Разрезать геометрическое место (риманово многообразие) - Cut locus (Riemannian manifold)

В Риманова геометрия, то вырезать место точки ${ displaystyle p}$ в многообразие это примерно набор всех других точек, для которых существует несколько минимизирующих геодезические соединяя их из ${ displaystyle p}$ , но он может содержать дополнительные точки, в которых минимизирующая геодезическая уникальна при определенных обстоятельствах. В функция расстояния из п это гладкий функция за исключением точки п сам и вырезанный локус.

Определение

Зафиксируйте точку ${ displaystyle p}$ в полный Риманово многообразие ${ displaystyle (M, g)}$ , и рассмотрим касательное пространство ${ displaystyle T_ {p} M}$ . Стандартный результат: при достаточно малых ${ displaystyle v}$ в ${ displaystyle T_ {p} M}$ , кривая, определяемая Риманово экспоненциальное отображение, ${ Displaystyle гамма (т) = ехр _ {р} (ТВ)}$ за ${ displaystyle t}$ принадлежащий интервалу ${ displaystyle [0,1]}$ это минимизация геодезических, и является уникальной минимизирующей геодезической, соединяющей две конечные точки. Здесь ${ displaystyle exp _ {p}}$ обозначает экспоненциальное отображение из ${ displaystyle p}$ . В вырезать место ${ displaystyle p}$ в касательном пространстве определяется как набор всех векторов ${ displaystyle v}$ в ${ displaystyle T_ {p} M}$ такой, что ${ Displaystyle гамма (т) = ехр _ {р} (ТВ)}$ минимизирующая геодезическая для ${ Displaystyle т в [0,1]}$ но не сводится к минимуму ${ displaystyle t = 1 + epsilon}$ для любого ${ displaystyle epsilon> 0}$ . В вырезать место ${ displaystyle p}$ в ${ displaystyle M}$ определяется как изображение места разреза ${ displaystyle p}$ в касательном пространстве при экспоненциальном отображении при ${ displaystyle p}$ . Таким образом, мы можем интерпретировать локус разреза ${ displaystyle p}$ в ${ displaystyle M}$ как точки на многообразии, где геодезические, начинающиеся в ${ displaystyle p}$ перестань сводить к минимуму.

Наименьшее расстояние от п к месту отсечения находится радиус приемистости в п. На открытом шаре этого радиуса экспоненциальное отображение в точке п является диффеоморфизмом касательного пространства к многообразию, и это наибольший такой радиус. Глобальный радиус приемистости определяется как нижняя грань радиуса приемистости при п, по всем точкам многообразия.

Характеристика

Предполагать ${ displaystyle q}$ находится в разрезе ${ displaystyle p}$ в ${ displaystyle M}$ . Стандартный результат^[1] состоит в том, что либо (1) существует более одного минимизирующего геодезического соединения ${ displaystyle p}$ к ${ displaystyle q}$ , или (2) ${ displaystyle p}$ и ${ displaystyle q}$ находятся сопрягать по какой-то геодезической, которая их соединяет. Возможно выполнение и (1), и (2).

Примеры

На стандартный раунд п-сфера геометрическое место разреза точки состоит из единственной точки напротив нее (т. е. противоположная точка ). Онан бесконечно долго цилиндр, геометрическое место разреза точки состоит из прямой, противоположной точке.

Приложения

Значение годографа разреза в том, что функция расстояния от точки ${ displaystyle p}$ гладкая, за исключением места разреза ${ displaystyle p}$ и ${ displaystyle p}$ сам. В частности, имеет смысл взять градиент и Гессен функции расстояния от точки разреза и ${ displaystyle p}$ . Эта идея используется в локальная теорема сравнения лапласиана и локальная теорема сравнения Гессе. Они используются в доказательстве локальной версии Теорема топоногова, и многие другие важные теоремы римановой геометрии.

Вырезать локус подмножества

Аналогичным образом можно определить множество разрезов подмногообразия риманова многообразия в терминах его нормального экспоненциального отображения.

Смотрите также

Каустик (математика)