Теорема Энгельса - Engels theorem - Wikipedia

В теория представлений, раздел математики, Теорема Энгеля утверждает, что конечномерная алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ это нильпотентная алгебра Ли если и только если для каждого ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$, то сопряженная карта

${\displaystyle \operatorname {ad} (X)\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}},}$

данный ${\displaystyle \operatorname {ad} (X)(Y)=[X,Y]}$, это нильпотентный эндоморфизм на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$; т.е. ${\displaystyle \operatorname {ad} (X)^{k}=0}$ для некоторых k.^[1] Это следствие теоремы, также называемой теоремой Энгеля, которая гласит, что если алгебра Ли матриц состоит из нильпотентных матриц, то все матрицы можно одновременно привести к строго верхнетреугольный форма.

Теорема названа в честь математика Фридрих Энгель, который обрисовал доказательство этого в письме к Вильгельм Киллинг от 20 июля 1890 г. (Хокинс 2000, п. 176). Ученик Энгеля К.А. Умлауф дал полное доказательство в своей диссертации 1891 года, перепечатанной как (Умлауф 2010 ).

Заявления

Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$ - алгебра Ли эндоморфизмов конечномерного векторного пространства V и ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(V)}$ подалгебра. Тогда теорема Энгеля утверждает, что следующие утверждения эквивалентны:

1. Каждый ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ является нильпотентным эндоморфизмом на V.
2. Есть флаг ${\displaystyle V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0,\,\operatorname {codim} V_{i}=i}$ такой, что ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\cdot V_{i}\subset V_{i+1}}$; т.е. элементы ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ одновременно строго верхнетриангулируемо.

Обратите внимание, что никаких предположений относительно базового поля не требуется.

Отметим, что утверждение 2. для различных ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ и V эквивалентно утверждению

Для каждого ненулевого конечномерного векторного пространства V и подалгебра ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(V)}$, существует ненулевой вектор v в V такой, что ${\displaystyle X(v)=0}$ для каждого ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}.}$

Это форма теоремы, доказанной в #Доказательство. (Это утверждение тривиально эквивалентно утверждению 2, поскольку позволяет индуктивно построить флаг с требуемым свойством.)

В общем случае алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ как говорят нильпотентный если нижний центральный ряд его исчезает за конечный шаг; т.е. для ${\displaystyle C^{0}{\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}},C^{i}{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},C^{i-1}{\mathfrak {g}}]}$ = (я+1) -я степень ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, существует некоторое k такой, что ${\displaystyle C^{k}{\mathfrak {g}}=0}$. Тогда теорема Энгеля дает теорему (также называемую теоремой Энгеля): когда ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ имеет конечную размерность, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ нильпотентен тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \operatorname {ad} (X)}$ нильпотентен для каждого ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$.

Действительно, если ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})}$ состоит из нильпотентных операторов, то на 1. ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ 2. применительно к алгебре ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})\subset {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$, есть флаг ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\supset {\mathfrak {g}}_{1}\supset \cdots \supset {\mathfrak {g}}_{n}=0}$ такой, что ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}_{i}]\subset {\mathfrak {g}}_{i+1}}$. С ${\displaystyle C^{i}{\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {g}}_{i}}$, Из этого следует ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ нильпотентен. (Обратное прямо следует из определения.)

Доказательство

Докажем следующую форму теоремы:^[2] если ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(V)}$ подалгебра Ли такая, что каждая ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ является нильпотентным эндоморфизмом и если V имеет положительную размерность, то существует ненулевой вектор v в V такой, что ${\displaystyle X(v)=0}$ для каждого Икс в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Доказательство проводится индукцией по размерности ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ и состоит из нескольких шагов. (Обратите внимание, что структура доказательства очень похожа на Теорема Ли, который касается разрешимой алгебры.) Основной случай тривиален, и мы предполагаем размерность ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ положительный.

Шаг 1: Найдите идеал ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ коразмерности один в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Это самый сложный шаг. Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ - максимальная (собственная) подалгебра в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, существующее в силу конечномерности. Мы утверждаем, что это идеал и имеет коразмерность один. Для каждого ${\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}$, легко проверить, что (1) ${\displaystyle \operatorname {ad} (X)}$ индуцирует линейный эндоморфизм ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$ и (2) это индуцированное отображение нильпотентно (фактически, ${\displaystyle \operatorname {ad} (X)}$ нильпотентна). Таким образом, по предположению индукции существует ненулевой вектор v в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$ такой, что ${\displaystyle \operatorname {ad} (X)(v)=0}$ для каждого ${\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}$. То есть, если ${\displaystyle v=[Y]}$ для некоторых Y в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ но не в ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, тогда ${\displaystyle [X,Y]=\operatorname {ad} (X)(Y)\in {\mathfrak {h}}}$ для каждого ${\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}$. Но тогда подпространство ${\displaystyle {\mathfrak {h}}'\subset {\mathfrak {g}}}$ охватывает ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ и Y подалгебра Ли, в которой ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ это идеал. Следовательно, по максимальности ${\displaystyle {\mathfrak {h}}'={\mathfrak {g}}}$. Это доказывает утверждение.

Шаг 2: Позволять ${\displaystyle W=\{v\in V|X(v)=0,X\in {\mathfrak {h}}\}}$. потом ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ стабилизирует W; т.е. ${\displaystyle X(v)\in W}$ для каждого ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}},v\in W}$.

Действительно, для ${\displaystyle Y}$ в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ и ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, у нас есть: ${\displaystyle X(Y(v))=Y(X(v))+[X,Y](v)=0}$ поскольку ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ это идеал и так ${\displaystyle [X,Y]\in {\mathfrak {h}}}$. Таким образом, ${\displaystyle Y(v)}$ в W.

Шаг 3: Завершите доказательство, найдя ненулевой вектор, который уничтожается ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Написать ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}+L}$ куда L - одномерное векторное подпространство. Позволять Y ненулевой вектор в L и v ненулевой вектор в W. Сейчас же, ${\displaystyle Y}$ является нильпотентным эндоморфизмом (по предположению) и поэтому ${\displaystyle Y^{k}(v)\neq 0,Y^{k+1}(v)=0}$ для некоторых k. потом ${\displaystyle Y^{k}(v)}$ является искомым вектором, так как вектор лежит в W Шагом 2. ${\displaystyle \square }$

Смотрите также

• Теорема Ли
• Группа Гейзенберга

Примечания

Цитаты

1. Фултон и Харрис 1991, Упражнение 9.10 ..
2. Фултон и Харрис 1991, Теорема 9.9 ..

Процитированные работы

• Эрдманн, Карин; Вильдон, Марк (2006). Введение в алгебры Ли (1-е изд.). Springer. ISBN  1-84628-040-0.
• Фултон, Уильям; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс. Тексты для выпускников по математике, Чтения по математике. Том 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN  978-0-387-97495-8. МИСТЕР  1153249. OCLC  246650103.
• Хокинс, Томас (2000), Возникновение теории групп Ли., Источники и исследования по истории математики и физических наук, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-98963-1, МИСТЕР  1771134
• Хохшильд, Г. (1965). Строение групп Ли. Холден Дэй.
• Хамфрис, Дж. (1972). Введение в алгебры Ли и теорию представлений. Springer.
• Умлауф, Карл Артур (2010) [Впервые опубликовано в 1891 году], Über Die Zusammensetzung Der Endlichen Continuierlichen Transformationsgruppen, Insbesondre Der Gruppen Vom Range Null, Инаугурационная диссертация, Лейпциг (на немецком языке), Nabu Press, ISBN  978-1-141-58889-3