Ациклическое пространство - Acyclic space

В математика, ациклическое пространство это топологическое пространство Икс в котором циклы всегда являются границами, в смысле теория гомологии. Отсюда следует, что целые группы гомологий во всех измерениях Икс изоморфны соответствующим группам гомологий точки.

Другими словами, используя идею пониженная гомология,

${displaystyle { ilde {H}}_{i}(X)=0,quad forall igeq 0.}$

Обычно такое пространство рассматривают как пространство без «дыр», например, круг или сфера не ацикличны, а дискор, а шар - ациклический. Это условие, однако, слабее, чем требовать, чтобы каждая замкнутая петля в пространстве ограничивала диск в пространстве, все, что мы просим, ​​- это чтобы любая замкнутая петля - и ее аналог в более высоких измерениях - ограничивала нечто вроде «двумерной поверхности». Условие ацикличности на пространстве Икс подразумевает, например, для красивых пространств - скажем, симплициальные комплексы - что любая непрерывная карта Икс к кругу или к высшим сферам нуль-гомотопна.

Если пробел Икс является стягиваемый, то он также ацикличен в силу гомотопической инвариантности гомологий. Обратное, в общем, неверно. Тем не менее, если Икс ациклический CW комплекс, а если фундаментальная группа из Икс тривиально, то Икс это сжимаемое пространство, как следует из Теорема Уайтхеда и Теорема Гуревича.

Примеры

Ациклические пространства встречаются в топология, где их можно использовать для построения других, более интересных топологических пространств.

Например, если удалить одну точку из многообразие M который является сфера гомологии, получается такое пространство. В гомотопические группы ациклического пространства Икс не обращаются в нуль, вообще говоря, потому что фундаментальная группа ${displaystyle pi _{1}(X)}$ не обязательно быть тривиальным. Например, проколотый Сфера гомологии Пуанкаре ациклический, 3-мерное многообразие который не стягивается.

Это дает репертуар примеров, поскольку первая группа гомологий - это абелианизация фундаментальной группы. С каждым идеальная группа г можно связать (каноническое, терминальное) ациклическое пространство, фундаментальная группа которого является центральное расширение данной группы г.

Гомотопические группы этих ассоциированных ациклических пространств тесно связаны с Quillen с плюс строительство на классификация пространства BG.

Ациклические группы

An ациклическая группа это группа г чья классификация пространства BG ацикличен; другими словами, все его (уменьшенные) гомология группы исчезают, т. е. ${displaystyle { ilde {H}}_{i}(G;mathbf {Z} )=0}$, для всех ${displaystyle igeq 0}$. Таким образом, каждая ациклическая группа является идеальная группа, что означает, что его первая группа гомологий исчезает: ${displaystyle H_{1}(G;mathbf {Z} )=0}$, и фактически суперсовершенная группа, что означает, что первые две группы гомологии исчезают: ${displaystyle H_{1}(G;mathbf {Z} )=H_{2}(G;mathbf {Z} )=0}$. Обратное неверно: бинарная группа икосаэдра суперсовершенный (следовательно, идеальный), но не ациклический.

использованная литература

• Эммануэль Дрор, «Ациклические пространства», Топология 11 (1972), 339–348. Г-Н0315713
• Эммануэль Дрор, «Сферы гомологии», Израильский математический журнал 15 (1973), 115–129. Г-Н0328926
• А. Джон Беррик и Джонатан А. Хиллман, "Совершенные и ациклические подгруппы конечно представимых групп", Журнал Лондонского математического общества (2) 68 (2003), нет. 3, 683–698. Г-Н2009444

Смотрите также

• Асферическое пространство

внешние ссылки

• «Ациклические группы», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]