Треугольная матрица - Triangular matrix

Не путать с треугольная решетка, связанная концепция.

Для колец см. кольцо с треугольной матрицей.

в математический дисциплина линейная алгебра, а треугольная матрица особый вид квадратная матрица. Квадратная матрица называется нижний треугольный если все записи над то главная диагональ равны нулю. Аналогично квадратная матрица называется верхний треугольный если все записи ниже то главная диагональ равны нулю.

Поскольку матричные уравнения с треугольными матрицами легче решать, они очень важны в численный анализ. Посредством LU разложение алгоритм, обратимая матрица может быть записано как произведение нижней треугольной матрицы L и верхнетреугольная матрица U если и только если весь его ведущий руководитель несовершеннолетние не равны нулю.

Описание

Матрица вида

${\displaystyle L={\begin{bmatrix}\ell _{1,1}&&&&0\\\ell _{2,1}&\ell _{2,2}&&&\\\ell _{3,1}&\ell _{3,2}&\ddots &&\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\\\ell _{n,1}&\ell _{n,2}&\ldots &\ell _{n,n-1}&\ell _{n,n}\end{bmatrix}}}$

называется нижняя треугольная матрица или левотреугольная матрица, и аналогично матрица вида

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}u_{1,1}&u_{1,2}&u_{1,3}&\ldots &u_{1,n}\\&u_{2,2}&u_{2,3}&\ldots &u_{2,n}\\&&\ddots &\ddots &\vdots \\&&&\ddots &u_{n-1,n}\\0&&&&u_{n,n}\end{bmatrix}}}$

называется верхнетреугольная матрица или прямоугольная матрица. Нижнюю или левую треугольную матрицу обычно обозначают переменной L, а верхняя или правая треугольная матрица обычно обозначается переменной U или р.

Матрица, которая является как верхним, так и нижним треугольником, имеет вид диагональ. Матрицы, которые аналогичный треугольным матрицам называются треугольный.

Неквадратная (а иногда и любая) матрица с нулями над (под) диагональю называется нижней (верхней) трапецеидальной матрицей. Ненулевые записи образуют форму трапеция.

Примеры

Эта матрица

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&1\\0&6&4\\0&0&1\\\end{bmatrix}}}$

верхнетреугольная, и эта матрица

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\2&8&0\\4&9&7\\\end{bmatrix}}}$

нижнетреугольная.

Прямая и обратная подстановка

Матричное уравнение в виде ${\displaystyle \mathbf {L} \mathbf {x} =\mathbf {b} }$ или ${\displaystyle \mathbf {U} \mathbf {x} =\mathbf {b} }$ очень легко решить с помощью итеративного процесса, называемого прямая замена для нижнетреугольных матриц и аналогично обратная замена для верхнетреугольных матриц. Процесс называется так потому, что для нижнетреугольных матриц сначала вычисляется ${\displaystyle x_{1}}$, затем подставляет вперед в Следующий уравнение для решения ${\displaystyle x_{2}}$, и повторяется до ${\displaystyle x_{n}}$. В верхнетреугольной матрице работает назад, первые вычисления ${\displaystyle x_{n}}$, а затем подставив назад в предыдущий уравнение для решения ${\displaystyle x_{n-1}}$, и повторяя через ${\displaystyle x_{1}}$.

Обратите внимание, что это не требует инвертирования матрицы.

Прямая замена

Матричное уравнение LИкс = б можно записать в виде системы линейных уравнений

${\displaystyle {\begin{matrix}\ell _{1,1}x_{1}&&&&&&&=&b_{1}\\\ell _{2,1}x_{1}&+&\ell _{2,2}x_{2}&&&&&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots &&\ddots &&&&\vdots \\\ell _{m,1}x_{1}&+&\ell _{m,2}x_{2}&+&\dotsb &+&\ell _{m,m}x_{m}&=&b_{m}\\\end{matrix}}}$

Отметим, что первое уравнение (${\displaystyle \ell _{1,1}x_{1}=b_{1}}$) включает только ${\displaystyle x_{1}}$, и, таким образом, можно решить для ${\displaystyle x_{1}}$ прямо. Второе уравнение включает только ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$, и, таким образом, может быть решена после замены уже решенного значения на ${\displaystyle x_{1}}$. Продолжая таким образом, ${\displaystyle k}$-е уравнение включает только ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$, и можно решить для ${\displaystyle x_{k}}$ используя ранее решенные значения для ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k-1}}$.

В результате получаются следующие формулы:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {b_{1}}{\ell _{1,1}}},\\x_{2}&={\frac {b_{2}-\ell _{2,1}x_{1}}{\ell _{2,2}}},\\&\ \ \vdots \\x_{m}&={\frac {b_{m}-\sum _{i=1}^{m-1}\ell _{m,i}x_{i}}{\ell _{m,m}}}.\end{aligned}}}$

Матричное уравнение с верхней треугольной матрицей U можно решить аналогичным образом, только работая в обратном направлении.

Приложения

Прямая замена используется в финансовых самонастройка построить кривая доходности.

Свойства

В транспонировать верхней треугольной матрицы является нижнетреугольной матрицей и наоборот.

Матрица, которая одновременно является симметричной и треугольной, диагональна. нормальный (смысл А^*А = AA^*, где А^* это сопряженный транспонировать ), а треугольник тоже диагонален. Это можно увидеть, посмотрев на диагональные записи А^*А и AA^*.

В детерминант и постоянный треугольной матрицы равняется произведению диагональных элементов, что можно проверить прямым вычислением.

На самом деле верно больше: собственные значения треугольной матрицы - это в точности ее диагональные элементы, причем каждое собственное значение встречается в точности k раз по диагонали, где k это его алгебраическая кратность, то есть его множественность как корень из характеристический многочлен ${\displaystyle p_{A}(x)=\operatorname {det} (xI-A)}$ из АДругими словами, характеристический многочлен треугольной п×п матрица А точно

${\displaystyle p_{A}(x)=(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})}$,

то есть уникальная степень п многочлен, корни которого являются диагональными элементами А (с кратностями). Чтобы увидеть это, заметьте, что ${\displaystyle xI-A}$ также треугольный и, следовательно, его определитель ${\displaystyle \operatorname {det} (xI-A)}$ это произведение его диагональных элементов ${\displaystyle (x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})}$.^[1]

Особые формы

Унитреугольная матрица

Если записи на главная диагональ (верхней или нижней) треугольной матрицы все равны 1, матрица называется (верхней или нижней) унитреугольный.

Другие названия, используемые для этих матриц: единица измерения (верхний или нижний) треугольный, или очень редко нормированный (верхний или нижний) треугольный. Однако единица измерения треугольная матрица не то же самое, что то единичная матрица, а нормированный треугольная матрица не имеет ничего общего с понятием матричная норма.

Все унитреугольные матрицы имеют вид всесильный.

Строго треугольная матрица

Если все элементы на главной диагонали (верхней или нижней) треугольной матрицы равны 0, матрица называется строго (верхний или нижний) треугольный.

Все строго треугольные матрицы нильпотентный.

Атомная треугольная матрица

Основная статья: Матрица Фробениуса

An атомный (верхний или нижний) треугольная матрица представляет собой особую форму унитреугольной матрицы, в которой все недиагональные элементы равны нулю, за исключением записей в одном столбце. Такая матрица также называется Матрица Фробениуса, а Матрица Гаусса, или Матрица преобразования Гаусса.

Возможность треугольной формы

Матрица, которая аналогичный к треугольной матрице называется треугольный. Абстрактно это эквивалентно стабилизации флаг: верхнетреугольные матрицы - это в точности те, которые сохраняют стандартный флаг, который задается стандартной упорядоченной базой ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$ и получившийся флаг ${\displaystyle 0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\right\rangle =K^{n}.}$ Все флаги сопряжены (поскольку общая линейная группа действует транзитивно на базисах), поэтому любая матрица, стабилизирующая флаг, аналогична матрице, стабилизирующей стандартный флаг.

Любая комплексная квадратная матрица треугольная.^[1] Фактически матрица А через поле содержащий все собственные значения А (например, любая матрица над алгебраически замкнутое поле ) похожа на треугольную матрицу. Это можно доказать индукцией по тому факту, что А имеет собственный вектор, взяв фактор-пространство по собственному вектору и введя индукцию, чтобы показать, что А стабилизирует флаг и, таким образом, может быть треугольным относительно основания этого флага.

Более точное заявление дает Нормальная форма Джордана теорема, которая гласит, что в этой ситуации, А похожа на верхнетреугольную матрицу очень специфической формы. Однако более простого результата триангуляризации часто бывает достаточно, и в любом случае он используется при доказательстве теоремы Жордана о нормальной форме.^[1][2]

В случае комплексных матриц можно сказать больше о треугольнике, а именно, что любая квадратная матрица А имеет Разложение Шура. Это значит, что А унитарно эквивалентно (т.е. аналогично, используя унитарная матрица как изменение базы) к верхнетреугольной матрице; это следует из эрмитовой основы флага.

Возможность одновременной треугольной формы

Смотрите также: Одновременно диагонализуемый

Набор матриц ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$ как говорят одновременно треугольный если есть основа, под которой все они верхнетреугольные; эквивалентно, если они верхнетриангулируемы с помощью одной матрицы подобия П. Такой набор матриц легче понять, рассматривая алгебру матриц, которую он порождает, а именно все многочлены из ${\displaystyle A_{i},}$ обозначенный ${\displaystyle K[A_{1},\ldots ,A_{k}].}$ Одновременная триангулизуемость означает, что эта алгебра сопряжена с подалгеброй Ли верхнетреугольных матриц и эквивалентна тому, что эта алгебра является подалгеброй Ли в алгебре Ли. Подалгебра Бореля.

Основной результат состоит в том, что (над алгебраически замкнутым полем) коммутирующие матрицы ${\displaystyle A,B}$ или в более общем смысле ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$ одновременно треугольные. Это можно доказать, сначала показав, что коммутирующие матрицы имеют общий собственный вектор, а затем проведя индукцию по размерности, как и раньше. Это было доказано Фробениусом, начиная с 1878 г. для пары, которая ездит на работу, как обсуждалось в коммутирующие матрицы. Что касается единственной матрицы, по комплексным числам они могут быть треугольными с помощью унитарных матриц.

Тот факт, что коммутирующие матрицы имеют общий собственный вектор, можно интерпретировать как результат Nullstellensatz Гильберта: коммутирующие матрицы образуют коммутативную алгебру ${\displaystyle K[A_{1},\ldots ,A_{k}]}$ над ${\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{k}]}$ что можно интерпретировать как разнообразие в k-мерное аффинное пространство, и существование (общего) собственного значения (и, следовательно, общего собственного вектора) соответствует этому многообразию, имеющему точку (непустую), которая является содержанием (слабого) Nullstellensatz. В алгебраических терминах эти операторы соответствуют представление алгебры алгебры полиномов в k переменные.

Это обобщается Теорема Ли, что показывает, что любое представление разрешимая алгебра Ли одновременно является верхнетриангулируемым, причем в случае коммутирующих матриц абелева алгебра Ли случай, абелева тем более разрешима.

Точнее, набор матриц ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$ одновременно треугольным тогда и только тогда, когда матрица ${\displaystyle p(A_{1},\ldots ,A_{k})[A_{i},A_{j}]}$ является нильпотентный для всех многочленов п в k не-коммутирующие переменные, где ${\displaystyle [A_{i},A_{j}]}$ это коммутатор; для поездок ${\displaystyle A_{i}}$ коммутатор обращается в нуль, значит, это верно. Это было доказано в (Дразин, Данжи и Грюнберг 1951 ); краткое доказательство дано в (Прасолов 1994, стр. 178–179 ). Одно направление ясно: если матрицы одновременно треугольные, то ${\displaystyle [A_{i},A_{j}]}$ является строго верхний триангулируемый (следовательно, нильпотентный), который сохраняется умножением на любой ${\displaystyle A_{k}}$ или их комбинация - у него по-прежнему будут нули по диагонали в основе треугольника.

Алгебры треугольных матриц

Двоичный нижний унитреугольный Теплиц матрицы, умноженные с использованием F₂ операции. Они образуют Стол Кэли из Z₄ и соответствуют степени перестановки 4-битного кода Грея.

Верхнюю треугольность сохраняют многие операции:

• Сумма двух верхнетреугольных матриц является верхнетреугольной.
• Произведение двух верхнетреугольных матриц является верхнетреугольным.
• Матрица, обратная верхнетреугольной матрице, если существует, является верхнетреугольной.
• Произведение верхнетреугольной матрицы и скаляра является верхнетреугольным.

Вместе эти факты означают, что верхнетреугольные матрицы образуют подалгебра из ассоциативная алгебра квадратных матриц заданного размера. Кроме того, это также показывает, что верхнетреугольные матрицы можно рассматривать как подалгебру Ли Алгебра Ли квадратных матриц фиксированного размера, где Кронштейн лжи [а, б] данный коммутатор ab - ba. Алгебра Ли всех верхнетреугольных матриц является разрешимая алгебра Ли. Его часто называют Подалгебра Бореля алгебры Ли всех квадратных матриц.

Все эти результаты верны, если верхний треугольный заменяется на нижний треугольный на протяжении; в частности, нижнетреугольные матрицы также образуют алгебру Ли. Однако операции смешивания верхних и нижних треугольных матриц, как правило, не дают треугольных матриц. Например, сумма верхней и нижней треугольных матриц может быть любой матрицей; произведение нижнего треугольника на верхнюю треугольную матрицу также не обязательно треугольное.

Набор унитреугольных матриц образует Группа Ли.

Набор строго верхних (или нижних) треугольных матриц образует нильпотентная алгебра Ли, обозначенный ${\displaystyle {\mathfrak {n}}.}$ Эта алгебра - производная алгебра Ли из ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$, алгебра Ли всех верхнетреугольных матриц; в символах, ${\displaystyle {\mathfrak {n}}=[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}].}$ К тому же, ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ является алгеброй Ли группы Ли унитреугольных матриц.

Фактически, по Теорема Энгеля, любая конечномерная нильпотентная алгебра Ли сопряжена с подалгеброй строго верхнетреугольных матриц, т. е. конечномерная нильпотентная алгебра Ли одновременно строго верхне-треугольной.

Алгебры верхнетреугольных матриц имеют естественное обобщение в функциональный анализ что дает гнездовые алгебры на Гильбертовы пространства.

Смотрите также: Аффинная группа

Борелевские подгруппы и борелевские подалгебры

Основные статьи: Подгруппа Бореля и Подалгебра Бореля

Набор обратимых треугольных матриц заданного вида (верхней или нижней) образует группа действительно Группа Ли, которая является подгруппой группы общая линейная группа всех обратимых матриц. Треугольная матрица обратима в точности тогда, когда ее диагональные элементы обратимы (ненулевые).

По действительным числам эта группа отключена, имея ${\displaystyle 2^{n}}$ компоненты соответственно, поскольку каждая диагональная запись является положительной или отрицательной. Компонент единицы - это обратимые треугольные матрицы с положительными элементами на диагонали, а группа всех обратимых треугольных матриц - это полупрямой продукт этой группы и группы диагональные матрицы с участием ${\displaystyle \pm 1}$ по диагонали, соответствующей компонентам.

В Алгебра Ли группы Ли обратимых верхнетреугольных матриц представляет собой набор всех верхнетреугольных матриц, не обязательно обратимых, и является разрешимая алгебра Ли. Это, соответственно, стандартные Подгруппа Бореля B группы Ли GL_п и стандарт Подалгебра Бореля ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ алгебры Ли gl_п.

Верхнетреугольные матрицы - это как раз те, которые стабилизируют стандартный флаг. Обратимые среди них образуют подгруппу общей линейной группы, сопряженные подгруппы которой определены как стабилизатор некоторого (другого) полного флага. Эти подгруппы Борелевские подгруппы. Группа обратимых нижнетреугольных матриц является такой подгруппой, так как она является стабилизатором стандартного флага, связанного со стандартным базисом в обратном порядке.

Стабилизатор частичного флага, полученный забыванием некоторых частей стандартного флага, можно описать как набор блочных верхнетреугольных матриц (но его элементы являются не все треугольные матрицы). Сопряженные с такой группой подгруппы определены как стабилизатор некоторого частичного флага. Эти подгруппы называются параболические подгруппы.

Примеры

Группа верхних унитреугольных матриц 2 на 2 есть изоморфный к аддитивная группа поля скаляров; в случае комплексных чисел это соответствует группе, образованной параболическими Преобразования Мебиуса; верхние унитреугольные матрицы 3 на 3 образуют Группа Гейзенберга.

Смотрите также

• Гауссово исключение
• QR-разложение
• Разложение Холецкого
• Матрица Гессенберга
• Трехдиагональная матрица
• Инвариантное подпространство

использованная литература

1. (Axler 1996, с. 86–87, 169).
2. (Херштейн 1975, стр. 285–290).

• Акслер, Шелдон (1996), Линейная алгебра сделано правильно, Springer-Verlag, ISBN  0-387-98258-2
• Дразин, М. П .; Dungey, J. W .; Грюнберг, К. В. (1951), «Некоторые теоремы о коммутативных матрицах», J. London Math. Soc., 26 (3): 221–228, Дои:10.1112 / jlms / s1-26.3.221
• Герштейн, И. Н. (1975), Темы по алгебре (2-е изд.), Джон Уайли и сыновья, ISBN  0-471-01090-1
• Прасолов, Виктор (1994), Проблемы и теоремы линейной алгебры, ISBN  9780821802366