого наблюдается движение твердого тела. Например, базисный набор с фиксированной ориентацией относительно самолета можно определить как набор из трех ортогональных единичные векторы б₁, б₂, б₃, так что б₁ параллельна хорде крыла и направлена вперед, б₂ перпендикулярна плоскости симметрии и направлена вправо, а б₃ дается перекрестным произведением ${ displaystyle b_ {3} = b_ {1} times b_ {2}}$ .

В общем, когда твердое тело движется, его положение и ориентация меняются со временем. В кинематическом смысле эти изменения называются перевод и вращение, соответственно. Действительно, положение твердого тела можно рассматривать как гипотетическое перемещение и вращение (вращательное перемещение) тела, начиная с гипотетической исходной позиции (не обязательно совпадающей с положением, фактически занимаемым телом во время его движения).

Линейная и угловая скорость

Скорость (также называемый линейная скорость) и угловая скорость измеряются относительно точка зрения.

Линейный скорость твердого тела - это вектор количество, равное скорость изменения его линейного положения. Таким образом, скорость опорной точки, закрепленной на корпусе. Во время чисто поступательного движения (движение без вращения) все точки твердого тела движутся с одинаковым скорость. Однако когда движение включает вращение, мгновенная скорость любых двух точек на теле обычно не будет одинаковой. Две точки вращающегося тела будут иметь одинаковую мгновенную скорость, только если они окажутся на оси, параллельной мгновенной скорости. ось вращения.

Угловая скорость это вектор количество, которое описывает угловая скорость при котором ориентация твердого тела меняется и мгновенная ось вокруг которого он вращается (существование этой мгновенной оси гарантируется Теорема Эйлера вращения ). Все точки твердого тела одинаковы угловая скорость во все времена. При чисто вращательном движении все точки тела меняют положение, кроме тех, которые лежат на мгновенном движении. ось вращения. Взаимосвязь между ориентацией и угловой скоростью не аналогична взаимосвязи между положением и скоростью. Угловая скорость не является скорость изменения ориентации, потому что не существует такого понятия, как вектор ориентации, который может быть дифференцированный для получения угловой скорости.

Кинематические уравнения

Теорема сложения для угловой скорости

Угловая скорость твердого тела B в системе отсчета N равна сумме угловой скорости твердого тела D в N и угловой скорости B относительно D:^[5]

{ displaystyle {} ^ { mathrm {N}} ! { boldsymbol { omega}} ^ { mathrm {B}} = {} ^ { mathrm {N}} ! { boldsymbol { omega }} ^ { mathrm {D}} + {} ^ { mathrm {D}} ! { boldsymbol { omega}} ^ { mathrm {B}}.}

В этом случае твердые тела и системы отсчета неотличимы и полностью взаимозаменяемы.

Теорема сложения для позиции

Для любого набора из трех точек P, Q и R вектор положения от P до R является суммой вектора положения от P до Q и вектора положения от Q до R:

{ displaystyle mathbf {r} ^ { mathrm {PR}} = mathbf {r} ^ { mathrm {PQ}} + mathbf {r} ^ { mathrm {QR}}.}

Математическое определение скорости

Скорость точки P в системе отсчета N определяется как производная по времени в N вектора положения от O до P:^[6]

{ displaystyle {} ^ { mathrm {N}} mathbf {v} ^ { mathrm {P}} = { frac {{} ^ { mathrm {N}} mathrm {d}} { mathrm {d} t}} ( mathbf {r} ^ { mathrm {OP}})}

где O - любая произвольная точка, зафиксированная в системе отсчета N, а N слева от d / dт указывает, что производная берется в системе отсчета N. Результат не зависит от выбора O, если O фиксируется в N.

Математическое определение ускорения

Ускорение точки P в системе отсчета N определяется как производная по времени в N его скорости:^[6]

{ displaystyle {} ^ { mathrm {N}} mathbf {a} ^ { mathrm {P}} = { frac {^ { mathrm {N}} mathrm {d}} { mathrm {d } t}} ({} ^ { mathrm {N}} mathbf {v} ^ { mathrm {P}}).}

Скорость двух точек, закрепленных на твердом теле

Для двух точек P и Q, закрепленных на твердом теле B, где B имеет угловую скорость ${ displaystyle scriptstyle {^ { mathrm {N}} { boldsymbol { omega}} ^ { mathrm {B}}}}$ в системе отсчета N скорость Q в N может быть выражена как функция скорости P в N:^[7]

{ displaystyle {} ^ { mathrm {N}} mathbf {v} ^ { mathrm {Q}} = {} ^ { mathrm {N}} ! mathbf {v} ^ { mathrm {P }} + {} ^ { mathrm {N}} { boldsymbol { omega}} ^ { mathrm {B}} times mathbf {r} ^ { mathrm {PQ}}.}

куда ${ Displaystyle mathbf {r} ^ { mathrm {PQ}}}$ вектор положения от P до Q ^[7].

Ускорение двух точек, закрепленных на твердом теле

Дифференцируя уравнение для Скорость двух точек, закрепленных на твердом теле в N относительно времени, ускорение в системе отсчета N точки Q, закрепленной на твердом теле B, может быть выражено как

{ displaystyle {} ^ { mathrm {N}} mathbf {a} ^ { mathrm {Q}} = {} ^ { mathrm {N}} mathbf {a} ^ { mathrm {P}} + {} ^ { mathrm {N}} { boldsymbol { omega}} ^ { mathrm {B}} times left ({} ^ { mathrm {N}} { boldsymbol { omega}} ^ { mathrm {B}} times mathbf {r} ^ { mathrm {PQ}} right) + {} ^ { mathrm {N}} { boldsymbol { alpha}} ^ { mathrm { B}} times mathbf {r} ^ { mathrm {PQ}}}

куда ${ displaystyle scriptstyle {{} ^ { mathrm {N}} ! { boldsymbol { alpha}} ^ { mathrm {B}}}}$ - угловое ускорение B в системе отсчета N.^[7]

Угловая скорость и ускорение двух точек, закрепленных на твердом теле

Как уже упоминалось над, все точки твердого тела B имеют одинаковую угловую скорость ${ displaystyle {} ^ { mathrm {N}} { boldsymbol { omega}} ^ { mathrm {B}}}$ в фиксированной системе отсчета N, и, следовательно, такое же угловое ускорение ${ displaystyle {} ^ { mathrm {N}} { boldsymbol { alpha}} ^ { mathrm {B}}.}$

Скорость движения одной точки по твердому телу

Если точка R движется в твердом теле B, а точка B движется в системе отсчета N, то скорость R в N равна

{ displaystyle {} ^ { mathrm {N}} mathbf {v} ^ { mathrm {R}} = {} ^ { mathrm {N}} mathbf {v} ^ { mathrm {Q}} + {} ^ { mathrm {B}} mathbf {v} ^ { mathrm {R}}}

где Q - фиксированная точка в B, которая мгновенно совпадает с R в интересующий момент.^[8] Это соотношение часто сочетается с соотношением для Скорость двух точек, закрепленных на твердом теле.

Ускорение одной точки, движущейся по твердому телу

Ускорение в системе отсчета N точки R, движущейся в теле B, в то время как B движется в системе N, определяется выражением

{ displaystyle {} ^ { mathrm {N}} mathbf {a} ^ { mathrm {R}} = {} ^ { mathrm {N}} mathbf {a} ^ { mathrm {Q}} + {} ^ { mathrm {B}} mathbf {a} ^ { mathrm {R}} +2 {} ^ { mathrm {N}} { boldsymbol { omega}} ^ { mathrm {B }} times {} ^ { mathrm {B}} mathbf {v} ^ { mathrm {R}}}

где Q - фиксированная точка в B, которая мгновенно совпадает с R в интересующий момент.^[8] Это уравнение часто сочетается с Ускорение двух точек, закрепленных на твердом теле.

Другие количества

Если C происхождение местного система координат L, прикрепленный к телу,

в пространственный или же крутить ускорение твердого тела определяется как пространственное ускорение из C (в отличие от ускорения материала выше);

{ displaystyle { boldsymbol { psi}} (t, mathbf {r} _ {0}) = mathbf {a} (t, mathbf {r} _ {0}) - { boldsymbol { omega }} (t) times mathbf {v} (t, mathbf {r} _ {0}) = { boldsymbol { psi}} _ {c} (t) + { boldsymbol { alpha}} (т) раз А (т) mathbf {r} _ {0}}

куда

${ displaystyle mathbf {r} _ {0}}$ представляет положение точки / частиц по отношению к опорной точке тела в терминах локальной системы координат L (жесткость корпуса означает, что это не зависит от времени)
${ Displaystyle А (т) ,}$ это ориентация матрица, ортогональная матрица с определителем 1, представляющим ориентация (угловое положение) локальной системы координат L, По отношению к эталонной произвольной ориентации другой системы координат грамм. Думайте об этой матрице как о трех ортогональных единичных векторах, по одному в каждом столбце, которые определяют ориентацию осей L относительно грамм.
${ Displaystyle { boldsymbol { omega}} (т)}$ представляет угловая скорость твердого тела
${ Displaystyle mathbf {v} (т, mathbf {r} _ {0})}$ представляет собой полную скорость точки / частицы
${ Displaystyle mathbf {а} (т, mathbf {r} _ {0})}$ представляет собой полное ускорение точки / частицы
${ Displaystyle { boldsymbol { alpha}} (т)}$ представляет угловое ускорение твердого тела
${ Displaystyle { boldsymbol { psi}} (т, mathbf {r} _ {0})}$ представляет пространственное ускорение точки / частицы
${ Displaystyle { boldsymbol { psi}} _ {c} (т)}$ представляет пространственное ускорение твердого тела (т.е. пространственное ускорение начала координат L).

В 2D угловая скорость является скаляром, а матрица A (t) просто представляет собой вращение в ху-плоскость на угол, являющийся интегралом угловой скорости во времени.

Транспортные средства, идущие люди и т. д. обычно вращаются в соответствии с изменением направления скорости: они движутся вперед относительно своей собственной ориентации. Тогда, если тело движется по замкнутой орбите в плоскости, угловая скорость, проинтегрированная за интервал времени, за который орбита совершается один раз, равна целому числу, умноженному на 360 °. Это целое число номер намотки относительно начала скорости. Сравните величина вращения, связанная с вершинами многоугольника.

Кинетика

Любая точка, жестко связанная с телом, может использоваться как точка отсчета (начало системы координат L) для описания линейного движения тела (линейное положение, векторы скорости и ускорения зависят от выбора).

Однако, в зависимости от приложения, удобным выбором может быть:

в центр массы всей системы, которая обычно имеет простейшее движение для тела, свободно перемещающегося в пространстве;
точка, в которой поступательное движение равно нулю или упрощено, например на ось или же петля, в центре шаровое соединение, так далее.

Когда центр масс используется как точка отсчета:

(Линейный) импульс не зависит от вращательного движения. В любой момент времени она равна общей массе твердого тела, умноженной на поступательную скорость.
В угловой момент по отношению к центру масс такая же, как и без перевода: в любой момент времени она равна тензор инерции умножить на угловую скорость. Когда угловая скорость выражается относительно системы координат, совпадающей с главные оси для тела каждая компонента углового момента является произведением момента инерции (главного значения тензора инерции) на соответствующую компоненту угловой скорости; в крутящий момент тензор инерции, умноженный на угловое ускорение.
Возможные движения при отсутствии внешних сил: поступательное движение с постоянной скоростью, устойчивое вращение вокруг фиксированной главной оси, а также без крутящего момента. прецессия.
Чистая внешняя сила, действующая на твердое тело, всегда равна полной массе, умноженной на поступательное ускорение (т. Е. Второй закон Ньютона справедливо для поступательного движения, даже когда чистый внешний крутящий момент отличен от нуля и / или тело вращается).
Общая кинетическая энергия просто сумма трансляционных и вращательная энергия.

Геометрия

Говорят, что два твердых тела разные (не копий), если нет правильное вращение от одного к другому. Твердое тело называется хиральный если это зеркальное изображение отличается в этом смысле, т.е. если у него нет симметрия или его группа симметрии содержит только правильные повороты. В противном случае объект называется ахиральным: зеркальное отображение - это копия, а не другой объект. Такой объект может иметь плоскость симметрии, но не обязательно: может также существовать плоскость отражения, относительно которой изображение объекта является повернутой версией. Последнее относится к S_2n, из которых случай п = 1 - инверсионная симметрия.

Для (жесткого) прямоугольного прозрачного листа инверсионная симметрия соответствует наличию на одной стороне изображения без симметрии вращения, а на другой стороне изображения, сквозь которое просвечивает изображение на верхней стороне в перевернутом виде. Можно выделить два случая:

поверхность листа с изображением не симметрична - в этом случае две стороны разные, но зеркальное отображение объекта такое же, после поворота на 180 ° вокруг оси, перпендикулярной плоскости зеркала.
поверхность листа с изображением имеет ось симметрии - в этом случае две стороны одинаковы, и зеркальное отображение объекта тоже такое же, опять же после поворота на 180 ° вокруг оси, перпендикулярной плоскости зеркала.

Лист с насквозь изображение ахиральное. Мы можем снова выделить два случая:

поверхность листа с изображением не имеет оси симметрии - две стороны разные
поверхность листа с изображением имеет ось симметрии - две стороны совпадают

Пространство конфигурации

В конфигурационное пространство твердого тела с одной фиксированной точкой (т. е. тела с нулевым поступательным движением) задается лежащей в основе многообразие из группа вращения SO (3). Конфигурационное пространство нефиксированного (с ненулевым поступательным движением) твердого тела имеет вид E⁺(3), подгруппа прямые изометрии из Евклидова группа в трех измерениях (комбинации переводы и вращения ).

Смотрите также

Примечания

^ Лоренцо Скиавикко, Бруно Сицилиано (2000). «§2.4.2 Углы крена-тангажа-рыскания». Моделирование и управление роботами-манипуляторами (2-е изд.). Springer. п. 32. ISBN 1-85233-221-2.
^ Энди Руина и Рудра Пратап (2015). Введение в статику и динамику. Издательство Оксфордского университета. (связь: [1] )
^ В общем, положение точки или частицы также известно в физике как линейное положение, в отличие от угловое положение линии или сегмента линии (например, в круговое движение, «радиус», соединяющий точку вращения с центром вращения), или базисный набор, или же система координат.
^
В кинематика, линейный означает «по прямой или изогнутой линии» (путь частицы в Космос ). В математика, тем не мение, линейный имеет другое значение. В обоих контекстах слово «линейный» связано со словом «линия». В математике линия часто определяется как прямой изгиб. Для тех, кто принимает это определение, изгиб могут быть прямыми, а изогнутых линий не должно быть. В кинематика, период, термин линия используется как синоним термина траектория, или же дорожка (а именно, оно имеет то же неограниченное значение, что и в математике слово изгиб). Короче говоря, должны существовать как прямые, так и изогнутые линии. В кинематике и динамика следующие слова относятся к тому же неограниченному значению термина «линия»:
- "линейный" (= по прямой или изогнутой линии),
- "прямолинейный" (= по прямой, от лат. прямая мышца = прямой, и Linere = распространение),
- "криволинейный" (= по кривой линии, от лат. Curvus = изогнутый, и Linere = распространение).
В топология и метеорология, термин «линия» имеет то же значение; а именно контурная линия это кривая.
^ Кейн, Томас; Левинсон, Дэвид (1996). «2-4 вспомогательных системы отсчета». Dynamics Online. Саннивейл, Калифорния: OnLine Dynamics, Inc.
^ ^а ^б Кейн, Томас; Левинсон, Дэвид (1996). «2-6 Скорость и ускорение». Dynamics Online. Саннивейл, Калифорния: OnLine Dynamics, Inc.
^ ^а ^б ^c Кейн, Томас; Левинсон, Дэвид (1996). «2-7 Две точки, закрепленные на твердом теле». Dynamics Online. Саннивейл, Калифорния: OnLine Dynamics, Inc.
^ ^а ^б Кейн, Томас; Левинсон, Дэвид (1996). «2-8 Движение одной точки на твердом теле». Dynamics Online. Саннивейл, Калифорния: OnLine Dynamics, Inc.

внешняя ссылка

СМИ, связанные с Твердые тела в Wikimedia Commons

[Sciavicco-1] Лоренцо Скиавикко, Бруно Сицилиано (2000). «§2.4.2 Углы крена-тангажа-рыскания». Моделирование и управление роботами-манипуляторами (2-е изд.). Springer. п. 32. ISBN 1-85233-221-2.

[2] Энди Руина и Рудра Пратап (2015). Введение в статику и динамику. Издательство Оксфордского университета. (связь: [1] )

[3] В общем, положение точки или частицы также известно в физике как линейное положение, в отличие от угловое положение линии или сегмента линии (например, в круговое движение, «радиус», соединяющий точку вращения с центром вращения), или базисный набор, или же система координат.

[4] В кинематика, линейный означает «по прямой или изогнутой линии» (путь частицы в Космос ). В математика, тем не мение, линейный имеет другое значение. В обоих контекстах слово «линейный» связано со словом «линия». В математике линия часто определяется как прямой изгиб. Для тех, кто принимает это определение, изгиб могут быть прямыми, а изогнутых линий не должно быть. В кинематика, период, термин линия используется как синоним термина траектория, или же дорожка (а именно, оно имеет то же неограниченное значение, что и в математике слово изгиб). Короче говоря, должны существовать как прямые, так и изогнутые линии. В кинематике и динамика следующие слова относятся к тому же неограниченному значению термина «линия»:
"линейный" (= по прямой или изогнутой линии),
"прямолинейный" (= по прямой, от лат. прямая мышца = прямой, и Linere = распространение),
"криволинейный" (= по кривой линии, от лат. Curvus = изогнутый, и Linere = распространение).
В топология и метеорология, термин «линия» имеет то же значение; а именно контурная линия это кривая.

[5] "линейный" (= по прямой или изогнутой линии),

[6] "прямолинейный" (= по прямой, от лат. прямая мышца = прямой, и Linere = распространение),

[7] "криволинейный" (= по кривой линии, от лат. Curvus = изогнутый, и Linere = распространение).

[5] Кейн, Томас; Левинсон, Дэвид (1996). «2-4 вспомогательных системы отсчета». Dynamics Online. Саннивейл, Калифорния: OnLine Dynamics, Inc.

[od26-6] а ^б Кейн, Томас; Левинсон, Дэвид (1996). «2-6 Скорость и ускорение». Dynamics Online. Саннивейл, Калифорния: OnLine Dynamics, Inc.

[od27-7] а ^б ^c Кейн, Томас; Левинсон, Дэвид (1996). «2-7 Две точки, закрепленные на твердом теле». Dynamics Online. Саннивейл, Калифорния: OnLine Dynamics, Inc.

[od28-8] а ^б Кейн, Томас; Левинсон, Дэвид (1996). «2-8 Движение одной точки на твердом теле». Dynamics Online. Саннивейл, Калифорния: OnLine Dynamics, Inc.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]