Корневая система - Root system

Эта статья о корневых системах в математике. За растения 'корневые системы, см. Корень.

В математика, а корневая система это конфигурация векторов в Евклидово пространство удовлетворяющие определенным геометрическим свойствам. Это понятие является фундаментальным в теории Группы Ли и Алгебры Ли, особенно теории классификации и представления полупростые алгебры Ли. Поскольку группы Ли (и некоторые аналоги, такие как алгебраические группы ) и алгебры Ли стали важными во многих областях математики в течение двадцатого века, очевидно особая природа корневых систем противоречит количеству областей, в которых они применяются. Далее, схема классификации корневых систем по Диаграммы Дынкина, встречается в частях математики, не имеющих явной связи с теорией Ли (например, теория сингулярности ). Наконец, корневые системы важны сами по себе, как в спектральная теория графов.^[1]

Определения и примеры

Шесть векторов корневой системы А₂.

В качестве первого примера рассмотрим шесть векторов в двумерном Евклидово пространство, р², как показано на изображении справа; позвони им корни. Эти векторы охватывать все пространство. Если вы считаете линию перпендикуляр к любому корню, скажем β, то отражение р² в этой строке отправляет любой другой корень, скажем α, в другой корень. Причем корень, в который он отправляется, равен α + nβ, куда п целое число (в данном случае п равно 1). Эти шесть векторов удовлетворяют следующему определению, и поэтому они образуют корневую систему; этот известен как А₂.

Определение

Позволять E быть конечномерным Евклидово векторное пространство, со стандартным Евклидов внутренний продукт обозначается ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$. А корневая система ${\displaystyle \Phi }$ в E - конечный набор ненулевых векторов (называемых корни), удовлетворяющие следующим условиям:^[2][3]

1. Корни охватывать E.
2. Единственные скалярные числа, кратные корню ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ которые принадлежат ${\displaystyle \Phi }$ находятся ${\displaystyle \alpha }$ сам и ${\displaystyle -\alpha }$.
3. Для каждого корня ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$, набор ${\displaystyle \Phi }$ закрыт под отражение сквозь гиперплоскость перпендикулярно ${\displaystyle \alpha }$.
4. (Целостность) Если ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ корни в ${\displaystyle \Phi }$, то проекция ${\displaystyle \beta }$ на линию через ${\displaystyle \alpha }$ является целое или полуцелое число несколько из ${\displaystyle \alpha }$.

Эквивалентный способ записи условий 3 и 4 следующий:

3. Для любых двух корней ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$, набор ${\displaystyle \Phi }$ содержит элемент ${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta ):=\beta -2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}\alpha .}$
4. Для любых двух корней ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$, номер ${\displaystyle \langle \beta ,\alpha \rangle :=2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}}$ является целое число.

Некоторые авторы включают в определение корневой системы только условия 1–3.^[4] В этом контексте корневая система, которая также удовлетворяет условию целостности, известна как кристаллографическая корневая система.^[5] Другие авторы опускают условие 2; то называют корневые системы, удовлетворяющие условию 2 уменьшенный.^[6] В этой статье предполагается, что все корневые системы являются редуцированными и кристаллографическими.

С учетом свойства 3 условие целостности равносильно утверждению, что β и его отражение σ_α(β) отличаются на целое число, кратноеα. Обратите внимание, что оператор

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon \Phi \times \Phi \to \mathbb {Z} }$

определяется свойством 4, не является внутренним продуктом. Он не обязательно симметричен и линейен только по первому аргументу.

Корневые системы ранга 2

Корневая система ${\displaystyle A_{1}\times A_{1}}$	Корневая система ${\displaystyle D_{2}}$
Корневая система ${\displaystyle A_{2}}$	Корневая система ${\displaystyle G_{2}}$
Корневая система ${\displaystyle B_{2}}$	Корневая система ${\displaystyle C_{2}}$

В классифицировать корневой системы Φ - размерность E. Две корневые системы можно объединить, рассматривая евклидовы пространства, которые они охватывают, как взаимно ортогональные подпространства общего евклидова пространства. Корневая система, которая не возникает в результате такого сочетания, например, системы А₂, B₂, и грамм₂ изображенный справа, как говорят, несводимый.

Две корневые системы (E₁, Φ₁) и (E₂, Φ₂) называются изоморфный если существует обратимое линейное преобразование E₁ → E₂ который отправляет Φ₁ к Φ₂ такое, что для каждой пары корней число ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ сохраняется.^[7]

В корневая решетка корневой системы Φ является Z-подмодуль E порожденный Φ. Это решетка вE.

Группа Вейля

Основная статья: Группа Вейля

Группа Вейля ${\displaystyle A_{2}}$ корневая система - это группа симметрии равностороннего треугольника

В группа из изометрии изE порожденный отражениями через гиперплоскости, ассоциированные с корнями Φ, называется Группа Вейля из Φ. Как это действует добросовестно на конечном множестве Φ группа Вейля всегда конечна. Плоскости отражения - это гиперплоскости, перпендикулярные корням, обозначенные для ${\displaystyle A_{2}}$ пунктирными линиями на рисунке. Группа Вейля - это группа симметрии равностороннего треугольника, состоящего из шести элементов. В этом случае группа Вейля не является полной группой симметрии корневой системы (например, поворот на 60 градусов является симметрией корневой системы, но не элементом группы Вейля).

Оцените один пример

Имеется только одна корневая система ранга 1, состоящая из двух ненулевых векторов ${\displaystyle \{\alpha ,-\alpha \}}$. Эта корневая система называется ${\displaystyle A_{1}}$.

Оцените два примера

В ранге 2 есть четыре возможности, соответствующие ${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta )=\beta +n\alpha }$, куда ${\displaystyle n=0,1,2,3}$.^[8] На рисунке справа показаны эти возможности, но с некоторыми сокращениями: ${\displaystyle A_{1}\times A_{1}}$ изоморфен ${\displaystyle D_{2}}$ и ${\displaystyle B_{2}}$ изоморфен ${\displaystyle C_{2}}$.

Обратите внимание, что корневая система не определяется решеткой, которую она порождает: ${\displaystyle A_{1}\times A_{1}}$ и ${\displaystyle B_{2}}$ оба создают квадратная решетка пока ${\displaystyle A_{2}}$ и ${\displaystyle G_{2}}$ генерировать шестиугольная решетка, только два из пяти возможных типов решетки в двух измерениях.

Если Φ - корневая система в E, и S это подпространство из E натянутое на Ψ = Φ ∩S, то Ψ - корневая система вS. Таким образом, исчерпывающий список из четырех систем корней ранга 2 показывает геометрические возможности для любых двух корней, выбранных из корневой системы произвольного ранга. В частности, два таких корня должны встречаться под углом 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150 или 180 градусов.

Системы корней, возникающие из полупростых алгебр Ли

Смотрите также: Полупростая алгебра Ли § Картановские подалгебры и корневые системы, и Система корней полупростой алгебры Ли

Если ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ это сложный полупростая алгебра Ли и ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ это Подалгебра Картана, мы можем построить корневую систему следующим образом. Мы говорим что ${\displaystyle \alpha \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ это корень из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ относительно ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ если ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ и есть некоторые ${\displaystyle X\neq 0\in {\mathfrak {g}}}$ такой, что

${\displaystyle [H,X]=\alpha (H)X}$

для всех ${\displaystyle H\in {\mathfrak {h}}}$. Можно показать^[9] что существует внутренний продукт, для которого набор корней образует корневую систему. Корневая система ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ фундаментальный инструмент для анализа структуры ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ и классификация его представлений. (См. Раздел ниже о корневых системах и теории Ли.)

История

Концепция корневой системы была первоначально введена Вильгельм Киллинг около 1889 г. (на немецком, Wurzelsystem^[10]).^[11] Он использовал их в своей попытке классифицировать все простые алгебры Ли над поле из сложные числа. Изначально Киллинг допустил ошибку в классификации, перечислив две исключительные корневые системы ранга 4, хотя на самом деле существует только одна, теперь известная как F.₄. Позже Картан исправил эту ошибку, показав, что две корневые системы Киллинга изоморфны.^[12]

Киллинг исследовал структуру алгебры Ли ${\displaystyle L}$, учитывая то, что сейчас называется Подалгебра Картана ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$. Затем он изучил корни характеристический многочлен ${\displaystyle \det(\operatorname {ad} _{L}x-t)}$, куда ${\displaystyle x\in {\mathfrak {h}}}$. Здесь корень рассматривается как функция ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, или действительно как элемент дуального векторного пространства ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$. Этот набор корней образуют внутри корневую систему ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$, как определено выше, где внутренним продуктом является Форма убийства.^[11]

Элементарные следствия аксиом корневой системы

Условие целочисленности ${\displaystyle \langle \beta ,\alpha \rangle }$ выполняется только для β на одной из вертикалей, а условие целочисленности ${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle }$ выполняется только для β на одном из красных кружков. Любой β перпендикулярно α (на Y axis) тривиально выполняет оба с 0, но не определяет неприводимую корневую систему.
Отражение по модулю для заданного α есть всего 5 нетривиальных возможностей для β, и 3 возможных угла между α и β в наборе простых корней. Подстрочные буквы соответствуют серии корневых систем, для которых задан β может служить первым корнем, а α - вторым корнем (или в F₄ как средние 2 корня).

Косинус угла между двумя корнями должен составлять половину квадратного корня из положительного целого числа. Это потому что ${\displaystyle \langle \beta ,\alpha \rangle }$ и ${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle }$ оба являются целыми числами по предположению, и

${\displaystyle \langle \beta ,\alpha \rangle \langle \alpha ,\beta \rangle =2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}\cdot 2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\beta ,\beta )}}=4{\frac {(\alpha ,\beta )^{2}}{\vert \alpha \vert ^{2}\vert \beta \vert ^{2}}}=4\cos ^{2}(\theta )=(2\cos(\theta ))^{2}\in \mathbb {Z} .}$

С ${\displaystyle 2\cos(\theta )\in [-2,2]}$, единственные возможные значения для ${\displaystyle \cos(\theta )}$ находятся ${\displaystyle 0,\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {\sqrt {2}}{2}},\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}}$ и ${\displaystyle \pm {\tfrac {\sqrt {4}}{2}}=\pm 1}$, что соответствует углам 90 °, 60 ° или 120 °, 45 ° или 135 °, 30 ° или 150 ° и 0 ° или 180 °. Условие 2 говорит, что нет скалярных кратных α кроме 1 и −1 могут быть корнями, поэтому 0 или 180 °, что соответствует 2α или −2α, вышли. На диаграмме справа показано, что угол 60 ° или 120 ° соответствует корням одинаковой длины, а угол 45 ° или 135 ° соответствует соотношению длин ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ а угол 30 ° или 150 ° соответствует отношению длины ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$.

Таким образом, вот единственные возможности для каждой пары корней.^[13]

• Угол 90 градусов; в этом случае отношение длины не ограничено.
• Угол 60 или 120 градусов при соотношении длин 1.
• Угол 45 или 135 градусов при соотношении длины ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.
• Угол 30 или 150 градусов при соотношении длины ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$.

Положительные корни и простые корни

Помеченные корни представляют собой набор положительных корней для ${\displaystyle G_{2}}$ корневая система, с ${\displaystyle \alpha _{1}}$ и ${\displaystyle \alpha _{2}}$ быть простыми корнями

Учитывая корневую систему ${\displaystyle \Phi }$ мы всегда можем выбрать (разными способами) набор положительные корни. Это подмножество ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ из ${\displaystyle \Phi }$ такой, что

• Для каждого корня ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ровно один из корней ${\displaystyle \alpha }$, –${\displaystyle \alpha }$ содержится в ${\displaystyle \Phi ^{+}}$.
• Для любых двух различных ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi ^{+}}$ такой, что ${\displaystyle \alpha +\beta }$ это корень, ${\displaystyle \alpha +\beta \in \Phi ^{+}}$.

Если набор положительных корней ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ выбран, элементы ${\displaystyle -\Phi ^{+}}$ называются отрицательные корни. Набор положительных корней можно построить, выбрав гиперплоскость ${\displaystyle V}$ не содержит корня и настроек ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ быть всеми корнями, лежащими на фиксированной стороне ${\displaystyle V}$. Более того, таким образом возникает каждый набор положительных корней.^[14]

Элемент ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ называется простой корень если его нельзя записать как сумму двух элементов ${\displaystyle \Phi ^{+}}$. (Набор простых корней также называют основание за ${\displaystyle \Phi }$.) Набор ${\displaystyle \Delta }$ простых корней - основа ${\displaystyle E}$ со следующими дополнительными особыми свойствами:^[15]

• Каждый корень ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ представляет собой линейную комбинацию элементов ${\displaystyle \Delta }$ с целое число коэффициенты.
• Для каждого ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$, коэффициенты в предыдущем пункте либо все неотрицательные, либо все неположительные.

Для каждой корневой системы ${\displaystyle \Phi }$ существует множество различных вариантов набора положительных корней или, что то же самое, простых корней, но любые два набора положительных корней отличаются действием группы Вейля.^[16]

Двойная корневая система, корень и интегральные элементы

Смотрите также: Двойная группа Ленглендса

Двойная корневая система

Если Φ - корневая система в E, то корут α^∨ корня α определяется равенством

${\displaystyle \alpha ^{\vee }={2 \over (\alpha ,\alpha )}\,\alpha .}$

Набор коронок также образует корневую систему Φ^∨ в E, называется двойная корневая система (или иногда обратная корневая системаПо определению α^{∨ ∨} = α, так что Φ - двойственная система корней к Φ^∨. Решетка в E натянутое на Φ^∨ называется решетка корора. И Φ, и Φ^∨ имеют ту же группу Вейля W и для s в W,

${\displaystyle (s\alpha )^{\vee }=s(\alpha ^{\vee }).}$

Если Δ - множество простых корней для Φ, то Δ^∨ - набор простых корней для Φ^∨.^[17]

В описанной ниже классификации корневые системы типа ${\displaystyle A_{n}}$ и ${\displaystyle D_{n}}$ наряду с исключительной корневой системой ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}}$ все самодуальные, что означает, что двойная корневая система изоморфна исходной корневой системе. Напротив, ${\displaystyle B_{n}}$ и ${\displaystyle C_{n}}$ корневые системы двойственны друг другу, но не изоморфны (кроме ${\displaystyle n=2}$).

Составные элементы

Смотрите также: Вес (теория представлений) § Веса в теории представлений полупростых алгебр Ли

Вектор ${\displaystyle \lambda }$ в E называется интеграл^[18] если его внутреннее произведение с каждым корнем является целым числом:

${\displaystyle 2{\frac {(\lambda ,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}}\in \mathbb {Z} ,\quad \alpha \in \Phi .}$

Поскольку набор ${\displaystyle \alpha ^{\vee }}$ с ${\displaystyle \alpha \in \Delta }$ образует основу двойной корневой системы, чтобы проверить, что ${\displaystyle \lambda }$ является целым, достаточно проверить указанное выше условие для ${\displaystyle \alpha \in \Delta }$.

Набор интегральных элементов называется весовая решетка связанный с данной корневой системой. Этот термин происходит от теория представлений полупростых алгебр Ли, где целые элементы образуют возможные веса конечномерных представлений.

Определение корневой системы гарантирует, что сами корни являются составными элементами. Таким образом, всякая целочисленная линейная комбинация корней также является целой. Однако в большинстве случаев будут целые элементы, которые не являются целочисленными комбинациями корней. То есть в общем случае решетка весов не совпадает с решеткой корней.

Классификация корневых систем по диаграммам Дынкина

Смотрите также: Диаграмма Дынкина

Картинки всех связанных диаграмм Дынкина

Корневая система неприводима, если ее нельзя разбить на объединение двух собственных подмножеств. ${\displaystyle \Phi =\Phi _{1}\cup \Phi _{2}}$, так что ${\displaystyle (\alpha ,\beta )=0}$ для всех ${\displaystyle \alpha \in \Phi _{1}}$ и ${\displaystyle \beta \in \Phi _{2}}$ .

Неснижаемые корневые системы соответствовать к определенным графики, то Диаграммы Дынкина названный в честь Евгений Дынкин. Классификация этих графов - простой вопрос комбинаторика, и индуцирует классификацию неприводимых корневых систем.

Построение диаграммы Дынкина

Для данной корневой системы выберите набор Δ простые корни как в предыдущем разделе. Вершины присоединенной диаграммы Дынкина соответствуют корням в Δ. Края между векторами проводят в соответствии с углами следующим образом. (Обратите внимание, что угол между простыми корнями всегда составляет не менее 90 градусов.)

• Нет ребра, если векторы ортогональны,
• Ненаправленный одиночный край, если они составляют угол 120 градусов,
• Направленный двойной край, если они составляют угол 135 градусов, и
• Направленная тройная кромка, если они составляют угол 150 градусов.

Термин «направленная кромка» означает, что двойные и тройные кромки отмечены стрелкой, указывающей на более короткий вектор. (Думая о стрелке как о знаке "больше", становится ясно, в какую сторону должна указывать стрелка.)

Обратите внимание, что по отмеченным выше элементарным свойствам корней правила построения диаграммы Дынкина также можно описать следующим образом. Без ребра, если корни ортогональны; для неортогональных корней - одинарное, двойное или тройное ребро в зависимости от того, составляет ли отношение длин более длинного к более короткому 1, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$. В случае ${\displaystyle G_{2}}$ корневая система, например, есть два простых корня, расположенные под углом 150 градусов (при соотношении длин ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$). Таким образом, диаграмма Дынкина имеет две вершины, соединенные тройным ребром, со стрелкой, указывающей от вершины, связанной с более длинным корнем, к другой вершине. (В этом случае стрелка немного избыточна, поскольку диаграмма эквивалентна в зависимости от направления стрелки.)

Классификация корневых систем

Хотя данная корневая система имеет более одного возможного набора простых корней, Группа Вейля действует транзитивно при таком выборе.^[19] Следовательно, диаграмма Дынкина не зависит от выбора простых корней; она определяется самой корневой системой. И наоборот, имея две системы корней с одинаковой диаграммой Дынкина, можно сопоставить корни, начиная с корней в основании, и показать, что системы на самом деле одинаковы.^[20]

Таким образом, проблема классификации корневых систем сводится к проблеме классификации возможных диаграмм Дынкина. Корневая система неприводима тогда и только тогда, когда ее диаграммы Дынкина связны.^[21] Возможные схемы подключения показаны на рисунке. Нижние индексы указывают количество вершин в диаграмме (и, следовательно, ранг соответствующей неприводимой корневой системы).

Если ${\displaystyle \Phi }$ - корневая система, диаграмма Дынкина для двойственной корневой системы ${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$ получается из диаграммы Дынкина ${\displaystyle \Phi }$ сохраняя все те же вершины и ребра, но меняя направления всех стрелок. Таким образом, из их диаграмм Дынкина видно, что ${\displaystyle B_{n}}$ и ${\displaystyle C_{n}}$ двойственны друг другу.

Камеры Вейля и группа Вейля

Смотрите также: Группа Кокстера § Аффинные группы Кокстера

Заштрихованная область - основная камера Вейля для основания. ${\displaystyle \{\alpha _{1},\alpha _{2}\}}$

Если ${\displaystyle \Phi \subset E}$ является корневой системой, мы можем рассматривать гиперплоскость, перпендикулярную каждому корню ${\displaystyle \alpha }$. Напомним, что ${\displaystyle \sigma _{\alpha }}$ обозначает отражение относительно гиперплоскости и что Группа Вейля группа преобразований ${\displaystyle E}$ генерируется всеми ${\displaystyle \sigma _{\alpha }}$с. Дополнение набора гиперплоскостей разъединено, и каждая связная компонента называется Камера Вейля. Если мы зафиксировали конкретный набор простых корней Δ, мы можем определить фундаментальная камера Вейля ассоциированный с Δ как множество точек ${\displaystyle v\in E}$ такой, что ${\displaystyle (\alpha ,v)>0}$ для всех ${\displaystyle \alpha \in \Delta }$.

Поскольку размышления ${\displaystyle \sigma _{\alpha },\,\alpha \in \Phi }$ сохранять ${\displaystyle \Phi }$, они также сохраняют набор гиперплоскостей, перпендикулярных корням. Таким образом, каждый элемент группы Вейля переставляет камеры Вейля.

На рисунке показан случай ${\displaystyle A_{2}}$ корневая система. «Гиперплоскости» (в данном случае одномерные), ортогональные корням, обозначены пунктирными линиями. Шесть секторов под углом 60 градусов - это камеры Вейля, а заштрихованная область - основная камера Вейля, связанная с указанной базой.

Основная общая теорема о камерах Вейля такова:^[22]

Теорема: Группа Вейля действует свободно и транзитивно на камерах Вейля. Таким образом, порядок группы Вейля равен количеству камер Вейля.

в ${\displaystyle A_{2}}$ Например, в случае группы Вейля шесть элементов и шесть камер Вейля.

Связанный результат такой:^[23]

Теорема: Исправить камеру Вейля ${\displaystyle C}$. Тогда для всех ${\displaystyle v\in E}$, вейлевская орбита ${\displaystyle v}$ содержит ровно одну точку в замыкании ${\displaystyle {\bar {C}}}$ из ${\displaystyle C}$.

Корневые системы и теория Ли

Неприводимые корневые системы классифицируют ряд связанных объектов в теории Ли, в частности следующие:

• простые комплексные алгебры Ли (см. выше обсуждение корневых систем, возникающих из полупростых алгебр Ли),
• односвязный комплексные группы Ли, которые являются простыми центрами по модулю, и
• односвязный компактные группы Ли которые являются простыми центрами по модулю.

В каждом случае корни ненулевые веса из присоединенное представительство.

Теперь дадим краткое указание на то, как неприводимые корневые системы классифицируют простые алгебры Ли над ${\displaystyle \mathbb {C} }$, следуя аргументам Хамфриса.^[24] Предварительный результат говорит о том, что полупростая алгебра Ли прост тогда и только тогда, когда соответствующая корневая система неприводима.^[25] Таким образом, мы ограничиваем внимание неприводимыми корневыми системами и простыми алгебрами Ли.

• Во-первых, мы должны установить, что для каждой простой алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ есть только одна корневая система. Это утверждение следует из того, что подалгебра Картана в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ единственно с точностью до автоморфизма,^[26] откуда следует, что любые две подалгебры Картана дают изоморфные системы корней.
• Далее нам нужно показать, что для каждой неприводимой корневой системы может быть не более одной алгебры Ли, то есть что корневая система определяет алгебру Ли с точностью до изоморфизма.^[27]
• Наконец, мы должны показать, что для каждой неприводимой корневой системы существует ассоциированная простая алгебра Ли. Это утверждение очевидно для корневых систем типов A, B, C и D, для которых ассоциированные алгебры Ли являются классическими алгебрами. Тогда можно анализировать исключительные алгебры в индивидуальном порядке. В качестве альтернативы можно разработать систематическую процедуру построения алгебры Ли из корневой системы, используя Отношения Серра.^[28]

О связи между исключительными корневыми системами и их группами Ли и алгебрами Ли см. E₈, E₇, E₆, F₄, и грамм₂.

Свойства неприводимых корневых систем

${\displaystyle \Phi }$	${\displaystyle |\Phi |}$	${\displaystyle |\Phi ^{<}|}$	я	D	${\displaystyle |W|}$
Ап (п ≥ 1)	п(п + 1)			п + 1	(п + 1)!
Bп (п ≥ 2)	2п^2	2п	2	2	2п п!
Cп (п ≥ 3)	2п^2	2п(п − 1)	2п−1	2	2п п!
Dп (п ≥ 4)	2п(п − 1)			4	2п − 1 п!
E6	72			3	51840
E7	126			2	2903040
E8	240			1	696729600
F4	48	24	4	1	1152
грамм2	12	6	3	1	12

Неприводимые корневые системы названы в соответствии с соответствующими им связными диаграммами Дынкина. Есть четыре бесконечных семейства (A_п, B_п, С_п, а D_п, называется классические корневые системы) и пяти исключительных случаях ( исключительные корневые системы). Нижний индекс указывает ранг корневой системы.

В неприводимой корневой системе может быть не более двух значений длины (α, α)^1/2, соответствующий короткая и длинный корни. Если все корни имеют одинаковую длину, они по определению считаются длинными, а корневая система называется просто зашнурованный; это происходит в случаях A, D и E. Любые два корня одинаковой длины лежат на одной орбите группы Вейля. В не просто зашнурованных случаях B, C, G и F решетка корней натянута на короткие корни, а длинные корни покрывают подрешетку, инвариантную относительно группы Вейля, равную р²/ 2 раза больше решетки коронавируса, где р это длина длинного корня.

В соседней таблице | Φ^<| обозначает количество коротких корней, я обозначает индекс в корневой решетке подрешетки, порожденной длинными корнями, D обозначает определитель Матрица Картана, и |W| обозначает порядок Группа Вейля.

Явное построение неприводимых корневых систем

А_п

Модель ${\displaystyle A_{3}}$ корневая система в системе Zometool.

Простые корни в А₃

	е1	е2	е3	е4
α1	1	−1	0	0
α2	0	1	−1	0
α3	0	0	1	−1

Позволять E быть подпространством р^п+1 для которого сумма координат равна 0, и пусть Φ - множество векторов в E длины √2 и которые целые векторы, т.е. иметь целочисленные координаты в р^п+1. Такой вектор должен иметь все координаты, кроме двух, равные 0, одну координату, равную 1, и одну, равную –1, так что есть п² + п корни во всем. Один выбор простых корней, выраженный в стандартная основа является: α_я = е_я – е_я+1, для 1 ≤ я ≤ п.

В отражение σ_я сквозь гиперплоскость перпендикулярно α_я такой же как перестановка соседних я-го и (я + 1) -й координаты. Такой транспозиции генерировать полный группа перестановок.Для смежных простых корней σ_я(α_я+1) = α_я+1 + α_я = σ_я+1(α_я) = α_я + α_я+1, то есть отражение эквивалентно сложению числа, кратного 1; но отражение простого корня перпендикулярно несмежному простому корню оставляет его неизменным, отличаясь кратным 0.

В А_п корневую решетку - то есть решетку, порожденную А_п корни - проще всего описать как набор целочисленных векторов в р^п+1 сумма компонентов которого равна нулю.

А₂ корневая решетка - это расположение вершин из треугольная черепица.

А₃ решетка корня известна кристаллографам как гранецентрированная кубическая (или же кубическая плотно упакованная) решетка.^[29]. Это расположение вершин четырехгранно-октаэдрические соты.

А₃ Корневая система (как и другие корневые системы третьего ранга) может быть смоделирована в Zometool Строительный набор.^[30]

В общем, A_п решетка корней - это расположение вершин п-размерный простые соты.

B_п

Простые корни в B₄

	е1	е2	е3	е4
α1	1	−1	0	0
α2	0	1	−1	0
α3	0	0	1	−1
α4	0	0	0	1

Позволять E = р^п, и пусть Φ состоит из всех целочисленных векторов из E длины 1 или √2. Общее количество корней 2п². Один из вариантов простых корней: α_я = е_я – е_я+1, для 1 ≤ я ≤ п - 1 (указанный выше выбор простых корней для А_п−1), а более короткий корень α_п = е_п.

Отражение σ_п через гиперплоскость перпендикулярно короткому корню α_п это, конечно, просто отрицание п-я координата. Для длинного простого корня α_п−1, σ_п−1(α_п) = α_п + α_п−1, но для отражения перпендикулярно короткому корню σ_п(α_п−1) = α_п−1 + 2α_п, разница кратна 2 вместо 1.

В B_п корневую решетку - то есть решетку, порожденную B_п корни - состоит из всех целочисленных векторов.

B₁ изоморфна A₁ через масштабирование √2, и поэтому не является отдельной корневой системой.

C_п

Корневая система B₃, С₃, а А₃= D₃ как точки внутри куб и октаэдр

Простые корни в C₄

	е1	е2	е3	е4
α1	1	−1	0	0
α2	0	1	−1	0
α3	0	0	1	−1
α4	0	0	0	2

Позволять E = р^п, и пусть Φ состоит из всех целочисленных векторов из E длины √2 вместе со всеми векторами вида 2λ, куда λ - целочисленный вектор длины 1. Всего корней 2п². Один из вариантов простых корней: α_я = е_я – е_я+1, для 1 ≤ я ≤ п - 1 (указанный выше выбор простых корней для А_п−1), а более длинный корень α_п = 2е_п.Отражение σ_п(α_п−1) = α_п−1 + α_п, но σ_п−1(α_п) = α_п + 2α_п−1.

В C_п корневую решетку - то есть решетку, порожденную C_п корни - состоит из всех целочисленных векторов, сумма компонентов которых составляет четное целое число.

C₂ изоморфна B₂ через масштабирование √2 и вращение на 45 градусов, и поэтому не является отдельной корневой системой.

D_п

Простые корни в D₄

	е1	е2	е3	е4
α1	1	−1	0	0
α2	0	1	−1	0
α3	0	0	1	−1
α4	0	0	1	1

Позволять E = р^п, и пусть Φ состоит из всех целочисленных векторов из E длины √2. Общее количество корней 2п(п - 1). Один из вариантов простых корней: α_я = е_я – е_я+1, для 1 ≤ я < п - 1 (указанный выше выбор простых корней для А_п−1) плюс α_п = е_п + е_п−1.

Отражение через гиперплоскость перпендикулярно к α_п такой же как перенос и отрицая соседние п-го и (п - 1) -ые координаты. Любой простой корень и его отражение, перпендикулярное другому простому корню, отличаются от второго корня кратным 0 или 1, а не большим кратным.

В D_п корневую решетку - то есть решетку, порожденную D_п корни - состоит из всех целых векторов, сумма компонентов которых равна четному целому числу. Это то же самое, что и C_п корневая решетка.

В D_п корни выражаются как вершины выпрямленного п-ортоплекс, Диаграмма Кокстера-Дынкина: .... 2п(п−1) вершины существуют в середине ребер п-ортоплекс.

D₃ совпадает с A₃, и поэтому не является отдельной корневой системой. 12 D₃ корневые векторы выражаются как вершины , конструкция нижней симметрии кубооктаэдр.

D₄ имеет дополнительную симметрию, называемую триальность. 24 D₄ корневые векторы выражаются как вершины , конструкция нижней симметрии 24-элементный.

E₆, E₇, E₈

72 вершины 122 представляют собой корневые векторы E6 (Зеленые узлы удвоены в этой проекции плоскости Кокстера E6)	126 вершин 231 представляют собой корневые векторы E7	240 вершин 421 представляют собой корневые векторы E8

• В E₈ корневая система - это любой набор векторов в р⁸ то есть конгруэнтный к следующему набору:

${\displaystyle D_{8}\cup \left\{{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{8}\varepsilon _{i}\mathbf {e} _{i}\right):\varepsilon _{i}=\pm 1,\,\varepsilon _{1}\cdots \varepsilon _{8}=+1\right\}.}$

Корневая система насчитывает 240 корней. Только что перечисленный набор - это набор векторов длины √2 в решетке корней E8, также известной как Решетка E8 или Γ₈. Это набор точек в р⁸ такой, что:

1. все координаты целые числа или все координаты полуцелые числа (сочетание целых и полуцелых чисел не допускается), и
2. сумма восьми координат является четное число.

Таким образом,

${\displaystyle E_{8}=\left\{\alpha \in \mathbb {Z} ^{8}\cup (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}})^{8}:|\alpha |^{2}=\sum \alpha _{i}^{2}=1,\,\sum \alpha _{i}\in 2\mathbb {Z} .\right\}}$

• Корневая система E₇ - множество векторов в E₈ которые перпендикулярны фиксированному корню в E₈. Корневая система E₇ имеет 126 корней.
• Корневая система E₆ не является набором векторов в E₇ которые перпендикулярны фиксированному корню в E₇действительно, получаем D₆ туда. Однако E₆ подсистема E₈ перпендикулярно двум соответствующим образом выбранным корням E₈. Корневая система E₆ имеет 72 корня.

Простые корни в E₈: четные координаты

1	−1	0	0	0	0	0	0
0	1	−1	0	0	0	0	0
0	0	1	−1	0	0	0	0
0	0	0	1	−1	0	0	0
0	0	0	0	1	−1	0	0
0	0	0	0	0	1	−1	0
0	0	0	0	0	1	1	0
−½	−½	−½	−½	−½	−½	−½	−½

Альтернативное описание E₈ решетка, которая иногда удобна, представляет собой множество Γ '₈ всех точек в р⁸ такой, что

• все координаты целые числа и сумма координат четная, или
• все координаты полуцелые, а сумма координат нечетная.

Решетки Γ₈ и Γ '₈ находятся изоморфный; переходить от одного к другому можно, меняя знаки любого нечетного числа координат. Решетка Γ₈ иногда называют четная система координат для E₈ а решетка Γ '₈ называется нечетная система координат.

Один выбор простых корней для E₈ в четной системе координат со строками, упорядоченными по порядку узлов в альтернативных (неканонических) диаграммах Дынкина (выше):

α_я = е_я – е_я+1, для 1 ≤ я ≤ 6 и

α₇ = е₇ + е₆

(сделанный выше выбор простых корней для D₇) вместе с

${\displaystyle \mathbf {\alpha } _{8}=\mathbf {\beta } _{0}=-{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{8}e_{i}\right)=(-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2).}$

Простые корни в E₈: нечетные координаты

1	−1	0	0	0	0	0	0
0	1	−1	0	0	0	0	0
0	0	1	−1	0	0	0	0
0	0	0	1	−1	0	0	0
0	0	0	0	1	−1	0	0
0	0	0	0	0	1	−1	0
0	0	0	0	0	0	1	−1
−½	−½	−½	−½	−½	½	½	½

Один выбор простых корней для E₈ в нечетной системе координат со строками, упорядоченными по порядку узлов в альтернативных (неканонических) диаграммах Дынкина (выше):

α_я = е_я – е_я+1, для 1 ≤ я ≤ 7

(указанный выше выбор простых корней для A₇) вместе с

α₈ = β₅, куда

β_j = ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}(-\textstyle \sum _{i=1}^{j}e_{i}+\textstyle \sum _{i=j+1}^{8}e_{i}).}$

(С помощью β₃ дало бы изоморфный результат. С помощью β_1,7 или же β_2,6 просто дал бы A₈ или D₈. Что касается β₄, его координаты в сумме равны 0, и то же самое верно для α_1...7, поэтому они охватывают только 7-мерное подпространство, для которого сумма координат равна 0; на самом деле –2β₄ имеет координаты (1,2,3,4,3,2,1) в базисе (α_я).)

Поскольку перпендикулярность к α₁ означает, что первые две координаты равны, E₇ тогда подмножество E₈ где первые две координаты равны, и аналогично E₆ подмножество E₈ где первые три координаты равны. Это облегчает явное определение E₇ и E₆ в качестве:

E₇ = {α ∈ Z⁷ ∪ (Z+½)⁷ : ∑α_я² + α₁² = 2, ∑α_я + α₁ ∈ 2Z},

E₆ = {α ∈ Z⁶ ∪ (Z+½)⁶ : ∑α_я² + 2α₁² = 2, ∑α_я + 2α₁ ∈ 2Z}

Обратите внимание, что удаление α₁ а потом α₂ дает наборы простых корней для E₇ и E₆. Однако эти наборы простых корней находятся в разных E₇ и E₆ подпространства в E₈ чем написанные выше, поскольку они не ортогональны α₁ или же α₂.

F₄

Простые корни в F₄

	е1	е2	е3	е4
α1	1	−1	0	0
α2	0	1	−1	0
α3	0	0	1	0
α4	-½	-½	-½	-½

48-корневые векторы из F4, определяемые вершинами 24-элементный и его двойственность, рассматриваемая в Самолет Кокстера

Для F₄, позволять E = р⁴, а через Φ обозначим множество векторов α длины 1 или √2 такие, что все координаты 2α целые и либо все четные, либо все нечетные. В этой системе 48 корней. Один из вариантов выбора простых корней: выбор простых корней, приведенный выше для B₃, плюс α₄ = – ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{4}e_{i}}$.

F₄ решетка корней - то есть решетка, порожденная F₄ корневая система - это набор точек в р⁴ такие, что либо все координаты равны целые числа или все координаты полуцелые числа (сочетание целых и полуцелых чисел не допускается). Эта решетка изоморфна решетке Кватернионы Гурвица.

грамм₂

Простые корни в G₂

	е1	е2	е3
α1	1	−1	0
β	−1	2	−1

Корневая система G₂ имеет 12 корней, образующих вершины гексаграмма. Посмотреть картинку над.

Один из вариантов простых корней: (α₁, β = α₂ – α₁) куда α_я = е_я – е_я+1 за я = 1, 2 - выбранный выше выбор простых корней для А₂.

В грамм₂ корневую решетку - то есть решетку, порожденную грамм₂ корни - то же, что и А₂ корневая решетка.

Корневой позет

Диаграмма Хассе E6 корневой посет с краевыми метками, определяющими добавленную простую корневую позицию

Множество положительных корней естественно упорядочить, сказав, что ${\displaystyle \alpha \leq \beta }$ если и только если ${\displaystyle \beta -\alpha }$ является неотрицательной линейной комбинацией простых корней. Этот посеть является оцененный к ${\displaystyle \deg {\big (}\sum _{\alpha \in \Delta }\lambda _{\alpha }\alpha {\big )}=\sum _{\alpha \in \Delta }\lambda _{\alpha }}$, и обладает множеством замечательных комбинаторных свойств, одно из которых состоит в том, что можно определить степени фундаментальных инвариантов соответствующей группы Вейля из этого чугуна.^[31] Граф Хассе представляет собой визуализацию порядка корневого набора.

Смотрите также

• Классификация ADE
• Аффинная корневая система
• Диаграмма Кокстера – Дынкина
• Группа Коксетера
• Матрица Кокстера
• Диаграмма Дынкина
• корень
• Полупростая алгебра Ли
• Веса в теории представлений полупростых алгебр Ли
• Система корней полупростой алгебры Ли
• Группа Вейля

Примечания

1. Цветкович, Драгош (2002). «Графы с наименьшим собственным значением −2; исторический обзор и недавние разработки в области максимальных исключительных графов». Линейная алгебра и ее приложения. 356 (1–3): 189–210. Дои:10.1016 / S0024-3795 (02) 00377-4.
2. Бурбаки, Глава VI, Раздел 1
3. Хамфрис 1972, п. 42
4. Хамфрис 1992, п. 6
5. Хамфрис 1992, п. 39
6. Хамфрис 1992, п. 41 год
7. Хамфрис 1972, п. 43
8. Зал 2015 Предложение 8.8.
9. Зал 2015, Раздел 7.5
10. Убийство 1889
11. Бурбаки 1998, п. 270
12. Коулман 1989, п. 34
13. Зал 2015 Предложение 8.6.
14. Зал 2015, Теоремы 8.16 и 8.17
15. Зал 2015, Теорема 8.16
16. Зал 2015, Предложение 8.28
17. Зал 2015, Предложение 8.18
18. Зал 2015, Раздел 8.7
19. Это следует из Зал 2015, Предложение 8.23
20. Зал 2015, Предложение 8.32
21. Зал 2015, Предложение 8.23
22. Зал 2015, Предложения 8.23 ​​и 8.27
23. Зал 2015, Предложение 8.29
24. См. Различные части глав III, IV и V Руководства. Хамфрис 1972, достигая кульминации в Разделе 19 Главы V
25. Зал 2015, Теорема 7.35
26. Хамфрис 1972, Раздел 16
27. Хамфрис 1972, Часть (b) теоремы 18.4
28. Хамфрис 1972 Раздел 18.3 и теорема 18.4
29. Конвей, Джон; Слоан, Нил Дж. А. (1998). «Раздел 6.3». Сферические упаковки, решетки и группы. Springer. ISBN  978-0-387-98585-5.
30. Зал 2015 Раздел 8.9
31. Хамфрис 1992, Теорема 3.20

Рекомендации

• Адамс, Дж. Ф. (1983), Лекции о группах Ли, Издательство Чикагского университета, ISBN  0-226-00530-5
• Бурбаки, Николас (2002), Группы Ли и алгебры Ли, главы 4–6 (перевод с французского оригинала 1968 года Эндрю Прессли), Элементы математики, Springer-Verlag, ISBN  3-540-42650-7. Классический эталон для корневых систем.
• Бурбаки, Николас (1998). Элементы истории математики. Springer. ISBN  3540647678.
• Коулман, А.Дж. (Лето 1989 г.), «Величайшая математическая статья всех времен», Математический интеллект, 11 (3): 29–38, Дои:10.1007 / bf03025189
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN  978-3319134666
• Хамфрис, Джеймс (1972). Введение в алгебры Ли и теорию представлений. Springer. ISBN  0387900535.
• Хамфрис, Джеймс (1992). Группы отражений и группы Кокстера. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0521436133.
• Убийство, Вильгельм (Июнь 1888 г.). "Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen". Mathematische Annalen. 31 (2): 252–290. Дои:10.1007 / BF01211904. S2CID  120501356. Архивировано из оригинал на 2016-03-05.
  • - (март 1888 г.). "Часть 2". Математика. Анна. 33 (1): 1–48. Дои:10.1007 / BF01444109.
  • - (март 1889 г.). «Часть 3». Математика. Анна. 34 (1): 57–122. Дои:10.1007 / BF01446792. Архивировано из оригинал 21 февраля 2015 г.
  • - (июнь 1890 г.). «Часть 4». Математика. Анна. 36 (2): 161–189. Дои:10.1007 / BF01207837.
• Кац, Виктор Г. (1990). Бесконечномерные алгебры Ли (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-46693-6.
• Спрингер, Т. (1998). Линейные алгебраические группы (2-е изд.). Birkhäuser. ISBN  0817640215.

дальнейшее чтение

• Дынкин, Э. (1947). «Строение полупростых алгебр». Успехи матем. Наук. 2 с. 4 (20): 59–127. МИСТЕР  0027752.

внешняя ссылка