Уравнение движения Аппельса - Appells equation of motion - Wikipedia

В классическая механика, Уравнение движения Аппеля (он же Уравнение движения Гиббса – Аппеля.) является альтернативной общей формулировкой классическая механика описанный Джозайя Уиллард Гиббс в 1879 г.^[1] и Поль Эмиль Аппель в 1900 г.^[2]

Заявление

Уравнение Гиббса-Аппеля гласит

${\displaystyle Q_{r}={\frac {\partial S}{\partial \alpha _{r}}},}$

куда ${\displaystyle \alpha _{r}={\ddot {q_{r}}}}$ - произвольное обобщенное ускорение или вторая производная по времени от обобщенные координаты ${\displaystyle q_{r}}$, и ${\displaystyle Q_{r}}$ это соответствующий обобщенная сила. Обобщенная сила дает проделанную работу

${\displaystyle dW=\sum _{r=1}^{D}Q_{r}dq_{r},}$

где индекс ${\displaystyle r}$ проходит через ${\displaystyle D}$ обобщенные координаты ${\displaystyle q_{r}}$, которые обычно соответствуют степени свободы системы. Функция ${\displaystyle S}$ определяется как взвешенная по массе сумма частицы ускорения в квадрате

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}^{2}\,,}$

где индекс ${\displaystyle k}$ проходит через ${\displaystyle K}$ частицы и

${\displaystyle \mathbf {a} _{k}={\ddot {\mathbf {r} }}_{k}={\frac {d^{2}\mathbf {r} _{k}}{dt^{2}}}}$

это ускорение ${\displaystyle k}$-я частица, вторая производная по времени от ее вектор положения ${\displaystyle \mathbf {r} _{k}}$. Каждый ${\displaystyle \mathbf {r} _{k}}$ выражается в виде обобщенные координаты, и ${\displaystyle \mathbf {a} _{k}}$ выражается через обобщенные ускорения.

Связь с другими формулировками классической механики

Формулировка Аппелла не вводит новую физику в классическую механику и как таковая эквивалентна другим переформулировкам классической механики, таким как Лагранжева механика, и Гамильтонова механика. Вся физика содержится в законах движения Ньютона. В некоторых случаях уравнение движения Аппелла может быть более удобным, чем обычно используемая лагранжева механика, особенно когда неголономный ограничения вовлечены. Фактически, уравнение Аппеля напрямую ведет к уравнениям движения Лагранжа.^[3] Более того, его можно использовать для вывода уравнений Кейна, которые особенно подходят для описания движения сложных космических аппаратов.^[4] Формулировка Аппеля - это приложение Принцип наименьшего принуждения Гаусса.^[5]

Вывод

Изменение положения частиц р_k за бесконечно малое изменение D обобщенные координаты

${\displaystyle d\mathbf {r} _{k}=\sum _{r=1}^{D}dq_{r}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{r}}}}$

Взяв две производные по времени, мы получаем эквивалентное уравнение для ускорений

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {a} _{k}}{\partial \alpha _{r}}}={\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{r}}}}$

Работа, совершаемая бесконечно малым изменением dq_р в обобщенных координатах

${\displaystyle dW=\sum _{r=1}^{D}Q_{r}dq_{r}=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot d\mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot d\mathbf {r} _{k}}$

где второй закон Ньютона для kth частица

${\displaystyle \mathbf {F} _{k}=m_{k}\mathbf {a} _{k}}$

был использован. Подставляя формулу для dр_k и меняя местами порядок двух суммирований, получаем формулы

${\displaystyle dW=\sum _{r=1}^{D}Q_{r}dq_{r}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot \sum _{r=1}^{D}dq_{r}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{r}}}\right)=\sum _{r=1}^{D}dq_{r}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{r}}}\right)}$

Следовательно, обобщенные силы равны

${\displaystyle Q_{r}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{r}}}\right)=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {a} _{k}}{\partial \alpha _{r}}}\right)}$

Это равно производной от S относительно обобщенных ускорений

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial \alpha _{r}}}={\frac {\partial }{\partial \alpha _{r}}}{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left|\mathbf {a} _{k}\right|^{2}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {a} _{k}}{\partial \alpha _{r}}}\right)}$

приводя к уравнению движения Аппеля

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial \alpha _{r}}}=Q_{r}.}$

Примеры

Уравнения Эйлера динамики твердого тела

Уравнения Эйлера являются прекрасной иллюстрацией формулировки Аппеля.

Рассмотрим твердое тело из N частицы соединены жесткими стержнями. Вращение тела можно описать угловая скорость вектор ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$, а соответствующий вектор углового ускорения

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}}$

Обобщенная сила вращения - это крутящий момент ${\displaystyle {\textbf {N}}}$, поскольку работа, проделанная для бесконечно малого вращения ${\displaystyle \delta {\boldsymbol {\phi }}}$ является ${\displaystyle dW=\mathbf {N} \cdot \delta {\boldsymbol {\phi }}}$. Скорость ${\displaystyle k}$-я частица определяется выражением

${\displaystyle \mathbf {v} _{k}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{k}}$

куда ${\displaystyle \mathbf {r} _{k}}$ - положение частицы в декартовых координатах; соответствующее ему ускорение

${\displaystyle \mathbf {a} _{k}={\frac {d\mathbf {v} _{k}}{dt}}={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} _{k}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{k}}$

Следовательно, функция ${\displaystyle S}$ можно записать как

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{k}\right)={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left\{\left({\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} _{k}\right)^{2}+\left({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{k}\right)^{2}+2\left({\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} _{k}\right)\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{k}\right)\right\}}$

Установка производной от S относительно ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ равный крутящему моменту дает уравнения Эйлера

${\displaystyle I_{xx}\alpha _{x}-\left(I_{yy}-I_{zz}\right)\omega _{y}\omega _{z}=N_{x}}$

${\displaystyle I_{yy}\alpha _{y}-\left(I_{zz}-I_{xx}\right)\omega _{z}\omega _{x}=N_{y}}$

${\displaystyle I_{zz}\alpha _{z}-\left(I_{xx}-I_{yy}\right)\omega _{x}\omega _{y}=N_{z}}$

Смотрите также

• Физический портал

• Принцип стационарного действия
• Аналитическая механика

Рекомендации

1. Гиббс, JW (1879). «Об основных формулах динамики». Американский журнал математики. 2 (1): 49–64. Дои:10.2307/2369196. JSTOR  2369196.
2. Аппель, П. (1900). "Sur une forme générale des équations de la Dynamique". Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 121: 310–?.
3. Деслодж, Эдвард А. (1988). «Уравнения движения Гиббса – Аппеля» (PDF). Американский журнал физики. 56 (9): 841–46. Дои:10.1119/1.15463.
4. Деслодж, Эдвард А. (1987). «Связь между уравнениями Кейна и уравнениями Гиббса-Аппеля». Журнал наведения, управления и динамики. Американский институт аэронавтики и астронавтики. 10 (1): 120–22. Дои:10.2514/3.20192.
5. Льюис, Эндрю Д. (август 1996). «Геометрия уравнений Гиббса-Аппеля и принцип наименьшего принуждения Гаусса» (PDF). Доклады по математической физике. 38 (1): 11–28. Дои:10.1016/0034-4877(96)87675-0.

дальнейшее чтение

• Парс, Л.А. (1965). Трактат по аналитической динамике. Вудбридж, Коннектикут: Ox Bow Press. С. 197–227, 631–632.
• Уиттакер, ET (1937). Трактат об аналитической динамике частиц и твердых тел с введением в проблему трех тел (4-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN.
• Сигер (1930). «Уравнения Аппеля». Журнал Вашингтонской академии наук. 20: 481–484.
• Брелл, H (1913). "Nachweis der Aquivalenz des verallgemeinerten Prinzipes der kleinsten Aktion mit dem Prinzip des kleinsten Zwanges". Wien. Sitz. 122: 933–944. Связь формулировки Аппеля с принцип наименьшего действия.
• PDF-копия статьи Аппеля в Геттингенском университете
• PDF-копия второй статьи об уравнениях Аппеля и принципе Гаусса