Нильпотентная алгебра Ли - Nilpotent Lie algebra

В математика, а Алгебра Ли является нильпотентный если это нижний центральный ряд со временем становится нулевым.

Это аналог алгебры Ли нильпотентная группа.

Определение

Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ быть Алгебра Ли. Один говорит, что ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ является нильпотентный если нижний центральный ряд заканчивается, т.е. если ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{n}=0}$ для некоторых п ∈ ℕ.

В явном виде это означает, что

${\displaystyle [X_{1},[X_{2},[\cdots [X_{n},Y]\cdots ]]=\mathrm {ad} _{X_{1}}\mathrm {ad} _{X_{2}}\cdots \mathrm {ad} _{X_{n}}Y=0}$

${\displaystyle \forall X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},Y\in {\mathfrak {g}},\qquad (1)}$

так что объявление_Икс1объявление_Икс2 ⋅⋅⋅ объявление_Иксп = 0.

Эквивалентные условия

Очень специальным следствием (1) является то, что

${\displaystyle [X,[X,[\cdots [X,Y]\cdots ]={\mathrm {ad} _{X}}^{n}Y\in {\mathfrak {g}}_{n}=0\quad \forall X,Y\in {\mathfrak {g}}.\qquad (2)}$

Таким образом (объявление_Икс)^п = 0 для всех ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$. Это, объявление_Икс это нильпотентный эндоморфизм в обычном смысле линейных эндоморфизмов (а не алгебр Ли). Мы называем такой элемент Икс в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ад-нильпотентный.

Примечательно, что если ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ конечномерно, очевидно, гораздо более слабое условие (2) фактически эквивалентно (1), как указано

Теорема Энгеля: Конечномерная алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ нильпотентен тогда и только тогда, когда все элементы ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ад-нильпотентны,

которые мы здесь не будем доказывать.

Несколько более простое эквивалентное условие нильпотентности ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ : ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ нильпотентен тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \mathrm {ad} \,{\mathfrak {g}}}$ нильпотентна (как алгебра Ли). Чтобы убедиться в этом, сначала заметим, что из (1) следует, что ${\displaystyle \mathrm {ad} \,{\mathfrak {g}}}$ нильпотентна, так как разложение (п − 1)-скрученная вложенная скобка будет состоять из термов формы (1). И наоборот, можно написать^[1]

${\displaystyle [[\cdots [X_{n},X_{n-1}],\cdots ,X_{2}],X_{1}]=\mathrm {ad} [\cdots [X_{n},X_{n-1}],\cdots ,X_{2}](X_{1}),}$

и с тех пор объявление является гомоморфизмом алгебр Ли,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {ad} [\cdots [X_{n},X_{n-1}],\cdots ,X_{2}]&=[\mathrm {ad} [\cdots [X_{n},X_{n-1}],\cdots X_{3}],\mathrm {ad} _{X_{2}}]\\&=\ldots =[\cdots [\mathrm {ad} _{X_{n}},\mathrm {ad} _{X_{n-1}}],\cdots \mathrm {ad} _{X_{2}}].\end{aligned}}}$

Если ${\displaystyle \mathrm {ad} \,{\mathfrak {g}}}$ нильпотентно, последнее выражение равно нулю для достаточно больших п, и соответственно первый. Но отсюда следует (1), поэтому ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ нильпотентен.

Кроме того, конечномерная алгебра Ли нильпотентна тогда и только тогда, когда существует убывающая цепочка идеалов ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\supset {\mathfrak {g}}_{1}\supset \cdots \supset {\mathfrak {g}}_{n}=0}$ такой, что ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}_{i}]\subset {\mathfrak {g}}_{i+1}}$.^[2]

Примеры

Строго верхнетреугольные матрицы

Если ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(k,\mathbb {R} )}$ это набор к × к матрицы с записями в ℝ, то подалгебра состоящий из строго верхнетреугольные матрицы является нильпотентной алгеброй Ли.

Алгебры Гейзенберга

А Алгебра Гейзенберга нильпотентен. Например, в размерности 3 коммутатор двух матриц

${\displaystyle \left[{\begin{bmatrix}0&a&b\\0&0&c\\0&0&0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&a'&b'\\0&0&c'\\0&0&0\end{bmatrix}}\right]={\begin{bmatrix}0&0&a''\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$

куда ${\displaystyle a''=ac'+a'c}$.

Картановские подалгебры

А Подалгебра Картана ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ из Алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {l}}}$ нильпотентен и саморегулирующийся^{[3] стр. 80}. Условие самонормировки эквивалентно тому, что оно является нормализатором алгебры Ли. Это означает ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=N_{\mathfrak {l}}({\mathfrak {c}})=\{x\in {\mathfrak {l}}:[x,c]\subset {\mathfrak {c}}{\text{ for }}c\in {\mathfrak {c}}\}}$. Сюда входят верхнетреугольные матрицы ${\displaystyle {\mathfrak {t}}(n)}$ и все диагональные матрицы ${\displaystyle {\mathfrak {d}}(n)}$ в ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$.

Другие примеры

Если Алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ имеет автоморфизм основного периода без фиксированных точек, кроме 0, тогда ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ нильпотентен^[4].

Характеристики

Нильпотентные алгебры Ли разрешимы

Каждая нильпотентная алгебра Ли разрешимый. Это полезно при доказательстве разрешимости Алгебра Ли поскольку на практике обычно легче доказать нильпотентность (когда она выполняется!), чем разрешимость. Однако, как правило, это свойство неверно. Например, подалгебра ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(k,\mathbb {R} )}$ (k ≥ 2) состоящий из верхнетреугольных матриц, ${\displaystyle {\mathfrak {b}}(k,\mathbb {R} )}$, разрешима, но не нильпотентна.

Подалгебры и изображения

Если Алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ нильпотентна, то все подалгебры а гомоморфные образы нильпотентны.

Нильпотентность частного по центру

Если фактор-алгебра ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/Z({\mathfrak {g}})}$, куда ${\displaystyle Z({\mathfrak {g}})}$ это центр из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, нильпотентна, то и ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Это означает, что центральное расширение нильпотентной алгебры Ли с помощью нильпотентной алгебры Ли нильпотентно.

Теорема Энгеля

Теорема Энгеля: Конечномерная алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ нильпотентен тогда и только тогда, когда все элементы ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ад-нильпотентны.

Форма нулевого убийства

В Форма убийства нильпотентной алгебры Ли 0.

Имеют внешние автормофизмы

Нильпотентная алгебра Ли имеет внешний автоморфизм, то есть автоморфизм, не входящий в образ Ad.

Производные подалгебры разрешимых алгебр Ли

В производная подалгебра конечномерной разрешимой алгебры Ли над полем характеристики 0 нильпотентна.

Смотрите также

• Разрешимая алгебра Ли

Примечания

1. Кнапп 2002 Предложение 1.32.
2. Серр, Гл. I, предложение 1.
3. Хамфрис, Джеймс Э. (1972). Введение в алгебры Ли и теорию представлений. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York. ISBN  978-1-4612-6398-2. OCLC  852791600.
4. Джейкобсон, Н. (1989), Джейкобсон, Натан (ред.), "Замечание об автоморфизмах и дифференцировании алгебр Ли", Натан Джейкобсон Сборник математических статей: Том 2 (1947–1965), Contemporary Mathematicians, Birkhäuser, стр. 251–253, Дои:10.1007/978-1-4612-3694-8_16, ISBN  978-1-4612-3694-8

Рекомендации

• Фултон, В.; Харрис, Дж. (1991). Теория представлений. Первый курс. Тексты для выпускников по математике. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-97527-6. Г-Н  1153249.
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972). Введение в алгебры Ли и теорию представлений. Тексты для выпускников по математике. 9. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-90053-5.
• Кнапп, А.В. (2002). Группы лжи за пределами введения. Успехи в математике. 120 (2-е изд.). Бостон · Базель · Берлин: Birkhäuser. ISBN  0-8176-4259-5.
• Серр, Жан-Пьер (2000), Полупростые комплексы Альжебра де Ли [Комплексные полупростые алгебры Ли], переведенный Джонс, Г. А., Спрингер, ISBN  978-3-540-67827-4.