Принцип наименьшего действия - Principle of least action

В этой статье рассматривается история принципа наименьшего действия. Для заявки, пожалуйста, обратитесь к действие (физика).

В принцип наименьшего действия - или, точнее, принцип стационарного действия - это вариационный принцип что применительно к действие из механический систему, можно использовать для получения уравнения движения для этой системы. Его исторически называли «наименьшим», потому что для его решения необходимо найти путь движения в пространстве, который имеет наименьшее значение.^[1]

Этот принцип можно использовать для получения Ньютоновский, Лагранжиан и Гамильтониан уравнения движения, и даже общая теория относительности (видеть Действие Эйнштейна – Гильберта ). В теории относительности другое действие должно быть минимизировано или максимизировано.

Классическая механика и электромагнитные выражения являются следствием квантовой механики. Метод стационарного действия помог в развитии квантовой механики.^[2] В 1933 г. физик Поль Дирак продемонстрировали, как этот принцип можно использовать в квантовых вычислениях, обнаружив квантовая механика принципа в квантовая интерференция амплитуд.^[3] Впоследствии Джулиан Швингер и Ричард Фейнман независимо применил этот принцип в квантовой электродинамике.^[4][5]

Принцип остается центральным в современная физика и математика, применяемые в термодинамика,^[6] механика жидкости,^[7] в теория относительности, квантовая механика,^[8] физика элементарных частиц, и теория струн^[9] и является центром современных математических исследований в Теория Морса. Принцип Мопертюи и Принцип Гамильтона проиллюстрировать принцип стационарного действия.

Принципу действия предшествуют более ранние идеи в оптика. В древняя Греция, Евклид написал в своем Катоптрика что для пути света, отражающегося от зеркала, угол падения равно угол отражения.^[10] Герой Александрии позже показал, что этот путь был кратчайшей длиной и минимальным временем.^[11]

Ученые часто верят Пьер Луи Мопертюи за формулировку принципа наименьшего действия, потому что он писал об этом в 1744 г.^[12] и 1746 г.^[13] Тем не мение, Леонард Эйлер обсуждал принцип в 1744 году,^[14] и доказательства показывают, что Готфрид Лейбниц Обоим предшествовало 39 лет.^[15][16][17]

Общее утверждение

По мере развития системы q прослеживает путь через конфигурационное пространство (показаны только некоторые). Путь, пройденный системой (красный), имеет стационарное действие (δS = 0) при небольших изменениях конфигурации системы (δq).^[18]

Отправной точкой является действие, обозначенный ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ (каллиграфическая S) физической системы. Он определяется как интеграл из Лагранжиан L между двумя моментами время т₁ и т₂ - технически функциональный из N обобщенные координаты q = (q₁, q₂, ... , q_N), которые определяют конфигурация системы:

${\displaystyle \mathbf {q} :\mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{N}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} ,t_{1},t_{2}]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} (t),\mathbf {\dot {q}} (t),t)dt}$

где точка обозначает производная по времени, и т время.

Математически принцип^[19][20]

${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=0,}$

куда δ (строчные греческие дельта ) означает маленький изменять. На словах это гласит:^[18]

Путь, пройденный системой между моментами времени t₁ и т₂ и конфигурации q₁ и q₂ тот, для которого действие является стационарный (без изменений) к первый заказ.

Стационарное действие не всегда является минимумом, несмотря на историческое название наименьшего действия.^{[21][1]:19–6} Это принцип минимума для достаточно коротких и конечных участков пути.^[22]

В приложениях заявление и определение действия взяты вместе:^[23]

${\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)dt=0.}$

И действие, и лагранжиан содержат динамику системы на все времена. Термин «путь» просто относится к кривой, начерченной системой с точки зрения координат в конфигурационное пространство, т.е. кривая q(т), параметризованный временем (см. также параметрическое уравнение для этой концепции).

Истоки, утверждения и противоречия

Ферма

Основная статья: Принцип Ферма

В 1600-х годах Пьер де Ферма постулировал, что "свет проходит между двумя заданными точками по пути кратчайшего времени, "который известен как принцип наименьшего времени или же Принцип Ферма.^[20]

Мопертюи

Основная статья: Принцип Мопертюи

Кредит на формулировку принцип наименьшего действия обычно дается Пьер Луи Мопертюи, которые считали, что «Природа бережливы во всех своих действиях», и широко применяли этот принцип:

Законы движения и покоя, выведенные из этого принципа, в точности такие же, как наблюдаемые в природе, мы можем восхищаться применением его ко всем явлениям. Движение животных, вегетативный рост растений ... это только его последствия; и зрелище вселенной становится настолько грандиознее, прекраснее, достойнее своего Автора, когда известно, что небольшого числа законов, установленных самым мудрым образом, достаточно для всех движений.

— Пьер Луи Мопертюи^[24]

Это понятие Мопертюи, хотя и в некоторой степени детерминировано сегодня, все же отражает большую часть сути механики.

Применительно к физике Мопертюи предположил, что минимизируемая величина является произведением продолжительности (времени) движения внутри системы на "vis viva ",

Принцип Мопертюи

${\displaystyle \delta \int 2T(t)dt=0}$

который является интегралом удвоенного того, что мы теперь называем кинетическая энергия Т системы.

Эйлер

Леонард Эйлер дал формулировку принципа действия в 1744 году в очень узнаваемых терминах в Additamentum 2 к его Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minive Proprietate Gaudentes. Начиная со второго абзаца:

Пусть масса снаряда будет M, и пусть его скорость будет v при перемещении на бесконечно малое расстояние ds. Тело будет иметь импульс Мв что при умножении на расстояние ds, дам Мв ds, проинтегрированный по расстоянию импульс тела ds. Теперь я утверждаю, что кривая, описанная таким образом телом, является кривой (среди всех других кривых, соединяющих те же конечные точки), которая минимизирует

${\displaystyle \int Mv\,ds}$

или при условии, что M постоянно на пути,

${\displaystyle M\int v\,ds}$.

— Леонард Эйлер^[14][25]

Как утверждает Эйлер, ∫Мвds представляет собой интеграл количества движения по пройденному расстоянию, которое в современных обозначениях равно сокращенному или уменьшенное действие

Принцип Эйлера

${\displaystyle \delta \int p\,dq=0}$

Таким образом, Эйлер сделал эквивалентное и (по-видимому) независимое утверждение вариационного принципа в том же году, что и Мопертюи, хотя и несколько позже. Любопытно, что Эйлер не претендовал на приоритет, как показывает следующий эпизод.

Спорный приоритет

Приоритет Мопертюи был оспорен в 1751 году математиком Самуэль Кениг, который утверждал, что его изобрел Готфрид Лейбниц в 1707 году. Несмотря на то, что он похож на многие аргументы Лейбница, сам принцип не был задокументирован в трудах Лейбница. Сам Кёниг показал копировать письма Лейбница 1707 г. Якоб Германн с принципом, но оригинал письмо потеряно. В ходе судебного разбирательства Кениг был обвинен в подделке документов,^[15] и даже Король Пруссии вступил в дебаты, защищая Мопертюи (главу его Академии), в то время как Вольтер защищал Кениг.^{[нужна цитата ]}

Эйлер, вместо того чтобы претендовать на приоритет, был стойким защитником Мопертюи, и сам Эйлер преследовал Кенига за подделку документов перед Берлинской академией 13 апреля 1752 года.^[15] Заявления о подделке документов были пересмотрены 150 лет спустя, и архивные работы C.I. Герхардт в 1898 г.^[16] и В. Кабиц в 1913 г.^[17] обнаружили другие копии письма и три других, цитируемых Кенигом, в Бернулли архивы.

Дальнейшее развитие

Эйлер продолжал писать на эту тему; в его Réflexions sur quelques loix générales de la nature (1748 г.), он назвал величину «усилием». Его выражение лица соответствует тому, что мы сейчас назвали бы потенциальная энергия, так что его утверждение о наименьшем действии в статике эквивалентно принципу, согласно которому система тел в состоянии покоя примет конфигурацию, которая минимизирует общую потенциальную энергию.

Лагранж и Гамильтон

Основная статья: Принцип Гамильтона

Большая часть вариационного исчисления была сформулирована Жозеф-Луи Лагранж в 1760 г.^[26][27] и он применил это к задачам в динамике. В Mécanique analytique (1788) Лагранж вывел общее уравнения движения механического тела.^[28] Уильям Роуэн Гамильтон в 1834 и 1835 гг.^[29] применил вариационный принцип к классическому Лагранжиан функция

${\displaystyle L=T-V}$

получить Уравнения Эйлера – Лагранжа. в их нынешнем виде.

Якоби и Морс

В 1842 г. Карл Густав Якоби рассмотрел вопрос о том, всегда ли вариационный принцип находит минимумы в отличие от других стационарные точки (максимальные или стационарные седловые точки ); большая часть его работы была сосредоточена на геодезические на двумерных поверхностях.^[30] Первые четкие общие заявления были сделаны Марстон Морс в 1920-1930-х гг.,^[31] ведущий к тому, что сейчас известно как Теория Морса. Например, Морс показал, что количество сопряженные точки в траектории равно количеству отрицательных собственных значений во второй вариации лагранжиана.

Гаусс и Герц

Другие экстремальные принципы классическая механика были сформулированы, например Принцип наименьшего принуждения Гаусса и его следствие, Принцип наименьшей кривизны Герца.

Споры о возможных телеологических аспектах

Математическая эквивалентность дифференциал уравнения движения и их интеграл контрагент имеет важные философские последствия. Дифференциальные уравнения - это утверждения о величинах, локализованных в одной точке пространства или в один момент времени. Например, Второй закон Ньютона

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$

заявляет, что мгновенный сила F применяется к массе м производит ускорение а в то же мгновенное. Напротив, принцип действия не ограничен определенной точкой; скорее, он включает интегралы по интервалу времени и (для полей) по расширенной области пространства. Более того, в обычной формулировке классический принципы действия, начальное и конечное состояния системы фиксированы, например,

Учитывая, что частица начинается в позиции x₁ в момент t₁ и заканчивается в позиции x₂ в момент t₂, физическая траектория, соединяющая эти две конечные точки, является экстремум интеграла действия.

В частности, крепление окончательный состояние было истолковано как придание принципу действия телеологический характер что исторически было противоречивым. Однако, по мнению В. Юрграу и С. Мандельштама, телеологический подход ... предполагает, что сами вариационные принципы обладают математическими характеристиками, которые они де-факто не владеть^[32] Кроме того, некоторые критики утверждают, что это очевидное телеология возникает из-за способа, которым был задан вопрос. Определяя некоторые, но не все аспекты как начальных, так и конечных условий (положения, но не скорости), мы делаем некоторые выводы о начальных условиях из конечных условий, и именно этот «обратный» вывод можно рассматривать как телеологическое объяснение. Телеологию также можно преодолеть, если рассматривать классическое описание как предельный случай квант формализм интеграция пути, в котором стационарные трассы получаются в результате интерференции амплитуд на всех возможных трассах.^[1]

Краткий рассказ История вашей жизни писателем-фантастом Тед Чанг содержит визуальные изображения Принцип Ферма наряду с обсуждением его телеологического измерения. Кейт Девлин с Математический инстинкт содержит главу «Вельш-корги Элвис, умеющий проводить вычисления», в которой обсуждаются вычисления, «встроенные» в некоторых животных, поскольку они решают проблему «наименьшего времени» в реальных ситуациях.

Смотрите также

• Экшен (физика)
• Формулировка интеграла по путям
• Квантовый принцип действия Швингера
• Путь наименьшего сопротивления
• Аналитическая механика
• Вариационное исчисление
• Гамильтонова механика
• Лагранжева механика
• бритва Оккама

Примечания и ссылки

1. Глава 19 Тома II, Фейнман Р, Лейтон Р, и Песков М. Лекции Фейнмана по физике . 3 тома 1964, 1966. Карточка каталога Библиотеки Конгресса № 63-20717. ISBN  0-201-02115-3 (Набор из трех томов в мягкой обложке 1970 года); ISBN  0-201-50064-7 (Памятный трехтомник в твердом переплете 1989 г.); ISBN  0-8053-9045-6 (Стандартное издание 2006 г. (2-е издание); твердый переплет)
2. Ричард Фейнман, Характер физического закона.
3. Дирак, Поль А. М. (1933). «Лагранжиан в квантовой механике» (PDF). Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion. 3 (1): 64–72.
4. Р. Фейнман, Квантовая механика и интегралы по траекториям, McGraw-Hill (1965), ISBN  0070206503
5. Дж. С. Швингер, Квантовая кинематика и динамика, В. А. Бенджамин (1970), ISBN  0738203033
6. Гарсиа-Моралес, Владимир; Пеллисер, Хулио; Мансанарес, Хосе А. (2008). «Термодинамика, основанная на принципе наименее сокращенного действия: производство энтропии в сети связанных осцилляторов». Анналы физики. 323 (8): 1844–58. arXiv:cond-mat / 0602186. Bibcode:2008AnPhy.323.1844G. Дои:10.1016 / j.aop.2008.04.007. S2CID  118464686.
7. http://www.scholarpedia.org/article/Principle_of_least_action
8. Фейнман, Ричард Филлипс (1942). «Принцип наименьшего действия в квантовой механике». Bibcode:1942ПХДТ ......... 5Ф.
9. «Принцип наименьшего действия - дамтп» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2015-10-10. Получено 2016-07-18.
10. Хельцбергер, Макс (1966). «Оптика от Евклида до Гюйгенса». Прикладная оптика. 5 (9): 1383–93. Bibcode:1966ApOpt ... 5,1383H. Дои:10.1364 / AO.5.001383. PMID  20057555. В Катоптрики установлен закон отражения, а именно, что входящие и выходящие лучи образуют один и тот же угол с нормалью к поверхности ".
11. Клайн, Моррис (1972). Математическая мысль от древних до наших дней. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. стр.167 –68. ISBN  0-19-501496-0.
12. П.Л.М. де Мопертюи, Accord de différentes lois de la nature qui avaient jusqu'ici paru несовместимо. (1744) Mém. В качестве. Sc. Париж р. 417. (английский перевод )
13. П.Л.М. де Мопертюи, Le lois de mouvement et du repos, déduites d'un principe de métaphysique. (1746) Mém. Ac. Берлин, стр. 267. (английский перевод )
14. Леонард Эйлер, Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minive Proprietate Gaudentes. (1744) Буске, Лозанна и Женева. 320 страниц. Перепечатано в Леонхарди Эйлери Опера Омния: Серия I том 24. (1952) К. Картеодори (ред.) Орелл Фуэссли, Цюрих. Отсканированная копия полного текста в Эйлеров архив, Дартмут.
15. Дж. Дж. О'Коннор и Э. Ф. Робертсон "Берлинская академия и подделка ", (2003 г.), на Архив истории математики MacTutor.
16. Герхард CI. (1898) "Über die vier Briefe von Leibniz, die Samuel König in dem Appel au public, Leide MDCCLIII, veröffentlicht hat", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften, я, 419–427.
17. Кабиц В. (1913) "Убер еине в Готе aufgefundene Abschrift des von S. König in seinem Streite mit Maupertuis und der Akademie veröffentlichten, seinerzeit für unecht erklärten Leibnizbriefes", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften, II, 632–638.
18. Р. Пенроуз (2007). Дорога к реальности. Винтажные книги. п. 474. ISBN  978-0-679-77631-4.
19. Энциклопедия физики (2-е издание), R.G. Лернер, Г.Л. Тригг, издатели VHC, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
20. Аналитическая механика, Л. Хэнд, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008 г., ISBN  978-0-521-57572-0
21. Гудман, Бернард (1993). "Действие". В Паркер, С. П. (ред.). Энциклопедия физики Макгроу-Хилла (2-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 22. ISBN  0-07-051400-3.
22. Стеле, Филип М. (1993). «Принцип наименьшего действия». В Паркер, С. П. (ред.). Энциклопедия физики Макгроу-Хилла (2-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 670. ISBN  0-07-051400-3.
23. Классическая механика, T.W.B. Киббл, European Physics Series, McGraw-Hill (Великобритания), 1973, ISBN  0-07-084018-0
24. Крис Дэвис. Холостая теория В архиве 2006-06-15 на Wayback Machine (1998)
25. Эйлер, Additamentum II (внешняя ссылка ), там же. (английский перевод )
26. Д. Дж. Струик, изд. (1969). Справочник по математике, 1200–1800 гг.. Кембридж, Массачусетс: MIT Press. стр. 406–413
27. Клайн, Моррис (1972). Математическая мысль от древних до наших дней. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-501496-0. стр. 582-589
28. Лагранж, Жозеф-Луи (1788). Mécanique Analytique. п. 226
29. У. Р. Гамильтон, "Об одном общем методе динамики", Философские труды Королевского общества Часть I (1834) с.247-308; Часть II (1835 г.) стр. 95–144. (Из коллекции Сэр Уильям Роуэн Гамильтон (1805–1865): Математические статьи под редакцией Дэвида Р. Уилкинса, Школа математики, Тринити-колледж, Дублин 2, Ирландия. (2000); также рассматривается как Об общем методе динамики )
30. G.C.J. Якоби, Vorlesungen über Dynamik, gehalten an der Universität Königsberg im Wintersemester 1842–1843. А. Клебш (редактор) (1866 г.); Реймер; Берлин. 290 страниц, доступны онлайн Uvres полный объем 8 В архиве 2007-11-22 на Wayback Machine в Gallica-Math В архиве 2008-11-23 на Wayback Machine от Gallica Bibliothèque Nationalale de France.
31. Марстон Морс (1934). "Вариационное исчисление в целом", Публикация коллоквиума Американского математического общества 18; Нью-Йорк.
32. Штельцнер, Майкл (1994). «Принципы действия и телеология». В Х. Атманспахере; Г. Дж. Даленоорт (ред.). Внутри и снаружи. Серия Спрингера в синергетике. 63. Берлин: Springer. С. 33–62. Дои:10.1007/978-3-642-48647-0_3. ISBN  978-3-642-48649-4.

внешняя ссылка

• Интерактивное объяснение принципа наименьшего действия
• Интерактивный апплет для построения траекторий по принципу наименьшего действия
• Георгиев, Георгий Йорданов (2012). «Количественная мера, механизм и аттрактор для самоорганизации в сетевых сложных системах». Самоорганизующиеся системы. Конспект лекций по информатике. 7166. С. 90–5. Дои:10.1007/978-3-642-28583-7_9. ISBN  978-3-642-28582-0. S2CID  377417.
• Георгиев, Георгий; Георгиев, Искрен (2002). «Наименьшее действие и метрика организованной системы». Открытые системы и информационная динамика. 9 (4): 371–380. arXiv:1004.3518. Дои:10.1023 / а: 1021858318296. S2CID  43644348.
• Терехович, Владислав (2018). «Метафизика принципа наименьшего действия». Исследования по истории и философии науки Часть B: Исследования по истории и философии современной физики. 62: 189–201. arXiv:1511.03429. Bibcode:2018ШПМП..62..189Т. Дои:10.1016 / j.shpsb.2017.09.004. S2CID  85528641.