Тензорное поле - Tensor field

Не путать с Тензорное произведение полей.

В математика и физика, а тензорное поле назначает тензор к каждой точке математического пространства (обычно Евклидово пространство или же многообразие ). Тензорные поля используются в дифференциальная геометрия, алгебраическая геометрия, общая теория относительности, при анализе стресс и напряжение в материалах и во многих приложениях в области физических наук. Поскольку тензор является обобщением скаляр (чистое число, представляющее значение, например скорость) и вектор (чистое число плюс направление, например скорость), тензорное поле является обобщением скалярное поле или же векторное поле который присваивает, соответственно, скаляр или вектор каждой точке пространства.

Многие математические структуры, называемые «тензорами», являются тензорными полями. Например, Тензор кривизны Римана не тензор, как следует из названия, а тензор поле: Назван в честь Бернхард Риманн, и ставит в соответствие тензор каждой точке Риманово многообразие, что является топологическое пространство.

Геометрическое введение

Интуитивно векторное поле лучше всего визуализировать как «стрелку», прикрепленную к каждой точке региона, с переменной длиной и направлением. Одним из примеров векторного поля в искривленном пространстве является карта погоды, показывающая горизонтальную скорость ветра в каждой точке поверхности Земли.

Общая идея тензорного поля сочетает в себе требования более богатой геометрии - например, эллипсоид варьируется от точки к точке, в случае метрический тензор - с идеей, что мы не хотим, чтобы наше представление зависело от конкретного метода отображения поверхности. Он должен существовать независимо от широты и долготы или какой-либо конкретной «картографической проекции», которую мы используем для введения числовых координат.

Через переходы координат

Следующий Схоутен (1951) и МакКоннелл (1957), концепция тензора опирается на концепцию системы отсчета (или система координат ), который может быть фиксированным (относительно некоторой фоновой системы отсчета), но в целом может иметь возможность варьироваться в пределах некоторого класса преобразований этих систем координат.^[1]

Например, координаты, принадлежащие п-размерный реальное координатное пространство ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ может подвергаться произвольному аффинные преобразования:

${\displaystyle x^{k}\mapsto A_{j}^{k}x^{j}+a^{k}}$

(с п-размерные показатели, подразумевается суммирование ). Ковариантный вектор или ковектор - это система функций ${\displaystyle v_{k}}$ которая преобразуется при этом аффинном преобразовании по правилу

${\displaystyle v_{k}\mapsto v_{i}A_{k}^{i}.}$

Список базисных векторов декартовых координат ${\displaystyle \mathbf {e} _{k}}$ преобразуется как ковектор, поскольку при аффинном преобразовании ${\displaystyle \mathbf {e} _{k}\mapsto A_{k}^{i}\mathbf {e} _{i}}$. Контравариантный вектор - это система функций ${\displaystyle v^{k}}$ координат, которые при таком аффинном преобразовании претерпевают преобразование

${\displaystyle v^{k}\mapsto (A^{-1})_{j}^{k}v^{j}.}$

Это как раз то требование, которое необходимо для того, чтобы количество ${\displaystyle v^{k}\mathbf {e} _{k}}$ - инвариантный объект, не зависящий от выбранной системы координат. В более общем смысле тензор валентности (п,q) имеет п индексы на нижнем этаже и q индексы наверху, с законом преобразования

${\displaystyle {T_{i_{1}\cdots i_{p}}}^{j_{1}\cdots j_{q}}\mapsto A_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots A_{i_{p}}^{i'_{p}}{T_{i'_{1}\cdots i'_{p}}}^{j'_{1}\cdots j'_{q}}(A^{-1})_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots (A^{-1})_{j'_{q}}^{j_{q}}.}$

Понятие тензорного поля может быть получено путем специализации разрешенных преобразований координат, чтобы они были гладкими (или дифференцируемыми, аналитическими и т.д.). Ковекторное поле - это функция ${\displaystyle v_{k}}$ координат, преобразующихся якобианом переходных функций (в данном классе). Точно так же контравариантное векторное поле ${\displaystyle v^{k}}$ преобразуется обратным якобианом.

Тензорные пучки

В векторный набор это естественная идея "векторное пространство зависящие непрерывно (или плавно) от параметров »- параметры являются точками многообразия M. Например, векторное пространство одного измерения в зависимости от угла может выглядеть как Лента Мебиуса также как и цилиндр. Учитывая векторное расслоение V над M, соответствующее понятие поля называется раздел комплекта: для м варьируется по M, выбор вектора

v_м в V_м,

куда V_м это векторное пространство "в" м.

Поскольку тензорное произведение концепция не зависит от выбора базиса, беря тензорное произведение двух векторных расслоений на M это рутина. Начиная с касательный пучок (связка касательные пространства ) весь аппарат объяснен на безкомпонентная обработка тензоров переносится обычным образом - опять же независимо от координат, как упоминалось во введении.

Таким образом, мы можем дать определение тензорное поле, а именно как раздел некоторых тензорное расслоение. (Существуют векторные расслоения, которые не являются тензорными расслоениями: например, лента Мёбиуса.) В этом случае гарантируется геометрическое содержание, поскольку все было сделано внутренним способом. Точнее, тензорное поле сопоставляет любой заданной точке многообразия тензор в пространстве

${\displaystyle V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*},}$

куда V это касательное пространство в этот момент и V^∗ это котангенс пространство. Смотрите также касательный пучок и котангенсный пучок.

Для двух тензорных расслоений E → M и F → M, линейная карта А: Γ (E) → Γ (F) из пространства сечений E в разделы F можно рассматривать как тензорную секцию ${\displaystyle \scriptstyle E^{*}\otimes F}$ если и только если он удовлетворяет А(фс,...) = fA(s, ...) в каждом аргументе, где ж является гладкой функцией на M. Таким образом, тензор - это не только линейное отображение на векторном пространстве сечений, но и C^∞(M) -линейное отображение на модуле сечений. Это свойство используется, например, для проверки того, что даже если Производная Ли и ковариантная производная не являются тензорами, кручение и тензоры кривизны построены из них.

Обозначение

Обозначения для тензорных полей иногда могут быть до степени смешения похожими на обозначения для тензорных пространств. Таким образом, касательное расслоение TM = Т(M) иногда может быть записано как

${\displaystyle T_{0}^{1}(M)=T(M)=TM}$

чтобы подчеркнуть, что касательное расслоение - это пространство значений (1,0) тензорных полей (т. е. векторных полей) на многообразии M. Это не следует путать с очень похожими обозначениями

${\displaystyle T_{0}^{1}(V)}$;

во втором случае у нас есть только одно тензорное пространство, тогда как в первом у нас есть тензорное пространство, определенное для каждой точки многообразия M.

Фигурные (скриптовые) буквы иногда используются для обозначения набора бесконечно дифференцируемый тензорные поля на M. Таким образом,

${\displaystyle {\mathcal {T}}_{n}^{m}(M)}$

- это разделы (м,п) тензорное расслоение на M бесконечно дифференцируемые. Тензорное поле является элементом этого множества.

В C^∞(M) описание модуля

Есть еще один более абстрактный (но часто полезный) способ характеристики тензорных полей на многообразии. M что превращает тензорные поля в честные тензоры (т.е. Один полилинейные отображения), хотя и другого типа (хотя это нет обычно поэтому часто говорят «тензор», когда на самом деле имеют в виду «тензорное поле»). Во-первых, мы можем рассмотреть множество всех гладких (C^∞) векторные поля на M, ${\displaystyle {\mathcal {T}}(M)}$ (см. раздел об обозначениях выше) как один пробел - a модуль над звенеть гладких функций, C^∞(M) поточечным скалярным умножением. Понятия полилинейности и тензорных произведений легко переносятся на случай модулей над любым коммутативным кольцом.

В качестве мотивирующего примера рассмотрим пространство ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{*}(M)}$ гладких ковекторных полей (1-формы ), также являющийся модулем над гладкими функциями. Они действуют на гладкие векторные поля, чтобы получить гладкие функции путем поточечного вычисления, а именно, учитывая ковекторное поле ω и векторное поле Икс, мы определяем

(ω(Икс))(п) = ω(п)(Икс(п)).

Из-за точечной природы всего происходящего действие ω на Икс это C^∞(M) -линейное отображение, т. е.

(ω(fX))(п) = ж(п) ω(п)(Икс(п)) = (fω)(п)(Икс(п))

для любого п в M и гладкая функция ж. Таким образом, мы можем рассматривать ковекторные поля не только как сечения кокасательного расслоения, но и как линейные отображения векторных полей в функции. С помощью конструкции двойного двойства векторные поля могут быть аналогичным образом выражены как отображения ковекторных полей в функции (а именно, мы могли бы начать с ковекторных полей «изначально» и работать оттуда).

В полной мере параллельно с построением обычных одиночных тензоров (не полей!) На M как полилинейные отображения векторов и ковекторов, мы можем рассматривать общие (k,л) тензорные поля на M в качестве C^∞(M) -моллинейные отображения, определенные на л копии ${\displaystyle {\mathcal {T}}(M)}$ и k копии ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{*}(M)}$ в C^∞(M).

Теперь для произвольного отображения Т из продукта k копии ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{*}(M)}$ и л копии ${\displaystyle {\mathcal {T}}(M)}$ в C^∞(M), оказывается, что она возникает из тензорного поля на M тогда и только тогда, когда это мультилинейный C^∞(M). Таким образом, этот вид полилинейности неявно выражает тот факт, что мы действительно имеем дело с точечно определенным объектом, то есть с тензорным полем, в отличие от функции, которая даже при вычислении в одной точке зависит от всех значений векторных полей. и 1-формы одновременно.

Частый пример применения этого общего правила показывает, что Леви-Чивита связь, которое является отображением гладких векторных полей ${\displaystyle (X,Y)\mapsto \nabla _{X}Y}$ преобразование пары векторных полей в векторное поле, не определяет тензорное поле на M. Это потому, что это только р-линейный в Y (вместо полного C^∞(M) -линейность, удовлетворяет Правило Лейбница, ${\displaystyle \nabla _{X}(fY)=(Xf)Y+f\nabla _{X}Y}$)). Тем не менее, следует подчеркнуть, что, хотя это не тензорное поле, оно все же квалифицируется как геометрический объект с бескомпонентной интерпретацией.

Приложения

Тензор кривизны обсуждается в дифференциальной геометрии и тензор энергии-импульса важны в физике и математике, они связаны теорией Эйнштейна общая теория относительности.

В электромагнетизме электрическое и магнитное поля объединяются в электромагнитное тензорное поле.

Стоит отметить, что дифференциальные формы, используемые при определении интегрирования на многообразиях, представляют собой разновидность тензорного поля.

Тензорное исчисление

В теоретическая физика и другие поля, дифференциальные уравнения сформулированные в терминах тензорных полей, предоставляют очень общий способ выразить отношения, которые имеют как геометрическую природу (гарантированную тензорной природой), так и условно связанные с дифференциальное исчисление. Даже для того, чтобы сформулировать такие уравнения, требуется новое понятие: ковариантная производная. Это обрабатывает формулировку вариации тензорного поля вдоль а векторное поле. Оригинал абсолютное дифференциальное исчисление понятие, которое позже было названо тензорное исчисление, привело к обособлению геометрической концепции связь.

Скручивание пучком линий

Расширение идеи тензорного поля включает дополнительный линейный пакет L на M. Если W - это тензорное произведение V с L, тогда W представляет собой пучок векторных пространств той же размерности, что и V. Это позволяет определить понятие тензорная плотность, тензорное поле «скрученного» типа. А тензорная плотность это частный случай, когда L это связка плотности на многообразии, а именно детерминантный пучок из котангенсный пучок. (Чтобы быть точным, следует также применить абсолютная величина к функции перехода - это не имеет большого значения для ориентируемое многообразие.) Для более традиционного объяснения см. тензорная плотность статья.

Одна особенность связки плотностей (снова предполагая ориентируемость) L в том, что L^s хорошо определен для действительных числовых значений s; это можно прочитать из функций перехода, которые принимают строго положительные действительные значения. Это означает, например, что мы можем взять половинная плотность, случай, когда s = ½. В общем, мы можем взять разделы W, тензорное произведение V с L^s, и рассмотрим тензорные поля плотности с весом s.

Полуплотности применяются в таких областях, как определение интегральные операторы на многообразиях и геометрическое квантование.

Плоский корпус

Когда M это Евклидово пространство и все поля считаются инвариантными переводы векторами M, мы возвращаемся к ситуации, когда тензорное поле является синонимом тензора, «сидящего в начале координат». Это не причиняет большого вреда и часто используется в приложениях. Применительно к тензорным плотностям это делает Сделать разницу. Связку плотностей нельзя серьезно определить «в точке»; и поэтому ограничение современной математической обработки тензоров состоит в том, что тензорные плотности определяются окольным образом.

Коциклы и цепные правила

В качестве расширенного объяснения тензор концепция, можно интерпретировать Правило цепи в случае многих переменных, применительно к изменениям координат, также как требование самосогласованных понятий тензора, порождающего тензорные поля.

Абстрактно мы можем идентифицировать цепное правило как 1-коцикл. Это дает согласованность, необходимую для определения касательного пучка внутренним способом. Другие векторные пучки тензоров имеют сопоставимые коциклы, которые возникают при применении функториальный свойства тензорных конструкций к самому цепному правилу; вот почему они также являются внутренними (читай, «естественными») концепциями.

То, что обычно называют «классическим» подходом к тензорам, пытается прочитать это задом наперед - и поэтому является эвристическим, постфактум подход, а не основополагающий. При определении тензоров по их преобразованию при изменении координат неявно определяется самосогласованность, которую выражает коцикл. Построение тензорных плотностей представляет собой «скручивание» на уровне коциклов. Геометры не сомневались в геометрический природа тензора количество; Этот вид спуск Аргумент абстрактно оправдывает всю теорию.

Обобщения

Тензорные плотности

Основная статья: Тензорная плотность

Понятие тензорного поля можно обобщить, рассматривая объекты, которые трансформируются по-разному. Объект, который трансформируется как обычное тензорное поле при преобразовании координат, за исключением того, что он также умножается на определитель Якобиан обратного преобразования координат к ш-я степень, называется плотностью тензора с весом ш.^[2] Неизменно на языке полилинейной алгебры тензорные плотности можно рассматривать как многолинейные карты принимая свои ценности в пучок плотности таких как (1-мерное) пространство п-формы (где п это измерение пространства), а не принимать их значения в р. Более высокие «веса» тогда просто соответствуют взятию дополнительных тензорных произведений с этим пространством в диапазоне.

Частным случаем являются скалярные плотности. Скалярные 1-плотности особенно важны, потому что имеет смысл определять их интеграл по многообразию. Они появляются, например, в Действие Эйнштейна – Гильберта в общей теории относительности. Наиболее распространенным примером скалярной 1-плотности является элемент объема, который при наличии метрического тензора грамм это квадратный корень из его детерминант в координатах, обозначенных ${\displaystyle {\sqrt {\det g}}}$. Метрический тензор - ковариантный тензор порядка 2, поэтому его детерминант масштабируется квадратом координатного перехода:

${\displaystyle \det(g')=\left(\det {\frac {\partial x}{\partial x'}}\right)^{2}\det(g)}$

что является законом преобразования для скалярной плотности веса +2.

В более общем смысле, любая тензорная плотность - это произведение обычного тензора на скалярную плотность соответствующего веса. На языке векторные пакеты, детерминантный пучок касательный пучок это линейный пакет который можно использовать для "скручивания" других пакетов ш раз. Хотя локально более общий закон преобразования действительно может быть использован для распознавания этих тензоров, возникает глобальный вопрос, отражающий то, что в законе преобразования можно записать либо детерминант Якоби, либо его абсолютное значение. Нецелые степени (положительных) переходных функций пучка плотностей имеют смысл, так что вес плотности в этом смысле не ограничивается целыми значениями. Ограничение заменой координат с положительным определителем Якоби возможно на ориентируемые многообразия, потому что существует единый глобальный способ устранения знаков минус; но в остальном линейный пучок плотностей и линейный пучок п-формы различны. Подробнее о внутреннем значении см. плотность на многообразии.

Смотрите также

• Жиклерный пучок
• Исчисление Риччи
• Спинорное поле

Примечания

1. Период, термин "аффинор "использованный в английском переводе Schouten больше не используется.
2. «Тензорная плотность», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

Рекомендации

• Франкель, Т. (2012), Геометрия физики (3-е издание), Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-1-107-60260-1.
• Паркер, C.B. (1994), Энциклопедия физики Макгроу Хилла (2-е издание), Макгроу Хилл, ISBN  0-07-051400-3.
• Lerner, R.G .; Тригг, Г.Л. (1991), Энциклопедия физики (2-е издание), VHC Publishers.
• К. Миснер, К. С. Торн, Дж. А. Уиллер (1973), Гравитация, W.H. Фриман и Ко, ISBN  0-7167-0344-0.
• МакМахон, Д. (2006), Демистифицированная теория относительности, Макгроу Хилл (США), ISBN  0-07-145545-0.
• Ламбурн [Открытый университет], R.J.A. (2010), Относительность, гравитация и космология, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-13138-4.
• Схоутен, Ян Арнольдус (1951), Тензорный анализ для физиков, Oxford University Press.
• Макконнелл, А. Дж. (1957), Приложения тензорного анализа, Dover Publications.