Сопряженные точки - Conjugate points

В дифференциальная геометрия, сопряженные точки или же точки фокуса^[1] грубо говоря, точки, которые почти могут быть объединены однопараметрическим семейством геодезические. Например, на сфера, северный полюс и южный полюс соединены любым меридиан. Другая точка зрения состоит в том, что сопряженные точки сообщают, когда геодезические не могут минимизировать длину. Все геодезические локально минимизация длины, но, например, на сфере любая геодезическая, проходящая через северный полюс, может быть расширена до южного полюса, и, следовательно, любой геодезический сегмент, соединяющий полюса, не является (однозначно) глобально минимизация длины. Это говорит нам, что любая пара противоположных точек на стандартной двумерной сфере является сопряженными точками.^[2]

Определение

Предполагать п и q точки на Риманово многообразие, и ${\displaystyle \gamma }$ это геодезический что соединяет п и q. потом п и q находятся сопряженные точки вдоль ${\displaystyle \gamma }$ если существует ненулевой Поле Якоби вдоль ${\displaystyle \gamma }$ что исчезает в п и q.

Напомним, что любое поле Якоби можно записать как производную от геодезической вариации (см. Статью о Поля Якоби ). Следовательно, если п и q сопряжены по ${\displaystyle \gamma }$, можно построить семейство геодезических, которые начинаются в п и почти конец в q. В частности, если ${\displaystyle \gamma _{s}(t)}$ - семейство геодезических, производная которых в s в ${\displaystyle s=0}$ порождает поле Якоби J, то конечная точка вариации, а именно ${\displaystyle \gamma _{s}(1)}$, это точка q только до первого заказа в s. Следовательно, если две точки сопряжены, нет необходимости в существовании двух различных геодезических, соединяющих их.

Примеры

• На сфере ${\displaystyle S^{2}}$, противоположные точки сопряжены.
• На ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, сопряженных точек нет.
• На римановых многообразиях с неположительными секционная кривизна, сопряженных точек нет.

Смотрите также

• Вырезать локус
• Поле Якоби

Рекомендации

1. Бишоп, Ричард Л. и Криттенден, Ричард Дж. Геометрия многообразий. AMS Chelsea Publishing, 2001, стр.224-225.
2. Чигер, Эбин. Теоремы сравнения в римановой геометрии. Издательство North-Holland Publishing Company, 1975, стр. 17-18.