Почти комплексное многообразие - Almost complex manifold

В математика, почти комплексное многообразие это гладкое многообразие оснащен гладким линейная сложная структура на каждой касательное пространство. Каждый комплексное многообразие является почти комплексным многообразием, но существуют почти комплексные многообразия, которые не являются комплексными многообразиями. Почти сложные конструкции имеют важное применение в симплектическая геометрия.

Концепция обусловлена Чарльз Эресманн и Хайнц Хопф в 1940-е гг.

Формальное определение

Позволять M - гладкое многообразие. An почти сложная структура J на M является линейной комплексной структурой (т. е. линейная карта который квадратов равен −1) на каждом касательном пространстве многообразия, которое плавно изменяется на многообразии. Другими словами, у нас есть гладкий тензорное поле J из степень (1, 1) такой, что ${\displaystyle J^{2}=-1}$ когда рассматривается как векторный набор изоморфизм ${\displaystyle J\colon TM\to TM}$ на касательный пучок. Многообразие с почти сложной структурой называется почти комплексное многообразие.

Если M допускает почти сложную структуру, она должна быть четномерной. Это можно увидеть следующим образом. Предполагать M является п-мерный, и пусть J : TM → TM быть почти сложной структурой. Если J² = −1 тогда (дет J)² = (−1)^п. Но если M является вещественным многообразием, то Det J это действительное число - таким образом п должно быть, даже если M имеет практически сложную структуру. Можно показать, что это должно быть ориентируемый также.

Легкое упражнение в линейная алгебра показывает, что любое четномерное векторное пространство допускает линейную комплексную структуру. Следовательно, четномерное многообразие всегда допускает (1, 1)-ранговый тензор точечно (которое является просто линейным преобразованием на каждом касательном пространстве) такое, что J_п² = −1 в каждой точке п. Только когда этот локальный тензор может быть скомпонован, чтобы быть определенным глобально, точечно-линейная комплексная структура дает почти сложную структуру, которая затем определяется однозначно. Возможность такого склеивания и, следовательно, существование почти сложной структуры на многообразии M эквивалентно сокращение структурной группы касательного пучка от GL (2п, р) к GL (п, C). Таким образом, вопрос о существовании алгебраический топологический один и довольно хорошо понят.

Примеры

Для каждого целого n плоское пространство р^2п допускает почти сложную структуру. Примером такой почти сложной структуры является (1 ≤ я, j ≤ 2п): ${\displaystyle J_{ij}=-\delta _{i,j-1}}$ даже для я, ${\displaystyle J_{ij}=\delta _{i,j+1}}$ для нечетных я.

Единственный сферы которые допускают почти сложные структуры, S² и S⁶ (Борель и Серр (1953) ). Особенно, S⁴ нельзя дать почти сложную структуру (Эресманн и Хопф). В случае S², почти сложная структура происходит от честной сложной структуры на Сфера Римана. 6-сфера, S⁶, если рассматривать как множество единичных норм мнимых октонионы, наследует почти сложную структуру от умножения октонионов; вопрос о том, есть ли сложная структура известен как Проблема Хопфа, после Хайнц Хопф.^[1]

Дифференциальная топология почти комплексных многообразий

Как сложная структура в векторном пространстве V позволяет разложить V^C в V⁺ и V⁻ (в собственные подпространства из J соответствует +я и -ясоответственно), так что почти сложная структура на M позволяет разложить комплексифицированное касательное расслоение TM^C (которое является векторным расслоением комплексифицированных касательных пространств в каждой точке) на TM⁺ и TM⁻. Раздел TM⁺ называется векторное поле типа (1, 0), а сечение TM⁻ - векторное поле типа (0, 1). Таким образом J соответствует умножению на я на (1, 0) -векторных полях комплексифицированного касательного расслоения и умножение на -я на (0, 1) -векторных полях.

Так же, как мы строим дифференциальные формы снаружи внешние силы из котангенсный пучок, мы можем построить внешние степени комплексифицированного кокасательного расслоения (которое канонически изоморфно расслоению двойственных пространств комплексифицированного касательного расслоения). Почти комплексная структура индуцирует разложение каждого пространства р-формы

${\displaystyle \Omega ^{r}(M)^{\mathbf {C} }=\bigoplus _{p+q=r}\Omega ^{(p,q)}(M).\,}$

Другими словами, каждое Ω^р(M)^C допускает разложение в сумму Ω^(п, q)(M), с р = п + q.

Как и любой прямая сумма, существует каноническая проекция π_п,q из Ω^р(M)^C к Ω^(п,q). У нас также есть внешняя производная d который отображает Ω^р(M)^C к Ω^р+1(M)^C. Таким образом, мы можем использовать почти сложную структуру для уточнения действия внешней производной до форм определенного типа

${\displaystyle \partial =\pi _{p+1,q}\circ d}$

${\displaystyle {\overline {\partial }}=\pi _{p,q+1}\circ d}$

так что ${\displaystyle \partial }$ - отображение, увеличивающее голоморфную часть типа на единицу (принимает формы типа (п, q) формам типа (п+1, q)), и ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$ является отображением, увеличивающим на единицу антиголоморфную часть типа. Эти операторы называются Операторы Dolbeault.

Поскольку сумма всех прогнозов должна быть карта идентичности, заметим, что внешнюю производную можно записать

${\displaystyle d=\sum _{r+s=p+q+1}\pi _{r,s}\circ d=\partial +{\overline {\partial }}+\dots .}$

Интегрируемые почти сложные конструкции

Каждый комплексное многообразие сам является почти комплексным многообразием. В локальных голоморфных координатах ${\displaystyle z^{\mu }=x^{\mu }+iy^{\mu }}$ можно определить карты

${\displaystyle J{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}={\frac {\partial }{\partial y^{\mu }}}\qquad J{\frac {\partial }{\partial y^{\mu }}}=-{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}}$

(как при вращении π / 2 против часовой стрелки) или

${\displaystyle J{\frac {\partial }{\partial z^{\mu }}}=i{\frac {\partial }{\partial z^{\mu }}}\qquad J{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{\mu }}}=-i{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{\mu }}}.}$

Легко проверить, что эта карта определяет почти сложную структуру. Таким образом, любая комплексная структура на многообразии порождает почти комплексную структуру, которая называется «индуцированной» сложной структурой, а комплексная структура называется «совместимой с» почти комплексной структурой.

Обратный вопрос, подразумевает ли почти сложная структура существование сложной структуры, гораздо менее тривиален и в целом неверен. На произвольном почти комплексном многообразии всегда можно найти координаты, для которых почти комплексная структура принимает указанный выше канонический вид в любой заданной точке п. Однако, как правило, невозможно найти координаты так, чтобы J принимает каноническую форму в целом район из п. Такие координаты, если они существуют, называются «локальными голоморфными координатами для J». Если M допускает локальные голоморфные координаты для J вокруг каждой точки, затем эти заплатки вместе, чтобы сформировать голоморфный атлас за M придавая ему сложную структуру, которая, кроме того, J. J тогда говорят, что 'интегрируемый '. Если J индуцируется сложной структурой, затем индуцируется уникальной сложной структурой.

Для любой линейной карты А на каждом касательном пространстве M; т.е. А тензорное поле ранга (1, 1), то Тензор Нейенхейса - тензорное поле ранга (1,2), заданное формулой

${\displaystyle N_{A}(X,Y)=-A^{2}[X,Y]+A([AX,Y]+[X,AY])-[AX,AY].\,}$

или, для обычного случая почти сложной структуры А = J такой, что ${\displaystyle J^{2}=-Id}$,

${\displaystyle N_{J}(X,Y)=[X,Y]+J([JX,Y]+[X,JY])-[JX,JY].\,}$

Отдельные выражения справа зависят от выбора гладких векторных полей Икс и Y, но левая часть фактически зависит только от поточечных значений Икс и Y, вот почему N_А - тензор. Это также видно из формулы компонента

${\displaystyle -(N_{A})_{ij}^{k}=A_{i}^{m}\partial _{m}A_{j}^{k}-A_{j}^{m}\partial _{m}A_{i}^{k}-A_{m}^{k}(\partial _{i}A_{j}^{m}-\partial _{j}A_{i}^{m}).}$

Что касается Скобка Фрелихера – Нийенхейса, который обобщает скобку Ли векторных полей, тензор Нейенхейса N_А составляет лишь половину [А, А].

В Теорема Ньюлендера – Ниренберга заявляет, что почти сложная структура J интегрируема тогда и только тогда, когда N_J = 0. Совместимая комплексная структура уникальна, как обсуждалось выше. Поскольку существование интегрируемой почти сложной структуры эквивалентно существованию сложной структуры, это иногда принимают как определение сложной структуры.

Есть несколько других критериев, которые эквивалентны обращению в нуль тензора Нейенхейса и поэтому предоставляют методы проверки интегрируемости почти сложной структуры (и фактически каждый из них можно найти в литературе):

• Скобка Ли любых двух (1, 0) -векторных полей снова имеет тип (1, 0)
• ${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$
• ${\displaystyle {\bar {\partial }}^{2}=0.}$

Любое из этих условий предполагает наличие уникальной согласованной сложной структуры.

Существование почти сложной структуры - это топологический вопрос, на который относительно легко ответить, как обсуждалось выше. С другой стороны, существование интегрируемой почти сложной структуры - гораздо более сложный аналитический вопрос. Например, до сих пор неизвестно, S⁶ допускает интегрируемую почти сложную структуру, несмотря на долгую историю совершенно непроверенных заявлений. Вопросы гладкости важны. За аналитический J, теорема Ньюлендера – Ниренберга следует из Теорема Фробениуса; за C^∞ (и менее гладко) J, требуется анализ (с более сложными методами, поскольку гипотеза регулярности ослабевает).

Совместимые тройки

Предполагать M оснащен симплектическая форма ω, а Риманова метрика грамм, и почти сложная структура J. С ω и грамм находятся невырожденный, каждое индуцирует изоморфизм расслоений TM → T * M, где первое отображение, обозначенное φ_ω, дается интерьерный продукт φ_ω(ты) = я_тыω = ω(ты, •) и другой, обозначенный φ_грамм, определяется аналогичной операцией для грамм. Поняв это, три структуры (грамм, ω, J) образуют совместимый тройной когда каждая структура может быть определена двумя другими следующим образом:

• грамм(ты, v) = ω(ты, СП)
• ω (ты, v) = грамм(Ju, v)
• J(ты) = (φ_грамм)⁻¹(φ_ω(ты)).

В каждом из этих уравнений две структуры в правой части называются совместимыми, если соответствующая конструкция дает структуру указанного типа. Например, ω и J совместимы, если и только если ω(•, J•) - риманова метрика. Комплект на M чьи секции представляют собой почти сложные структуры, совместимые с ω имеет сократимые волокна: комплексные структуры на касательных слоях, совместимые с ограничением на симплектические формы.

Используя элементарные свойства симплектической формы ω, можно показать, что совместимая почти сложная структура J является почти кэлерова структура для римановой метрики ω(ты, СП). Кроме того, если J интегрируемо, то (M, ω, J) это Кэлерово многообразие.Эти тройки относятся к 2 из 3 объектов унитарной группы.

Обобщенная почти сложная структура

Найджел Хитчин ввел понятие обобщенная почти сложная структура на коллекторе M, который был разработан в докторских диссертациях его учеников. Марко Гуальтьери и Гил Кавальканти. Обычная почти сложная структура - это выбор полумерной подпространство каждого волокна комплексообразованного касательный пучок TM. Обобщенная почти комплексная структура - это выбор полумерной изотропный подпространство каждого слоя прямая сумма комплексифицированной касательной и котангенсные пучки. В обоих случаях требуется, чтобы прямая сумма подгруппа и это комплексно сопряженный дать исходный комплект.

Почти сложная структура интегрируется в сложную структуру, если полумерное подпространство замкнуто относительно Кронштейн лжи. Обобщенная почти сложная структура интегрируется в обобщенная сложная структура если подпространство замкнуто относительно Кронштейн Куранта. Если, кроме того, это полумерное пространство является аннулятором нигде не исчезающего чистый спинор тогда M это обобщенное многообразие Калаби – Яу.

Смотрите также

• Почти кватернионное многообразие
• Черн класс
• Скобка Фрелихера – Нийенхейса
• Кэлерово многообразие
• Пуассоново многообразие
• Коллектор Риццы
• Симплектическое многообразие

Рекомендации

1. Агрикола, Илька; Баццони, Джованни; Гёрчес, Оливер; Константис, Панайотис; Ролленске, Зёнке (2018). «К истории проблемы Хопфа». Дифференциальная геометрия и ее приложения. 57: 1–9. arXiv:1708.01068.

• Ньюландер, август; Ниренберг, Луи (1957). «Комплексные аналитические координаты в почти комплексных многообразиях». Анналы математики. Вторая серия. 65 (3): 391–404. Дои:10.2307/1970051. ISSN  0003-486X. JSTOR  1970051. МИСТЕР  0088770.
• Каннас да Силва, Ана (2001). Лекции по симплектической геометрии. Springer. ISBN  3-540-42195-5. Информация о совместимых тройках, кэлеровых и эрмитовых многообразиях и т. Д.
• Уэллс, Раймонд О. (1980). Дифференциальный анализ на комплексных многообразиях.. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-90419-0. Краткий раздел, который вводит стандартный основной материал.
• Рубей, Елена (2014). Алгебраическая геометрия, краткий словарь. Берлин / Бостон: Вальтер Де Грюйтер. ISBN  978-3-11-031622-3.
• Борель, Арман; Серр, Жан-Пьер (1953). "Groupes de Lie et puissances Réduites de Steenrod". Американский журнал математики. 75 (3): 409–448. Дои:10.2307/2372495. JSTOR  2372495. МИСТЕР  0058213.