Геометрическое квантование - Geometric quantization

В математическая физика, геометрическое квантование математический подход к определению квантовая теория соответствующий данному классическая теория. Он пытается провести квантование, для которого есть в целом нет точного рецепта, так что некоторые аналогии между классической теорией и квантовой теорией остаются очевидными. Например, подобие уравнения Гейзенберга в Картинка Гейзенберга из квантовая механика и Уравнение Гамильтона в классической физике должны быть встроены.

Происхождение

Одна из первых попыток естественного квантования была Квантование Вейля, предложено Герман Вейль в 1927 г. Здесь делается попытка связать квантово-механическую наблюдаемую ( самосопряженный оператор на Гильбертово пространство ) с вещественной функцией на классической фазовое пространство. Положение и импульс в этом фазовом пространстве отображаются на генераторы Группа Гейзенберга, а гильбертово пространство выглядит как групповое представительство из Группа Гейзенберга. В 1946 г. Х. Дж. Гроенвольд рассмотрел произведение пары таких наблюдаемых и спросил, какой должна быть соответствующая функция на классическом фазовом пространстве.^[1] Это привело его к открытию звездный продукт фазового пространства пары функций.

Современная теория геометрического квантования была разработана Бертрам Костант и Жан-Мари Сурьо в 1970-е гг. Одной из мотиваций теории было понимание и обобщение теории Кириллова. орбитальный метод в теории представлений.

Квантование деформации

В более общем плане этот метод приводит к квантование деформации, где ★ -произведение рассматривается как деформация алгебры функций на симплектическое многообразие или же Пуассоново многообразие. Однако как естественная схема квантования (функтор) отображение Вейля не является удовлетворительным. Например, отображение Вейля классического квадрата углового момента - это не просто квантовый оператор квадрата углового момента, но также содержит постоянный член 3ħ²/ 2. (Этот дополнительный член на самом деле является физически значимым, так как он учитывает ненулевой угловой момент орбиты Бора в основном состоянии в атоме водорода.^[2]) Однако как простое изменение представления карта Вейля лежит в основе альтернативного формулировка фазового пространства обычной квантовой механики.

Геометрическое квантование

Процедура геометрического квантования делится на следующие три этапа: предварительное квантование, поляризация и метаплектическая коррекция. Предварительное квантование создает естественное гильбертово пространство вместе с процедурой квантования для наблюдаемых, которая точно преобразует скобки Пуассона на классической стороне в коммутаторы на квантовой стороне. Тем не менее, предквантовое гильбертово пространство обычно считается «слишком большим».^[3] Идея состоит в том, что затем следует выбрать коммутирующий Пуассон набор п переменные на 2п-мерное фазовое пространство и рассмотрим функции (точнее, сечения), зависящие только от них. п переменные. В п переменные могут быть либо действительными, что приводит к гильбертовому пространству позиционного стиля, либо комплексными, что дает нечто вроде Пространство Сегала – Баргмана..^[а]Поляризация - это не зависящее от координат описание такого выбора п Пуассоново-коммутирующие функции. Метаплектическая коррекция (также известная как коррекция полуформы) представляет собой техническую модификацию описанной выше процедуры, которая необходима в случае реальных поляризаций и часто удобна для сложных поляризаций.

Преквантование

Предполагать ${\displaystyle (M,\omega )}$ является симплектическим многообразием симплектической формы ${\displaystyle \omega }$. Предположим сначала, что ${\displaystyle \omega }$ является точным, что означает, что существует глобально определенный симплектический потенциал ${\displaystyle \theta }$ с ${\displaystyle d\theta =\omega }$. Мы можем рассматривать «предквантовое гильбертово пространство» квадратично интегрируемых функций на ${\displaystyle M}$ (относительно меры объема Лиувилля). Для каждой гладкой функции ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle M}$, мы можем определить предквантовый оператор Костанта – Сурьяу

${\displaystyle Q(f):=-i\hbar \left(X_{f}+{\frac {1}{i\hbar }}\theta (X_{f})\right)+f}$.

куда ${\displaystyle X_{f}}$ гамильтоново векторное поле, связанное с ${\displaystyle f}$.

В более общем плане предположим ${\displaystyle (M,\omega )}$ обладает тем свойством, что интеграл от ${\displaystyle \omega /(2\pi \hbar )}$ над любой замкнутой поверхностью - целое число. Тогда мы можем построить линейный пучок ${\displaystyle L}$ со связью, 2-форма кривизны которой ${\displaystyle \omega /\hbar }$. В этом случае предквантовое гильбертово пространство является пространством интегрируемых с квадратом сечений ${\displaystyle L}$, и заменим формулу для ${\displaystyle Q(f)}$ выше с

${\displaystyle Q(f)=-i\hbar \nabla _{X_{f}}+f}$,

с ${\displaystyle \nabla }$ связь. Предквантовые операторы удовлетворяют

${\displaystyle [Q(f),Q(g)]=i\hbar Q(\{f,g\})}$

для всех гладких функций ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$.^[4]

Построение предыдущего гильбертова пространства и операторов ${\displaystyle Q(f)}$ известен как предварительное квантование.

Поляризация

Следующим шагом в процессе геометрического квантования является выбор поляризации. Поляризация - это выбор в каждой точке ${\displaystyle M}$ лагранжево подпространство комплексифицированного касательного пространства ${\displaystyle M}$. Подпространства должны образовывать интегрируемое распределение, что означает, что коммутатор двух векторных полей, лежащих в подпространстве в каждой точке, также должен лежать в векторном поле в каждой точке. В квант (в отличие от предкванта) Гильбертово пространство - это пространство сечений ${\displaystyle L}$ ковариантно постоянные по направлению поляризации.^[5][b]Идея состоит в том, что в квантовом гильбертовом пространстве сечения должны быть функциями только ${\displaystyle n}$ переменные на ${\displaystyle 2n}$-мерное классическое фазовое пространство.

Если ${\displaystyle f}$ - функция, для которой связанный гамильтонов поток сохраняет поляризацию, то ${\displaystyle Q(f)}$ сохранит квантовое гильбертово пространство.^[6]Предположение, что поток ${\displaystyle f}$ сохранить поляризацию - сильная. Обычно этому предположению удовлетворяет не очень много функций.

Коррекция полуформы

Коррекция полуформы - также известная как метаплектическая поправка - представляет собой техническую модификацию вышеупомянутой процедуры, которая необходима в случае реальных поляризаций для получения ненулевого квантового гильбертова пространства; он также часто бывает полезен в сложных случаях. Линейный комплект ${\displaystyle L}$ заменяется тензорным произведением ${\displaystyle L}$ с квадратным корнем из канонического пучка ${\displaystyle L}$. Например, в случае вертикальной поляризации вместо рассмотрения функций ${\displaystyle f(x)}$ из ${\displaystyle x}$ которые не зависят от ${\displaystyle p}$, рассматриваются объекты вида ${\displaystyle f(x){\sqrt {dx}}}$. Формула для ${\displaystyle Q(f)}$ затем должен быть дополнен дополнительным членом производной Ли.^[7]В случае сложной поляризации на плоскости, например, поправка на половину формы позволяет квантованию гармонического осциллятора воспроизводить стандартную квантово-механическую формулу для энергий: ${\displaystyle (n+1/2)\hbar \omega }$, с "${\displaystyle +1/2}$"благодаря полуформам.^[8]

Пуассоновы многообразия

Также развито геометрическое квантование пуассоновых многообразий и симплектических слоений. Например, это случай частично интегрируемый и суперинтегрируемый Гамильтоновы системы и неавтономная механика.

Пример

В случае, когда симплектическое многообразие является 2-сфера, его можно реализовать как сопряженная орбита в ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)^{*}}$. Предполагая, что площадь сферы является целым числом, кратным ${\displaystyle 2\pi \hbar }$, мы можем выполнить геометрическое квантование, и получившееся гильбертово пространство несет неприводимое представление SU (2). В случае, если площадь сферы равна ${\displaystyle 2\pi \hbar }$, получаем двумерный спин-½ представление.

Смотрите также

• Полуформа
• Лагранжево слоение
• Метод орбиты Кириллова
• Квантование коммутирует с редукцией

Примечания

1. Видеть Зал 2013 В разделе 22.4 приведены простые примеры.
2. См. Раздел 22.4 Зал 2013 для примеров в евклидовом случае.

Цитаты

1. Groenewold 1946 С. 405–460.
2. Даль и Шлейх, 2002 г..
3. Зал 2013, Раздел 22.3.
4. Зал 2013, Теорема 23.14.
5. Зал 2013, Раздел 23.4.
6. Зал 2013, Теорема 23.24.
7. Зал 2013, Разделы 23.6 и 23.7.
8. Зал 2013, Пример 23.53.

Источники

• Бейтс, S; Вайнштейн, А. (1996). Лекции по геометрии квантования. Американское математическое общество. ISBN  978-082180798-9.
• Dahl, J .; Шлейх, В. (2002). «Представления о радиальной и угловой кинетической энергии». Физический обзор A. 65 (2). arXiv:Quant-ph / 0110134. Bibcode:2002PhRvA..65b2109D. Дои:10.1103 / PhysRevA.65.022109.
• Giachetta, G .; Mangiarotti, L .; Сарданашвили, Г. (2005). Геометрические и алгебраические топологические методы в квантовой механике. World Scientific. ISBN  981-256-129-3.
• Groenewold, H.J. (1946). «О принципах элементарной квантовой механики». Physica. 12 (7): 405–460. Bibcode:1946Phy .... 12..405G. Дои:10.1016 / S0031-8914 (46) 80059-4.
• Холл, B.C. (2013). Квантовая теория для математиков. Тексты для выпускников по математике. Том 267. Springer. ISBN  978-146147115-8.
• Конг, К. (2006). От микроквантовых систем к макроквантовым (единый формализм с правилами суперотбора и его приложения). World Scientific. ISBN  978-1-86094-625-7.
• Снятыцкий, J. (1980). Геометрическое квантование и квантовая механика. Springer. ISBN  0-387-90469-7.
• Вайсман, И. (1991). Лекции по геометрии пуассоновых многообразий. Бирхаузер. ISBN  978-3-7643-5016-1.
• Woodhouse, N.M.J. (1991). Геометрическое квантование. Кларендон Пресс. ISBN  0-19-853673-9.

внешняя ссылка

• Обзор геометрического квантования Уильяма Риттера представляет собой общую основу для всех проблем в физика и укладывает геометрическое квантование в эти рамки arXiv:math-ph / 0208008
• Обзор геометрического квантования Джона Баэза, к Джон Баэз краткий и педагогический
• Учебник Маттиаса Блау по геометрическому квантованию, один из немногих хороших праймеров (только в формате ps)
• А. Эчеверриа-Энрикес, М. Муньос-Леканда, Н. Роман-Рой, Математические основы геометрического квантования. arXiv:math-ph / 9904008.
• Г. Сарданашвили, Геометрическое квантование симплектических слоений, arXiv:математика / 0110196.