Асферическое пространство - Aspherical space

В топология, раздел математики, асферическое пространство это топологическое пространство со всем гомотопические группы ${displaystyle pi _ {n} (X)}$ равно 0, когда ${displaystyle n> 1}$ .

Если работать с Комплексы CW, можно переформулировать это условие: асферический комплекс CW - это комплекс CW, у которого универсальный чехол является стягиваемый. Действительно, стягиваемость универсального покрытия одинакова, по Теорема Уайтхеда, как его асферичность. И это приложение точная последовательность расслоения что высшие гомотопические группы пространства и его универсальное покрытие совпадают. (По тому же аргументу, если E это связное пространство и ${displaystyle pcolon E o B}$ есть ли карта покрытия, тогда E асферично тогда и только тогда, когда B асферический.)

Каждое асферическое пространство Икс по определению Пространство Эйленберга – Маклейна типа ${displaystyle K (G, 1)}$ , куда ${displaystyle G = pi _ {1} (X)}$ это фундаментальная группа из Икс. Также прямо из определения асферическое пространство - это классификация пространства для своей фундаментальной группы (считающейся топологическая группа когда наделен дискретная топология ).

Примеры

Используя второе из приведенных выше определений, легко убедиться, что все ориентируемые компактные поверхности рода больше 0 являются асферическими (поскольку они имеют либо евклидову плоскость, либо гиперболическую плоскость в качестве универсального покрытия).
Отсюда следует, что все неориентируемые поверхности, кроме действительной проективная плоскость, также являются асферическими, так как могут быть покрыты ориентируемой поверхностью рода 1 и выше.
Аналогично товар любого количества круги асферический. Как и любое полное плоское риманово многообразие.
Любой гиперболическое 3-многообразие по определению покрывается трехмерным гиперболическим пространством ЧАС³, следовательно, асферический. Как и любой п-многообразие, универсальное накрывающее пространство которого гиперболично. п-Космос ЧАС^п.
Позволять Икс = грамм/K быть Риманово симметрическое пространство отрицательного типа, и Γ быть решетка в грамм что свободно действует на Икс. Тогда локально симметричное пространство ${displaystyle Gamma ackslash G / K}$ асферический.
В Здание Брюа – Титса простого алгебраическая группа над полем с дискретная оценка асферический.
Дополнение морской узел в S³ асферический, теорема о сфере
Метрические пространства неположительной кривизны в смысле Александр Дмитриевич Александров (на месте CAT (0) пробелы ) асферические. В случае Римановы многообразия, это следует из Теорема Картана – Адамара., который был обобщен на геодезические метрические пространства к Михаил Громов и Вернер Баллманн. Этот класс асферических пространств включает в себя все приведенные ранее примеры.
Любой нильмногообразие асферический.

Симплектически асферические многообразия

В контексте симплектические многообразия, значение слова «асферический» немного другое. В частности, мы говорим, что симплектическое многообразие (M, ω) симплектически асферично тогда и только тогда, когда

{displaystyle int _ {S ^ {2}} f ^ {*} omega = langle c_ {1} (TM), f _ {*} [S ^ {2}] angle = 0}

для каждого непрерывного отображения

{displaystyle fcolon S ^ {2} o M,}

куда ${displaystyle c_ {1} (TM)}$ обозначает первый Черн класс из почти сложная структура который совместим с ω.

К Теорема Стокса, мы видим, что симплектические многообразия, являющиеся асферическими, также являются симплектически асферическими многообразиями. Однако существуют симплектически асферические многообразия, которые не являются асферическими пространствами.^[1]

Некоторые ссылки^[2] отказаться от требования c₁ в их определении «симплектически асферический». Однако симплектические многообразия, удовлетворяющие только этому более слабому условию, чаще называют «слабо точными».

Смотрите также

Примечания

^ Роберт Э. Гомпф, Симплектически асферические многообразия с нетривиальным π₂, Математика. Res. Lett. 5 (1998), нет. 5, 599–603. МИСТЕР 1666848
^ Ярек Кедра, Юлий Рудяк, и Алексей Тралле, Симплектически асферические многообразия, J. Теория неподвижной точки Appl. 3 (2008), нет. 1, 1–21. МИСТЕР2402905

внешняя ссылка

Асферические коллекторы на Manifold Atlas.

[1] Роберт Э. Гомпф, Симплектически асферические многообразия с нетривиальным π₂, Математика. Res. Lett. 5 (1998), нет. 5, 599–603. МИСТЕР 1666848

[2] Ярек Кедра, Юлий Рудяк, и Алексей Тралле, Симплектически асферические многообразия, J. Теория неподвижной точки Appl. 3 (2008), нет. 1, 1–21. МИСТЕР2402905

[1]

[2]