Группа Гейзенберга - Heisenberg group

В математика, то Группа Гейзенберга ${\displaystyle H}$, названный в честь Вернер Гейзенберг, это группа из 3 × 3 верхнетреугольные матрицы формы

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

под действием матричное умножение. Элементы а, б и c можно взять из любого коммутативное кольцо с самобытностью, которую часто принимают за кольцо действительные числа (что приводит к «непрерывной группе Гейзенберга») или кольцо целые числа (что приводит к «дискретной группе Гейзенберга»).

Непрерывная группа Гейзенберга возникает при описании одномерных квантово-механический систем, особенно в контексте Теорема Стоуна – фон Неймана. В более общем плане можно рассматривать группы Гейзенберга, связанные с п-мерные системы, и вообще, к любым симплектическое векторное пространство.

Трехмерный корпус

В трехмерном случае произведение двух матриц Гейзенберга имеет вид:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&a'&c'\\0&1&b'\\0&0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&a+a'&c+c'+ab'\\0&1&b+b'\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\,.}$

Как видим, группа неабелев.

Нейтральный элемент группы Гейзенберга - это единичная матрица, а обратные - как

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}1&-a&ab-c\\0&1&-b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\,.}$

Группа является подгруппой двумерной аффинной группы Aff (2): ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$ действующий на ${\displaystyle ({\vec {x}},1)}$ соответствует аффинному преобразованию ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}{\vec {x}}+{\begin{pmatrix}c\\b\end{pmatrix}}}$.

Есть несколько ярких примеров трехмерного случая.

Непрерывная группа Гейзенберга

Если а, б, в, находятся действительные числа (в ринге р) то есть непрерывная группа Гейзенберга ЧАС₃(р).

Это нильпотентный настоящий Группа Ли размерности 3.

Помимо представления в виде вещественных матриц 3x3, непрерывная группа Гейзенберга также имеет несколько различных представления с точки зрения функциональные пространства. К Теорема Стоуна – фон Неймана, существует с точностью до изоморфизма единственное неприводимое унитарное представление H, в котором его центр действует заданным нетривиальным персонаж. Это представление имеет несколько важных реализаций или моделей. в Модель Шредингера, группа Гейзенберга действует на пространстве квадратично интегрируемый функции. в тета-представление, он действует в пространстве голоморфные функции на верхняя полуплоскость; он назван так из-за его связи с тета-функции.

Дискретная группа Гейзенберга

Часть Граф Кэли дискретной группы Гейзенберга с образующими х, у, г как в тексте. (Раскраска предназначена только для наглядности.)

Если а, б, в, являются целыми числами (в кольце Z) то есть дискретная группа Гейзенберга ЧАС₃(Z). Это неабелев нильпотентная группа. Он имеет два генератора,

${\displaystyle x={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}},\ \ y={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

и отношения

${\displaystyle z_{}^{}=xyx^{-1}y^{-1},\ xz=zx,\ yz=zy}$,

куда

${\displaystyle z={\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

является генератором центр из H₃. (Обратите внимание, что обратные Икс, у, и z замените 1 над диагональю на −1.)

К Теорема Басса, у него есть полином скорость роста порядка 4.

Любой элемент можно сгенерировать через

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}=y^{b}z^{c}x^{a}\,.}$

Группа Гейзенберга по модулю нечетного простого числа п

Если взять а, б, в в Z/п Z для странного основной п, то есть Группа Гейзенберга по модулю п. Это группа порядок п³ с генераторами х, у и отношения:

${\displaystyle z_{}^{}=xyx^{-1}y^{-1},\ x^{p}=y^{p}=z^{p}=1,\ xz=zx,\ yz=zy.}$

Аналоги групп Гейзенберга над конечный поля нечетного простого порядка п называются дополнительные специальные группы, или, точнее, дополнительные специальные группы показатель степени п. В более общем плане, если производная подгруппа группы грамм содержится в центре Z из грамм, то карта из G / Z × G / Z → Z является кососимметричным билинейным оператором на абелевых группах.

Однако требуя, чтобы G / Z быть конечным векторное пространство требует Подгруппа Фраттини из грамм содержаться в центре, и требуя, чтобы Z - одномерное векторное пространство над Z/п Z требует, чтобы Z иметь порядок п, так что если грамм не абелева, то грамм особенный. Если грамм является особенным, но не имеет показателя степени п, то приведенная ниже общая конструкция применяется к симплектическому векторному пространству G / Z не дает группу, изоморфную грамм.

Группа Гейзенберга по модулю 2

Группа Гейзенберга по модулю 2 имеет порядок 8 и изоморфна группе группа диэдра D₄ (симметрии квадрата). Обратите внимание, что если

${\displaystyle x={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}},\ \ y={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$.

потом

${\displaystyle xy={\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix}},}$

и

${\displaystyle yx={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix}}.}$

Элементы Икс и у соответствуют отражениям (между ними 45 °), а ху и yx соответствуют поворотам на 90 °. Другие размышления xyx и yxy, а поворот на 180 ° равен xyxy (=yxyx).

Алгебра Гейзенберга

Алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ группы Гейзенберга ${\displaystyle H}$ (над действительными числами) известна как алгебра Гейзенберга.^[1] Он представлен в пространстве ${\displaystyle 3\times 3}$ матрицы вида^[2]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&a&b\\0&0&c\\0&0&0\\\end{pmatrix}}}$,

с ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$. Следующие три элемента составляют основу ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$:

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}};\quad Y={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\\\end{pmatrix}};\quad Z={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}}$.

Базисные элементы удовлетворяют коммутационным соотношениям:

${\displaystyle [X,Y]=Z;\quad [X,Z]=0;\quad [Y,Z]=0}$.

Название «группа Гейзенберга» мотивировано предыдущими отношениями, которые имеют ту же форму, что и канонические коммутационные соотношения в квантовой механике:

${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar I;\quad [{\hat {x}},i\hbar I]=0;\quad [{\hat {p}},i\hbar I]=0}$,

куда ${\displaystyle {\hat {x}}}$ оператор позиции, ${\displaystyle {\hat {p}}}$ - оператор импульса, а ${\displaystyle \hbar }$ - постоянная Планка.

Группа Гейзенберга ${\displaystyle H}$ обладает особым свойством, что экспоненциальное отображение взаимно однозначно и на отображение из алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ к группе ${\displaystyle H}$.^[3]

Высшие измерения

Более общие группы Гейзенберга ${\displaystyle H_{2n+1}}$ может быть определен для более высоких измерений в евклидовом пространстве, и в более общем плане на симплектические векторные пространства. Простейший общий случай - это действительная группа Гейзенберга размерности ${\displaystyle 2n+1}$, для любого целого числа ${\displaystyle n\geq 1}$. Как группа матриц, ${\displaystyle H_{2n+1}}$ (или же ${\displaystyle H_{2n+1}(\mathbb {R} )}$ чтобы указать, что это группа Гейзенберга над полем ${\displaystyle \mathbb {R} }$ действительных чисел) определяется как группа ${\displaystyle (n+2)\times (n+2)}$ матрицы с записями в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и имеющий вид:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} &c\\\mathbf {0} &I_{n}&\mathbf {b} \\0&\mathbf {0} &1\end{bmatrix}}}$

куда

а это вектор строки длины п,

б это вектор столбца длины п,

я_п это единичная матрица размера п.

Структура группы

Это действительно группа, как показывает умножение:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} &c\\0&I_{n}&\mathbf {b} \\0&0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} '&c'\\0&I_{n}&\mathbf {b} '\\0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} +\mathbf {a} '&c+c'+\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} '\\0&I_{n}&\mathbf {b} +\mathbf {b} '\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

и

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} &c\\0&I_{n}&\mathbf {b} \\0&0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-\mathbf {a} &-c+\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\0&I_{n}&-\mathbf {b} \\0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&I_{n}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Алгебра Ли

Группа Гейзенберга - это односвязный Группа Ли, чья Алгебра Ли состоит из матриц

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&\mathbf {a} &c\\0&0_{n}&\mathbf {b} \\0&0&0\end{bmatrix}},}$

куда

а вектор-строка длины п,

б вектор-столбец длины п,

0_п это нулевая матрица размера п.

Позволив e₁, ..., e_п быть канонической основой р^п, и установка

${\displaystyle p_{i}={\begin{bmatrix}0&\operatorname {e} _{i}^{\mathrm {T} }&0\\0&0_{n}&0\\0&0&0\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle q_{j}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0_{n}&\operatorname {e} _{j}\\0&0&0\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle z={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0_{n}&0\\0&0&0\end{bmatrix}},}$

связанный Алгебра Ли можно охарактеризовать канонические коммутационные соотношения,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}p_{i},q_{j}\end{bmatrix}}=\delta _{ij}z,\qquad {\begin{bmatrix}p_{i},z\end{bmatrix}}=0,\qquad {\begin{bmatrix}q_{j},z\end{bmatrix}}=0~,}$

(1)

куда п₁, ..., п_п, q₁, ..., q_п, z являются генераторами алгебры.

Особенно, z это центральный элемент алгебры Ли Гейзенберга. Отметим, что алгебра Ли группы Гейзенберга нильпотентна.

Экспоненциальная карта

Позволять

${\displaystyle u={\begin{bmatrix}0&\mathbf {a} &c\\0&0_{n}&\mathbf {b} \\0&0&0\end{bmatrix}},}$

который выполняет ${\displaystyle u^{3}=0_{n+2}}$. В экспоненциальная карта оценивает

${\displaystyle \exp(u)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}u^{k}=I_{n+2}+u+{\tfrac {1}{2}}u^{2}={\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} &c+{1 \over 2}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\0&I_{n}&\mathbf {b} \\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Экспоненциальное отображение любой нильпотентной алгебры Ли является диффеоморфизм между алгеброй Ли и единственной ассоциированной связаны, односвязный Группа Ли.

Это обсуждение (помимо утверждений, относящихся к размерности и группе Ли) применимо, если мы заменим р любым коммутативным кольцом А. Соответствующая группа обозначается ЧАС_п(А ).

При дополнительном предположении обратимости простого числа 2 в кольце А, экспоненциальное отображение также определено, поскольку оно сводится к конечной сумме и имеет вид, указанный выше (т. е. А может быть кольцо Z/п Z с нечетным простым числом п или любой поле из характеристика 0).

Теория представлений

Основная статья: Теорема Стоуна – фон Неймана

Унитарный теория представлений группы Гейзенберга довольно проста - позже обобщена Теория Макки - и было мотивацией для его внедрения в квантовую физику, как обсуждается ниже.

Для каждого ненулевого действительного числа ${\displaystyle \hbar }$, мы можем определить неприводимое унитарное представление ${\displaystyle \Pi _{\hbar }}$ из ${\displaystyle H_{2n+1}}$ действующий в гильбертовом пространстве ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ по формуле:^[4]

${\displaystyle \left[\Pi _{\hbar }{\begin{pmatrix}1&\mathbf {a} &c\\0&I_{n}&\mathbf {b} \\0&0&1\end{pmatrix}}\psi \right](x)=e^{i\hbar c}e^{ib\cdot x}\psi (x+\hbar a)}$

Это представление известно как Представление Шредингера. Мотивация для этого представления - действие возведенного в степень позиция и операторы импульса в квантовой механике. Параметр ${\displaystyle a}$ описывает переводы в пространстве позиций, параметр ${\displaystyle b}$ описывает трансляции в импульсном пространстве, а параметр ${\displaystyle c}$ дает общий фазовый коэффициент. Фазовый множитель необходим для получения группы операторов, поскольку трансляции в пространстве позиций и трансляции в импульсном пространстве не коммутируют.

Ключевой результат - это Теорема Стоуна – фон Неймана, который утверждает, что всякое (сильно непрерывное) неприводимое унитарное представление группы Гейзенберга, в котором центр действует нетривиально, эквивалентно ${\displaystyle \Pi _{\hbar }}$ для некоторых ${\displaystyle \hbar }$.^[5] В качестве альтернативы, все они эквивалентны Алгебра Вейля (или же CCR алгебра ) на симплектическом пространстве размерности 2п.

Поскольку группа Гейзенберга является одномерным центральным расширением ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$, его неприводимые унитарные представления можно рассматривать как неприводимые унитарные проективные представления из ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$. Концептуально представленное выше представление представляет собой квантово-механический аналог группы трансляционных симметрий на классическом фазовом пространстве, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$. Тот факт, что квантовая версия - это всего лишь проективный представление ${\displaystyle R^{2n}}$ предлагается уже на классическом уровне. Гамильтоновыми генераторами трансляций в фазовом пространстве являются функции положения и импульса. Оболочка этих функций не образует алгебру Ли при Скобка Пуассона однако, потому что ${\displaystyle \{x_{i},p_{j}\}=\delta _{i,j}.}$ Скорее, диапазон функций положения и импульса и константы образует алгебру Ли под скобкой Пуассона. Эта алгебра Ли является одномерным центральным расширением коммутативной алгебры Ли ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$, изоморфная алгебре Ли группы Гейзенберга.

О симплектических векторных пространствах

Общая абстракция группы Гейзенберга строится из любых симплектическое векторное пространство.^[6] Например, пусть (V, ω) - конечномерное вещественное симплектическое векторное пространство (так что ω является невырожденный кососимметричный билинейная форма на V). Группа Гейзенберга H (V) на (V, ω) (или просто V для краткости) это множество V×р наделенный групповым законом

${\displaystyle (v,t)\cdot (v',t')=\left(v+v',t+t'+{\tfrac {1}{2}}\omega (v,v')\right).}$

Группа Гейзенберга - это центральное расширение аддитивной группы V. Таким образом, есть точная последовательность

${\displaystyle 0\to \mathbf {R} \to H(V)\to V\to 0.}$

Любое симплектическое векторное пространство допускает Основа Дарбу {е_j,ж^k}_{1 ≤ j,k ≤ п} удовлетворяющий ω (е_j,ж^k) = δ_j^k и где 2п это размер V (размер V обязательно четное). В терминах этого базиса каждый вектор распадается как

${\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}.}$

В q^а и п_а находятся канонически сопряженные координаты.

Если {е_j, ж^k}_{1 ≤ j,k ≤ п} является базисом Дарбу для V, тогда пусть {E} быть основой для р, и {е_j, ж^k, E}_{1 ≤ j,k ≤ п} соответствующий базис для V×р. Вектор в H (V) тогда дается выражением

${\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}+tE}$

и групповой закон становится

${\displaystyle (p,q,t)\cdot (p',q',t')=\left(p+p',q+q',t+t'+{\frac {1}{2}}(pq'-p'q)\right).}$

Поскольку основное многообразие группы Гейзенберга является линейным пространством, векторы в алгебре Ли можно канонически отождествлять с векторами в группе. Алгебра Ли группы Гейзенберга задается коммутационным соотношением

${\displaystyle {\begin{bmatrix}(v_{1},t_{1}),(v_{2},t_{2})\end{bmatrix}}=\omega (v_{1},v_{2})}$

или написано в терминах базиса Дарбу

${\displaystyle [\mathbf {e} _{a},\mathbf {f} ^{b}]=\delta _{a}^{b}}$

а все остальные коммутаторы исчезают.

Также возможно определить групповой закон другим способом, но который дает группу, изоморфную группе, которую мы только что определили. Чтобы избежать путаницы, мы будем использовать ты вместо т, поэтому вектор задается

${\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}+uE}$

и групповой закон

${\displaystyle (p,q,u)\cdot (p',q',u')=(p+p',q+q',u+u'+pq').}$

Элемент группы

${\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}+uE}$

затем можно представить в виде матрицы

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&p&u\\0&I_{n}&q\\0&0&1\end{bmatrix}}}$ ,

что дает верным матричное представление из H (V). В ты в этой формулировке относится к т в нашей предыдущей формулировке ${\displaystyle u=t+{\tfrac {1}{2}}pq}$, таким образом т ценность продукта составляет

${\displaystyle u+u'+pq'-{\tfrac {1}{2}}(p+p')(q+q')}$

${\displaystyle =t+{\tfrac {1}{2}}pq+t'+{\tfrac {1}{2}}p'q'+pq'-{\tfrac {1}{2}}(p+p')(q+q')}$

${\displaystyle =t+t'+{\tfrac {1}{2}}(pq'-p'q)}$ ,

как прежде.

Изоморфизм к группе с использованием верхнетреугольных матриц основан на разложении V в базис Дарбу, что сводится к выбору изоморфизма V ≅ U ⊕ U*. Хотя новый групповой закон дает группу, изоморфную указанной выше, группу с этим законом иногда называют группой поляризованная группа Гейзенберга напомним, что этот групповой закон основан на выборе базиса (выборе лагранжевого подпространства V это поляризация ).

Для любой алгебры Ли существует единственное связаны, односвязный Группа Ли грамм. Все остальные связные группы Ли с той же алгеброй Ли, что и грамм имеют форму грамм/N куда N является центральной дискретной группой в грамм. В этом случае центр H (V) является р и единственные дискретные подгруппы изоморфны Z. Таким образом, H (V)/Z является другой группой Ли, которая разделяет эту алгебру Ли. Следует отметить, что эта группа Ли не допускает точных конечномерных представлений; она не изоморфна какой-либо матричной группе. Однако у него есть хорошо известное семейство бесконечномерных унитарных представлений.

Связь с алгеброй Вейля

Основная статья: Алгебра Вейля

Алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{n}}$ группы Гейзенберга была описана выше (1) как алгебра Ли матриц. В Теорема Пуанкаре – Биркгофа – Витта. применяется для определения универсальная обертывающая алгебра ${\displaystyle U({\mathfrak {h}}_{n})}$. Среди прочих свойств универсальная обертывающая алгебра является ассоциативная алгебра в котором ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{n}}$ инъективно впитывается.

Таким образом, по теореме Пуанкаре – Биркгофа – Витта это свободное векторное пространство порожденные одночленами

${\displaystyle z^{j}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{n}^{k_{n}}q_{1}^{\ell _{1}}q_{2}^{\ell _{2}}\cdots q_{n}^{\ell _{n}}~,}$

где все показатели неотрицательны.

Как следствие, ${\displaystyle U({\mathfrak {h}}_{n})}$ состоит из действительных многочленов

${\displaystyle \sum _{j,{\vec {k}},{\vec {\ell }}}c_{j{\vec {k}}{\vec {\ell }}}\,\,z^{j}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{n}^{k_{n}}q_{1}^{\ell _{1}}q_{2}^{\ell _{2}}\cdots q_{n}^{\ell _{n}}~,}$

с коммутационными соотношениями

${\displaystyle p_{k}p_{\ell }=p_{\ell }p_{k},\quad q_{k}q_{\ell }=q_{\ell }q_{k},\quad p_{k}q_{\ell }-q_{\ell }p_{k}=\delta _{k\ell }z,\quad zp_{k}-p_{k}z=0,\quad zq_{k}-q_{k}z=0~.}$

Алгебра ${\displaystyle U({\mathfrak {h}}_{n})}$ тесно связана с алгеброй дифференциальных операторов на ℝ^п с полиномиальными коэффициентами, поскольку любой такой оператор имеет единственное представление в виде

${\displaystyle P=\sum _{{\vec {k}},{\vec {\ell }}}c_{{\vec {k}}{\vec {\ell }}}\,\,\partial _{x_{1}}^{k_{1}}\partial _{x_{2}}^{k_{2}}\cdots \partial _{x_{n}}^{k_{n}}x_{1}^{\ell _{1}}x_{2}^{\ell _{2}}\cdots x_{n}^{\ell _{n}}~.}$

Эта алгебра называется Алгебра Вейля. Это следует из абстрактная чушь что Алгебра Вейля W_п является частным от ${\displaystyle U({\mathfrak {h}}_{n})}$. Однако это также легко увидеть непосредственно из представленных выше изображений; а именно отображением

${\displaystyle z^{j}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{n}^{k_{n}}q_{1}^{\ell _{1}}q_{2}^{\ell _{2}}\cdots q_{n}^{\ell _{n}}\,\mapsto \,\partial _{x_{1}}^{k_{1}}\partial _{x_{2}}^{k_{2}}\cdots \partial _{x_{n}}^{k_{n}}x_{1}^{\ell _{1}}x_{2}^{\ell _{2}}\cdots x_{n}^{\ell _{n}}~.}$

Приложения

Параметризация квантовой механики Вейля

Основная статья: Преобразование Вигнера – Вейля

Приложение, которое привело Герман Вейль к явной реализации группы Гейзенберга был вопрос, почему Картина Шредингера и Картинка Гейзенберга физически эквивалентны. Абстрактно причина кроется в Теорема Стоуна – фон Неймана: есть уникальный унитарное представительство с заданным действием центрального элемента алгебры Ли z, с точностью до унитарной эквивалентности: все нетривиальные элементы алгебры эквивалентны обычным операторам положения и импульса.

Таким образом, картина Шредингера и картина Гейзенберга эквивалентны - это просто разные способы реализации этого по существу уникального представления.

Тета-представление

Основная статья: тета-представление

Тот же результат уникальности был использован Дэвид Мамфорд для дискретных групп Гейзенберга в своей теории уравнения, определяющие абелевы многообразия. Это большое обобщение подхода, использованного в Эллиптические функции Якоби, которая является случаем группы Гейзенберга по модулю 2, порядка 8. Простейшим случаем является тета-представление группы Гейзенберга, дискретный случай которой дает тета-функция.

Анализ Фурье

Группа Гейзенберга также встречается в Анализ Фурье, где он используется в некоторых составах Теорема Стоуна – фон Неймана. В этом случае можно понимать, что группа Гейзенберга действует на пространстве квадратично интегрируемый функции; результатом является представление групп Гейзенберга, иногда называемое представлением Вейля.

Как субриманово многообразие

Трехмерная группа Гейзенберга ЧАС₃(р) на вещественных числах также можно понимать как гладкую многообразие и, в частности, простой пример субриманово многообразие.^[7] Учитывая точку п=(Икс,у,z) в р³, определим дифференциал 1-форма Θ в этот момент как

${\displaystyle \Theta _{p}=dz-{\frac {1}{2}}\left(xdy-ydx\right).}$

Этот однотипный принадлежит к котангенсный пучок из р³; то есть,

${\displaystyle \Theta _{p}:T_{p}\mathbf {R} ^{3}\to \mathbf {R} }$

это карта на касательный пучок. Позволять

${\displaystyle H_{p}=\{v\in T_{p}\mathbf {R} ^{3}\mid \Theta _{p}(v)=0\}.}$

Видно, что ЧАС это подгруппа касательного расслоения Tр³. А кометрический на ЧАС задается путем проецирования векторов на двумерное пространство, натянутое на векторы в Икс и у направление. То есть при заданных векторах ${\displaystyle v=(v_{1},v_{2},v_{3})}$ и ${\displaystyle w=(w_{1},w_{2},w_{3})}$ в Tр³, внутренний продукт определяется выражением

${\displaystyle \langle v,w\rangle =v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}.}$

Полученная структура превращается ЧАС в многообразие группы Гейзенберга. Ортонормированный репер на многообразии задается формулой Ли векторные поля

${\displaystyle X={\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {1}{2}}y{\frac {\partial }{\partial z}},}$

${\displaystyle Y={\frac {\partial }{\partial y}}+{\frac {1}{2}}x{\frac {\partial }{\partial z}},}$

${\displaystyle Z={\frac {\partial }{\partial z}},}$

которые подчиняются отношениям [Икс,Y]=Z и [Икс,Z]=[Y,Z] = 0. Будучи векторными полями Ли, они образуют левоинвариантный базис для действия группы. В геодезические на многообразии спирали, переходящие в окружности в двух измерениях. То есть, если

${\displaystyle \gamma (t)=(x(t),y(t),z(t))}$

является геодезической кривой, то кривая ${\displaystyle c(t)=(x(t),y(t))}$ представляет собой дугу окружности, а

${\displaystyle z(t)={\frac {1}{2}}\int _{c}xdy-ydx}$

с интегралом, ограниченным двумерной плоскостью. То есть высота кривой пропорциональна площади круга, ограниченного дуга окружности, за которым следует Теорема Стокса.

Группа Гейзенберга локально компактной абелевой группы

В более общем случае можно определить группу Гейзенберга локально компактная абелева группа K, оборудованный Мера Хаара.^[8] Такая группа имеет Понтрягин дуальный ${\displaystyle {\hat {K}}}$, состоящий из всех непрерывных ${\displaystyle U(1)}$-значные символы на K, которая также является локально компактной абелевой группой, если наделена компактно-открытая топология. Группа Гейзенберга, ассоциированная с локально компактной абелевой группой K является подгруппой унитарной группы ${\displaystyle L^{2}(K)}$ сгенерировано переводами из K и умножения на элементы ${\displaystyle {\hat {K}}}$.

Более подробно Гильбертово пространство ${\displaystyle L^{2}(K)}$ состоит из квадратично интегрируемых комплекснозначных функций ${\displaystyle f}$ на K. Переводы в K сформировать унитарное представительство из K как операторы на ${\displaystyle L^{2}(K)}$:

${\displaystyle (T_{x}f)(y)=f(x+y)}$

за ${\displaystyle x,y\in K}$. То же самое и с умножением на символы:

${\displaystyle (M_{\chi }f)(y)=\chi (y)f(y)}$

за ${\displaystyle \chi \in {\hat {K}}}$. Эти операторы не коммутируют, а вместо этого удовлетворяют

${\displaystyle (T_{x}M_{\chi }T_{x}^{-1}M_{\chi }^{-1}f)(y)={\overline {\chi (x)}}f(y)}$

умножение на фиксированное комплексное число единичного модуля.

Итак, группа Гейзенберга ${\displaystyle H(K)}$ связана с K это тип центральное расширение из ${\displaystyle K\times {\hat {K}}}$, через точную последовательность групп:

${\displaystyle 1\to U(1)\to H(K)\to K\times {\hat {K}}\to 0.}$

Более общие группы Гейзенберга описываются 2-коцилами в группа когомологий ${\displaystyle H^{2}(K,U(1))}$. Существование двойственности между ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle {\hat {K}}}$ дает начало каноническому коциклу, но обычно бывают и другие.

Группа Гейзенберга действует неприводимо на ${\displaystyle L^{2}(K)}$. Действительно, непрерывные символы разделяют точки^[9] так что любой унитарный оператор ${\displaystyle L^{2}(K)}$ что ездит с ними ${\displaystyle L^{\infty }}$ множитель. Но переключение с переводами подразумевает, что множитель постоянен.^[10]

Версия Теорема Стоуна – фон Неймана, доказано Джордж Макки, выполняется для группы Гейзенберга ${\displaystyle H(K)}$.^[11][12] В преобразование Фурье является уникальным спутником между представлениями ${\displaystyle L^{2}(K)}$ и ${\displaystyle L^{2}({\hat {K}})}$. См. Обсуждение на Теорема Стоуна – фон Неймана # Связь с преобразованием Фурье для подробностей.

Смотрите также

• Канонические коммутационные соотношения
• Преобразование Вигнера – Вейля
• Теорема Стоуна – фон Неймана
• Проективное представление

Примечания

1. Войт, Питер. Разделы теории представлений: алгебра Гейзенберга (PDF).
2. Зал 2015 Предложение 3.26.
3. Зал 2015 Глава 2, Упражнение 9
4. Зал 2013 Предложение 14.7
5. Зал 2013 Теорема 14.8.
6. Ганс Тилгнер "Класс разрешимых групп Ли и их связь с каноническим формализмом В архиве 2011-06-05 на Wayback Machine ", Annales de l'institut Henri Poincaré (A) Physique théorique, 13 нет. 2 (1970), стр. 103-127.
7. Ричард Монтгомери, Экскурсия по субримановым геометриям, их геодезическим и приложениям (Математические обзоры и монографии, том 91), (2002) Американское математическое общество, ISBN  0-8218-1391-9.
8. Дэвид Мамфорд (1991), "Лекции Тата о тэте III", Успехи в математике, Бирхаузер, 97
9. Карл Генрих Хофманн, Сидней А. Моррис (2006), Структура компактных групп: учебник для студентов, пособие для специалиста., Де Грюйтер изучает математику 25, (2-е изд. Изд.), Вальтер де Грюйтер, ISBN  9783110190069
10. Этот аргумент появляется в несколько ином контексте в Роджер Хоу (1980), «О роли группы Гейзенберга в гармоническом анализе», Бюллетень Американского математического общества, 3 (2): 821–844, Дои:10.1090 / S0273-0979-1980-14825-9, МИСТЕР  0578375
11. Джордж Макки (1949), "Об одной теореме Стоуна и фон Неймана", Математический журнал герцога, 16 (2): 313–326, Дои:10.1215 / s0012-7094-49-01631-2
12. Прасад (2009 г.), Простое доказательство теоремы Стоуна – фон Неймана – Макки., arXiv:0912.0574, Дои:10.1016 / j.exmath.2010.06.001

Рекомендации

• Бинц, Эрнст; Стручки, Соня (2008). Геометрия групп Гейзенберга.. Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-4495-3.
• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков, Тексты для выпускников по математике, 267, Спрингер, ISBN  978-1461471158
• Холл, Брайан К. (2015). Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение. Тексты для выпускников по математике. 222 (второе изд.). Springer. ISBN  978-3319134666.
• Хау, Роджер (1980). «О роли группы Гейзенберга в гармоническом анализе». Бюллетень Американского математического общества. 3 (2): 821–843. Дои:10.1090 / s0273-0979-1980-14825-9. МИСТЕР  0578375.
• Кириллов, Александр А. (2004). "Глава 2:" Представления и орбиты группы Гейзенберга ". Лекции по методу орбиты. Американское математическое общество. ISBN  0-8218-3530-0.
• Макки, Джордж (1976). Теория представлений унитарных групп. Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета. ISBN  978-0226500522.

внешняя ссылка

• Groupprops, вики по свойствам группы Группа унитреугольных матриц UT (3, p)