Кривизна в разрезе - Sectional curvature

В Риманова геометрия, то секционная кривизна один из способов описать кривизна римановых многообразий. Поперечная кривизна K(σ_п) зависит от линейного двумерного подпространства σ_п из касательное пространство в какой-то момент п коллектора. Геометрически его можно определить как Гауссова кривизна из поверхность который имеет плоскость σ_п как касательная плоскость в п, получен из геодезические которые начинаются в п в направлениях σ_п (другими словами, образ σ_п под экспоненциальная карта в п). Секционная кривизна - это вещественная функция на 2-м пространстве.Грассманиан пучок над многообразием.

Кривизна секции определяет тензор кривизны полностью.

Определение

Учитывая Риманово многообразие и два линейно независимый касательные векторы в той же точке, ты и v, мы можем определить

${\displaystyle K(u,v)={\langle R(u,v)v,u\rangle \over \langle u,u\rangle \langle v,v\rangle -\langle u,v\rangle ^{2}}}$

Здесь р это Тензор кривизны Римана, определенный здесь соглашением ${\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w.}$ Некоторые источники используют противоположное соглашение ${\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{[v,u]}w,}$ в таком случае К (и, v) должен быть определен с ${\displaystyle \langle R(u,v)u,v\rangle }$ в числителе вместо ${\displaystyle \langle R(u,v)v,u\rangle .}$

Отметим, что линейная независимость ты и v заставляет знаменатель в приведенном выше выражении быть ненулевым, так что К (и, v) четко определено. В частности, если ты и v находятся ортонормированный, то определение принимает простой вид

${\displaystyle K(u,v)=\langle R(u,v)v,u\rangle .}$

Несложно проверить, что если ${\displaystyle u,v\in T_{p}M}$ линейно независимы и покрывают одно и то же двумерное линейное подпространство ${\displaystyle T_{p}M}$ в качестве ${\displaystyle x,y\in T_{p}M}$, тогда ${\displaystyle K(u,v)=K(x,y).}$ Таким образом, можно рассматривать секционную кривизну как действительную функцию, входом которой является двумерное линейное подпространство касательного пространства.

Коллекторы постоянной секционной кривизны

Говорят, что риманово многообразие имеет «постоянную кривизну ${\displaystyle \kappa }$" если ${\displaystyle \operatorname {sec} (P)=\kappa }$ для всех двумерных линейных подпространств ${\displaystyle P\subset T_{p}M}$ и для всех ${\displaystyle p\in M.}$

В Лемма Шура заявляет, что если (М, г) - связное риманово многообразие размерности не менее трех, и если существует функция ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ такой, что ${\displaystyle \operatorname {sec} (P)=f(p)}$ для всех двумерных линейных подпространств ${\displaystyle P\subset T_{p}M}$ и для всех ${\displaystyle p\in M,}$ тогда ж должно быть постоянным и, следовательно, (М, г) имеет постоянную кривизну.

Риманово многообразие постоянной секционной кривизны называется космическая форма. Если ${\displaystyle \kappa }$ обозначает постоянное значение поперечной кривизны, то тензор кривизны можно записать как

${\displaystyle R(u,v)w=\kappa {\big (}\langle v,w\rangle u-\langle u,w\rangle v{\big )}}$

для любого ${\displaystyle u,v,w\in T_{p}M.}$

Доказательство.

Вкратце: один поляризационный аргумент дает формулу для ${\displaystyle R(u,v)v,}$ второй (эквивалентный) аргумент поляризации дает формулу для ${\displaystyle R(u,v)w+R(u,w)v,}$ а комбинация с первым тождеством Бьянки восстанавливает данную формулу для ${\displaystyle R(u,v)w.}$ Из определения секционной кривизны мы знаем, что ${\displaystyle \langle R(u,v)v,u\rangle =\kappa (|u|^{2}|v|^{2}-\langle u,v\rangle ^{2})}$ в любое время ${\displaystyle u,v}$ линейно независимы, и это легко распространяется на случай, когда ${\displaystyle u,v}$ линейно зависимы, поскольку тогда обе стороны равны нулю. Теперь при произвольном u, v, w, вычислить ${\displaystyle \langle R(u+w,v)v,u+w\rangle }$ двумя способами. Во-первых, согласно приведенной выше формуле, он равен ${\displaystyle \kappa {\Big (}|v|^{2}(|u|^{2}+|w|^{2}+2\langle u,w\rangle )-\langle u,v\rangle ^{2}-\langle w,v\rangle ^{2}-2\langle u,v\rangle \langle w,v\rangle {\Big )}.}$ Во-вторых, по полилинейности он равен ${\displaystyle \langle R(u,v)v,u\rangle +\langle R(w,v)v,w\rangle +\langle R(u,v)v,w\rangle +\langle R(w,v)v,u\rangle ,}$которое, вспоминая риманову симметрию ${\displaystyle \langle R(u,v)v,w\rangle =\langle R(w,v)v,u\rangle ,}$ можно упростить до ${\displaystyle \kappa {\Big (}|u|^{2}|v|^{2}-\langle u,v\rangle ^{2}{\Big )}+\kappa {\Big (}|w|^{2}|v|^{2}-\langle w,v\rangle ^{2}{\Big )}+2\langle R(u,v)v,w\rangle .}$ Приравнивая эти два вычисления друг к другу и отбрасывая члены, находим ${\displaystyle \langle R(u,v)v,w\rangle =\kappa {\Big (}|v|^{2}\langle u,w\rangle -\langle u,v\rangle \langle w,v\rangle {\Big )}.}$ С ш произвольно это показывает, что ${\displaystyle R(u,v)v=\kappa {\Big (}|v|^{2}u-\langle u,v\rangle v{\Big )}}$ для любого u, v. Теперь позвольте u, v, w быть произвольным и вычислить ${\displaystyle R(u,v+w)(v+w)}$ двумя способами. Во-первых, по этой новой формуле он равен ${\displaystyle \kappa {\Big (}{\big (}|v|^{2}+|w|^{2}+2\langle v,w\rangle {\big )}u-\langle u,v\rangle v-\langle u,w\rangle v-\langle u,v\rangle w-\langle u,w\rangle w{\Big )}.}$ Во-вторых, по полилинейности он равен ${\displaystyle R(u,v)v+R(u,w)w+R(u,v)w+R(u,w)v}$ что по новой формуле равно ${\displaystyle \kappa {\Big (}|v|^{2}u-\langle u,v\rangle v{\Big )}+\kappa {\Big (}|w|^{2}u-\langle u,w\rangle w{\Big )}+R(u,v)w+R(u,w)v.}$ Приравнивание этих двух вычислений друг к другу показывает ${\displaystyle R(u,v)w+R(u,w)v=\kappa {\Big (}2\langle v,w\rangle u-\langle u,w\rangle v-\langle u,v\rangle w{\Big )}.}$ Замена ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$, затем добавьте это к тождеству Бьянки ${\displaystyle R(v,u)w+R(u,w)v+R(w,v)u=0}$ получить ${\displaystyle 2R(v,u)w+R(u,w)v=\kappa {\Big (}2\langle u,w\rangle v-\langle v,w\rangle u-\langle u,v\rangle w{\Big )}.}$ Вычтем эти два уравнения, используя симметрию ${\displaystyle R(u,v)w=-R(v,u)w,}$ получить ${\displaystyle 3R(u,v)w=3\kappa {\Big (}\langle v,w\rangle u-\langle u,w\rangle v{\Big )}.}$

Поскольку любая риманова метрика параллельна относительно своей связности Леви-Чивиты, это показывает, что тензор Римана любого пространства постоянной кривизны также параллелен. Тензор Риччи тогда определяется выражением ${\displaystyle \operatorname {Ric} =(n-1)\kappa g}$ а скалярная кривизна равна ${\displaystyle n(n-1)\kappa .}$ В частности, любое пространство постоянной кривизны является эйнштейновским и имеет постоянную скалярную кривизну.

Модельные примеры

Учитывая положительное число ${\displaystyle a,}$ определять

• ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},g_{\mathbb {R} ^{n}})}$ быть стандартной римановой структурой
• ${\displaystyle (S^{n}(a),g_{S^{n}(a)})}$ быть сферой ${\displaystyle S^{n}(a)\equiv \{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:|x|=a\}}$ с ${\displaystyle g_{S^{n}(a)}}$ задается откатом стандартной римановой структуры на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ по карте включения ${\displaystyle S^{n}(a)\to \mathbb {R} ^{n+1}}$
• ${\displaystyle (H^{n}(a),g_{H^{n}(a)})}$ быть мячом ${\displaystyle H^{n}(a)\equiv \{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x|<a\}}$ с ${\displaystyle g_{H^{n}(a)}=a^{2}{\frac {(a^{2}-|x|^{2})(dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2})-(x_{1}\,dx_{1}+\cdots +x_{n}\,dx_{n})^{2}}{(a^{2}-|x|^{2})^{2}}}.}$

В обычной терминологии эти римановы многообразия называются Евклидово пространство, то n-сфера, и гиперболическое пространство. Здесь дело в том, что каждое из них представляет собой полное связное гладкое риманово многообразие постоянной кривизны. Если быть точным, риманова метрика ${\displaystyle g_{\mathbb {R} ^{n}}}$ имеет постоянную кривизну 0, риманова метрика ${\displaystyle g_{S^{n}(a)}}$ имеет постоянную кривизну ${\displaystyle a^{-2},}$ и риманова метрика ${\displaystyle g_{H^{n}(a)}}$ имеет постоянную кривизну ${\displaystyle -a^{-2}.}$

Кроме того, это «универсальные» примеры в том смысле, что если ${\displaystyle (M,g)}$ - гладкое, связное и односвязное полное риманово многообразие постоянной кривизны, то оно изометрично одному из приведенных выше примеров; конкретный пример продиктован величиной постоянной кривизны ${\displaystyle g,}$ в соответствии с постоянной кривизной приведенных выше примеров.

Если ${\displaystyle (M,g)}$ является гладким и связным полным римановым многообразием постоянной кривизны, но является нет предполагается односвязным, то рассмотрим универсальное накрывающее пространство ${\displaystyle \pi :{\widetilde {M}}\to M}$ с обратной римановой метрикой ${\displaystyle \pi ^{\ast }g.}$ С ${\displaystyle \pi }$ по топологическим принципам является накрывающим отображением, риманово многообразие ${\displaystyle ({\widetilde {M}},\pi ^{\ast }g)}$ локально изометрично ${\displaystyle (M,g)}$, а значит, это гладкое, связное и односвязное полное риманово многообразие с той же постоянной кривизной, что и ${\displaystyle g.}$ Тогда он должен быть изометрическим одним из приведенных выше модельных примеров. Обратите внимание, что преобразования колоды универсальной крышки изометрии относительно метрики ${\displaystyle \pi ^{\ast }g.}$

Изучение римановых многообразий постоянной отрицательной кривизны, названных гиперболическая геометрия, заслуживает особого внимания, поскольку демонстрирует много примечательных явлений.

Масштабирование

Позволять ${\displaystyle (M,g)}$ - гладкое многообразие, и пусть ${\displaystyle \lambda }$ быть положительным числом. Рассмотрим риманово многообразие ${\displaystyle (M,\lambda g).}$ Тензор кривизны как полилинейное отображение ${\displaystyle T_{p}M\times T_{p}M\times T_{p}M\to T_{p}M,}$ не изменяется данной модификацией. Позволять ${\displaystyle v,w}$ быть линейно независимыми векторами в ${\displaystyle T_{p}M}$. потом

${\displaystyle K_{\lambda g}(v,w)={\frac {\lambda g(R^{\lambda g}(v,w)w,v)}{|v|_{\lambda g}^{2}|w|_{\lambda g}^{2}-\langle v,w\rangle _{\lambda g}^{2}}}={\frac {1}{\lambda }}{\frac {g(R^{g}(v,w)w,v)}{|v|_{g}^{2}|w|_{g}^{2}-\langle v,w\rangle _{g}^{2}}}={\frac {1}{\lambda }}K_{g}(v,w).}$

Итак, умножение метрики на ${\displaystyle \lambda }$ умножает все изгибы секций на ${\displaystyle \lambda ^{-1}.}$

Теорема топоногова

Теорема топоногова дает характеристику кривизны в разрезе с точки зрения того, как выглядят «толстые» геодезические треугольники по сравнению с их евклидовыми аналогами. Основная интуиция заключается в том, что если пространство изогнуто положительно, то край треугольника, противоположный некоторой заданной вершине, будет иметь тенденцию отклоняться от этой вершины, тогда как если пространство изогнуто отрицательно, тогда противоположный край треугольника будет стремиться к наклонитесь к вершине.

Точнее, пусть M быть полный Риманово многообразие, и пусть xyz быть геодезическим треугольником в M (треугольник, каждая из сторон которого является геодезической минимальной длины). Наконец, пусть м быть серединой геодезической ху. Если M имеет неотрицательную кривизну, то для всех достаточно малых треугольников

${\displaystyle d(z,m)^{2}\geq {\tfrac {1}{2}}d(z,x)^{2}+{\tfrac {1}{2}}d(z,y)^{2}-{\tfrac {1}{4}}d(x,y)^{2}}$

куда d это функция расстояния на M. Случай равенства имеет место именно тогда, когда кривизна M обращается в нуль, а правая часть представляет собой расстояние от вершины до противоположной стороны геодезического треугольника в евклидовом пространстве, имеющего те же длины сторон, что и треугольник xyz. Это уточняет смысл, в котором треугольники «толще» в положительно искривленных пространствах. В пространствах с неположительной кривизной неравенство имеет обратный характер:

${\displaystyle d(z,m)^{2}\leq {\tfrac {1}{2}}d(z,x)^{2}+{\tfrac {1}{2}}d(z,y)^{2}-{\tfrac {1}{4}}d(x,y)^{2}.}$

Если известны более точные оценки секционной кривизны, то это свойство обобщается, давая теорема сравнения между геодезическими треугольниками в M и те, которые находятся в подходящем односвязном пространстве; видеть Теорема топоногова. Простые следствия изложенной здесь версии:

• Полное риманово многообразие имеет неотрицательную секционную кривизну тогда и только тогда, когда функция ${\displaystyle f_{p}(x)=\operatorname {dist} ^{2}(p,x)}$ 1-вогнутый по всем пунктам п.
• Полное односвязное риманово многообразие имеет неположительную секционную кривизну тогда и только тогда, когда функция ${\displaystyle f_{p}(x)=\operatorname {dist} ^{2}(p,x)}$ 1-выпуклый.

Многообразия неположительной секционной кривизны

В 1928 г. Эли Картан доказал Теорема Картана – Адамара.: если M это полный многообразия неположительной секционной кривизны, то его универсальный чехол является диффеоморфный к Евклидово пространство. В частности, это асферический: the гомотопические группы ${\displaystyle \pi _{i}(M)}$ за я ≥ 2 тривиальны. Следовательно, топологическая структура полного многообразия неположительной кривизны определяется его фундаментальная группа. Теорема Прейсмана ограничивает фундаментальную группу компактных многообразий с отрицательной кривизной. В Гипотеза Картана – Адамара заявляет, что классический изопериметрическое неравенство должно выполняться во всех односвязных пространствах неположительной кривизны, которые называются Многообразия Картана-Адамара.

Многообразия с положительной секционной кривизной

Мало что известно о структуре многообразий положительной кривизны. В теорема души (Cheeger & Gromoll 1972 г.; Громоль и Мейер 1969 ) следует, что полное некомпактное многообразие неотрицательной кривизны диффеоморфно нормальному расслоению над компактным многообразием неотрицательной кривизны. Что касается компактных многообразий положительной кривизны, есть два классических результата:

• Это следует из Теорема Майерса что фундаментальная группа такого многообразия конечна.
• Это следует из Теорема Синжа что фундаментальная группа такого многообразия в четных измерениях равна 0, если ориентируема и ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ иначе. В нечетных размерах многообразие положительной кривизны всегда ориентируемо.

Более того, примеров компактных многообразий положительной кривизны относительно мало, что оставляет много домыслов (например, Гипотеза Хопфа от того, существует ли метрика положительной секционной кривизны на ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{2}}$). Наиболее типичным способом построения новых примеров является следующее следствие из формул кривизны О'Нила: если ${\displaystyle (M,g)}$ является римановым многообразием, допускающим свободное изометрическое действие группы Ли G, а M имеет положительную секционную кривизну на всех 2-плоскостях, ортогональных орбитам группы G, то многообразие ${\displaystyle M/G}$ с факторметрикой имеет положительную секционную кривизну. Этот факт позволяет строить классические пространства положительной кривизны, являющиеся сферами и проективными пространствами, а также эти примеры (Циллер 2007 ):

• Пространства Бергера ${\displaystyle B^{7}=SO(5)/SO(3)}$ и ${\displaystyle B^{13}=SU(5)/\operatorname {Sp} (2)\cdot \mathbb {S} ^{1}}$.
• Пространства Уоллаха (или однородные многообразия флагов): ${\displaystyle W^{6}=SU(3)/T^{2}}$, ${\displaystyle W^{12}=\operatorname {Sp} (3)/\operatorname {Sp} (1)^{3}}$ и ${\displaystyle W^{24}=F_{4}/\operatorname {Spin} (8)}$.
• Пространства Алоффа – Валлаха. ${\displaystyle W_{p,q}^{7}=SU(3)/\operatorname {diag} (z^{p},z^{q},{\overline {z}}^{p+q})}$.
• Пространства Эшенбурга ${\displaystyle E_{k,l}=\operatorname {diag} (z^{k_{1}},z^{k_{2}},z^{k_{3}})\backslash SU(3)/\operatorname {diag} (z^{l_{1}},z^{l_{2}},z^{l_{3}})^{-1}.}$
• Пространства Базайкина ${\displaystyle B_{p}^{13}=\operatorname {diag} (z_{1}^{p_{1}},\dots ,z_{1}^{p_{5}})\backslash U(5)/\operatorname {diag} (z_{2}A,1)^{-1}}$, куда ${\displaystyle A\in \operatorname {Sp} (2)\subset SU(4)}$.

Многообразия с неотрицательной секционной кривизной

Чигер и Громолл доказали свою теорему души, согласно которой любое полное некомпактное многообразие неотрицательной кривизны ${\displaystyle M}$ имеет вполне выпуклое компактное подмногообразие ${\displaystyle S}$ такой, что ${\displaystyle M}$ диффеоморфно нормальному расслоению ${\displaystyle S}$. Такой ${\displaystyle S}$ называется душой ${\displaystyle M}$В частности, из этой теоремы следует, что ${\displaystyle M}$ гомотопичен своей душе ${\displaystyle S}$ который имеет размерность меньше, чем ${\displaystyle M}$.

Коллекторы с почти плоской кривизной

Многообразия почти неотрицательной кривизны

Рекомендации

• Чигер, Джефф; Громоль, Детлеф (1972), "О структуре полных многообразий неотрицательной кривизны", Анналы математики, Вторая серия, Анналы математики, 96 (3): 413–443, Дои:10.2307/1970819, JSTOR  1970819, МИСТЕР  0309010.
• Громоль, Детлеф; Мейер, Вольфганг (1969), «О полных открытых многообразиях положительной кривизны», Анналы математики, Вторая серия, Анналы математики, 90 (1): 75–90, Дои:10.2307/1970682, JSTOR  1970682, МИСТЕР  0247590.
• Милнор, Джон Уиллард (1963), Теория МорсаПо материалам лекций М. Спивака и Р. Уэллса. Анналы математических исследований, № 51, Princeton University Press, МИСТЕР  0163331.
• Петерсен, Питер (2006), Риманова геометрия, Тексты для выпускников по математике, 171 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-29246-5, МИСТЕР  2243772.
• Циллер, Вольфганг (2007). «Примеры многообразий с неотрицательной секционной кривизной». arXiv:математика / 0701389..

Смотрите также

• Тензор кривизны Римана
• Кривизна римановых многообразий
• Кривизна