Классификация ADE - ADE classification

В просто зашнурованные диаграммы Дынкина классифицировать разнообразные математические объекты.

В математика, то Классификация ADE (первоначально A-D-E классификации) - это ситуация, когда определенные виды объектов соответствуют просто зашнурованные диаграммы Дынкина. Вопрос об установлении общего происхождения этих классификаций, а не апостериорной проверке параллелизма, был поставлен в (Арнольд 1976 ). Полный список просто зашнурованные диаграммы Дынкина включает

${\displaystyle A_{n},\,D_{n},\,E_{6},\,E_{7},\,E_{8}.}$

Здесь "просто зашнуровано" означает, что нет нескольких ребер, что соответствует всем простым корням в корневая система образуя углы ${\displaystyle \pi /2=90^{\circ }}$ (без ребра между вершинами) или ${\displaystyle 2\pi /3=120^{\circ }}$ (одно ребро между вершинами). Это два из четырех семейств диаграмм Дынкина (исключая ${\displaystyle B_{n}}$ и ${\displaystyle C_{n}}$), и три из пяти исключительных диаграмм Дынкина (исключая ${\displaystyle F_{4}}$ и ${\displaystyle G_{2}}$).

Этот список не является избыточным, если взять ${\displaystyle n\geq 4}$ для ${\displaystyle D_{n}.}$ Если расширить семейства, включив в них избыточные термины, получится исключительные изоморфизмы

${\displaystyle D_{3}\cong A_{3},E_{4}\cong A_{4},E_{5}\cong D_{5},}$

и соответствующие изоморфизмы классифицированных объектов.

В А, D, E номенклатура также дает просто зашнурованные конечные группы Кокстера, по тем же диаграммам: в этом случае диаграммы Дынкина в точности совпадают с диаграммами Кокстера, так как кратных ребер нет.

Алгебры Ли

В терминах комплексных полупростых алгебр Ли:

• ${\displaystyle A_{n}}$ соответствует ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbf {C} ),}$ то специальная линейная алгебра Ли из бесследный операторы,
• ${\displaystyle D_{n}}$ соответствует ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {C} ),}$ даже специальная ортогональная алгебра Ли четных кососимметричный операторы и
• ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8}}$ являются тремя из пяти исключительных алгебр Ли.

С точки зрения компактные алгебры Ли и соответствующие просто зашнурованные группы Ли:

• ${\displaystyle A_{n}}$ соответствует ${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{n+1},}$ алгебра особая унитарная группа ${\displaystyle SU(n+1);}$
• ${\displaystyle D_{n}}$ соответствует ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {R} ),}$ алгебра четных проективная специальная ортогональная группа ${\displaystyle PSO(2n)}$, в то время как
• ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8}}$ трое из пяти исключительных компактные алгебры Ли.

Бинарные полиэдральные группы

Такая же классификация применяется к дискретным подгруппам ${\displaystyle SU(2)}$, то бинарные полиэдральные группы; собственно бинарные полиэдральные группы соответствуют просто зашнурованным аффинный Диаграммы Дынкина ${\displaystyle {\tilde {A}}_{n},{\tilde {D}}_{n},{\tilde {E}}_{k},}$ и представления этих групп можно понять в терминах этих диаграмм. Эта связь известна как Переписка Маккея после Джон Маккей. Связь с Платоновы тела описан в (Диксон 1959 ). В переписке используется конструкция График Маккея.

Обратите внимание, что соответствие ADE не соответствие Платоновых тел их группа отражения симметрий: например, в ADE-соответствии тетраэдр, куб /октаэдр, и додекаэдр /икосаэдр соответствуют ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},}$ в то время как группы отражений тетраэдра, куба / октаэдра и додекаэдра / икосаэдра вместо этого представляют собой Группы Кокстера ${\displaystyle A_{3},BC_{3},}$ и ${\displaystyle H_{3}.}$

В орбифолд из ${\displaystyle \mathbf {C} ^{2}}$ построенная с использованием каждой дискретной подгруппы, приводит к особенности типа ADE в начале координат, называемой дю Валь сингулярность.

Соответствие Маккея может быть расширено на несколько зашнурованных диаграмм Дынкина с помощью пара бинарных полиэдральных групп. Это известно как Медленная переписка, названный в честь Питер Слодови - увидеть (Стекольщик 2008 г. ).

Помеченные графики

Графы ADE и расширенные (аффинные) графы ADE также могут быть охарактеризованы с помощью меток с определенными свойствами,^[1] что можно сформулировать в терминах дискретные операторы Лапласа^[2] или Матрицы Картана. Доказательства в терминах матриц Картана можно найти в (Кац 1990 С. 47–54).

Аффинные графы ADE - единственные графы, которые допускают положительную маркировку (маркировку узлов положительными действительными числами) со следующим свойством:

Дважды любая метка - это сумма меток на соседних вершинах.

То есть это единственные положительные функции с собственным значением 1 для дискретного лапласиана (сумма смежных вершин минус значение вершины) - положительные решения однородного уравнения:

${\displaystyle \Delta \phi =\phi .\ }$

Эквивалентно положительные функции в ядре ${\displaystyle \Delta -I.}$ Результирующая нумерация уникальна до масштаба и, если она нормализована так, что наименьшее число равно 1, состоит из небольших целых чисел - от 1 до 6, в зависимости от графика.

Обычные графы ADE - единственные графы, которые допускают положительную разметку со следующим свойством:

Дважды любая метка минус два является суммой меток на соседних вершинах.

В терминах лапласиана положительные решения неоднородного уравнения:

${\displaystyle \Delta \phi =\phi -2.\ }$

Результирующая нумерация уникальна (масштаб указывается цифрой «2») и состоит из целых чисел; для E₈ они колеблются от 58 до 270 и наблюдались уже (Бурбаки 1968 ).

Другие классификации

В элементарные катастрофы также классифицируются по классификации ADE.

Диаграммы ADE - это точно колчаны конечного типа через Теорема Габриэля.

Также есть ссылка на обобщенные четырехугольники, поскольку три невырожденных GQ с тремя точками на каждой прямой соответствуют трем исключительным системам корней E₆, E₇ и E₈.^[3]Классы А и D соответствуют вырожденным случаям, когда набор прямых пуст или все прямые проходят через фиксированную точку соответственно.^[4]

Между этими объектами существуют глубокие связи, на которые указывает классификация;^{[нужна цитата ]} некоторые из этих связей можно понять через теория струн и квантовая механика.

Было высказано предположение, что симметрии малых кластеры капель может подпадать под классификацию ADE.^[5]

В минимальные модели из двумерная конформная теория поля имеют классификацию ADE.

Четырехмерный ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ суперконформные калибровочные теории колчана с унитарными калибровочными группами имеют классификацию ADE.

Троицы

Арнольд впоследствии предложил много дополнительных связей в этом^{[который? ]} вена, под рубрикой «математические троицы»,^[6][7] и Маккей расширил свою переписку параллельными, а иногда и перекрывающимися линиями. Арнольд называет это "троицы «чтобы вызвать религию, и предположить, что (в настоящее время) эти параллели больше полагаются на веру, чем на строгое доказательство, хотя некоторые параллели уточняются. Другие троицы были предложены другими авторами.^[8][9][10] Троицы Арнольда начинаются с р/C/ЧАС (действительные числа, комплексные числа и кватернионы), которые он отмечает «все знают», и переходит к представлению других троиц как «комплексификаций» и «кватернионизации» классической (реальной) математики по аналогии с поиском симплектических аналогов классической математики. Риманова геометрия, которую он ранее предложил в 1970-х годах. В дополнение к примерам из дифференциальной топологии (например, характеристические классы ), Арнольд рассматривает три платоновых симметрии (тетраэдрическую, октаэдрическую, икосаэдрическую) как соответствующие действительным числам, комплексам и кватернионам, которые затем соединяются с более алгебраическими соответствиями Маккея, описанными ниже.

Переписка Маккея проще описать. Во-первых, расширенные диаграммы Дынкина ${\displaystyle {\tilde {E}}_{6},{\tilde {E}}_{7},{\tilde {E}}_{8}}$ (соответствующие тетраэдрической, октаэдрической и икосаэдрической симметрии) имеют группы симметрии ${\displaystyle S_{3},S_{2},S_{1},}$ соответственно, и связанные складки диаграммы ${\displaystyle {\tilde {G}}_{2},{\tilde {F}}_{4},{\tilde {E}}_{8}}$ (обратите внимание, что при менее тщательном написании расширенный квалификатор (тильда) часто опускается). Что еще более важно, Маккей предполагает соответствие между узлами ${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$ диаграмма и некоторые классы сопряженности группа монстров, который известен как McKay's E₈ наблюдение;^[11][12] смотрите также чудовищный самогон. Маккей далее связывает узлы ${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$ классам сопряженности в 2.B (расширение порядка 2 группа маленьких монстров ), а узлы ${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$ классам сопряженности в 3.Fi₂₄'(расширение порядка 3 Группа Фишера )^[12] - обратите внимание, что это три самых больших спорадические группы, и что порядок расширения соответствует симметриям диаграммы.

Переходя от больших простых групп к малым, соответствующие Платоновы группы ${\displaystyle A_{4},S_{4},A_{5}}$ иметь связи с проективные специальные линейные группы PSL (2,5), PSL (2,7) и PSL (2,11) (заказы 60, 168 и 660),^[13][14] что считается «перепиской Маккея».^[15] Эти группы являются единственными (простыми) значениями для п такое, что PSL (2,п) действует нетривиально на п точки, факт, восходящий к Эварист Галуа в 1830-х гг. Фактически, группы распадаются как продукты множеств (а не как продукты групп) как: ${\displaystyle A_{4}\times Z_{5},}$ ${\displaystyle S_{4}\times Z_{7},}$ и ${\displaystyle A_{5}\times Z_{11}.}$ Эти группы также связаны с различной геометрией, которая датируется Феликс Кляйн в 1870-е годы; увидеть икосаэдрическая симметрия: связанные геометрии для исторической дискуссии и (Костант 1995 ) для более поздней экспозиции. Ассоциированные геометрии (мозаики на Римановы поверхности ), в котором действие на п можно увидеть следующие точки: PSL (2,5) - симметрии икосаэдра (род 0) с соединение пяти тетраэдров как набор из 5 элементов, PSL (2,7) Кляйн квартика (род 3) с вложенным (дополнительным) Самолет Фано как набор из 7 элементов (биплан 2-го порядка), а PSL (2,11) бакминстерфуллереновая поверхность (род 70) со встроенными Биплан Пэли как набор из 11 элементов (порядок 3 биплан ).^[16] Из них икосаэдр относится к античности, квартика Клейна - к Кляйну в 1870-х годах, а поверхность бакибола - к Пабло Мартину и Дэвиду Сингерману в 2008 году.

Алгебро-геометрически Маккей также связывает E₆, E₇, E₈ соответственно с: 27 линий на кубической поверхности, 28 битангенсы плоской кривой квартики, и 120 плоскостей тритангенса канонической шестигранной кривой рода 4.^[17][18] Первый из них хорошо известен, а второй связан следующим образом: проецирование кубики из любой точки, не лежащей на прямой, дает двойное покрытие плоскости, разветвленное по кривой четвертой степени, с 27 линиями, соответствующими 27 линиям. 28 битаангенсов, а 28-я строка - изображение исключительная кривая взрыва. Обратите внимание, что фундаментальные представления из E₆, E₇, E₈ имеют размеры 27, 56 (28 · 2) и 248 (120 + 128), а количество корней составляет 27 + 45 = 72, 56 + 70 = 126 и 112 + 128 = 240. Это также должно соответствовать схема ^[19] связи E_8,7,6 с самыми большими тремя из спорадических простых групп, Monster, Baby и Fischer 24 ', ср. Чудовищный самогон.

Смотрите также

• Эллиптическая поверхность

использованная литература

1. (Проктор 1993 )
2. (Проктор 1993, п. 940)
3. Кэмерон П.Дж .; Goethals, J.M .; Зайдель, Дж. Дж .; Шульт, Э. Линейные графики, корневые системы и эллиптическая геометрия
4. Годсил Крис; Гордон Ройл. Алгебраическая теория графов, Глава 12
5. Федорец А.А. и др. Симметрия небольших скоплений парящих капель воды. Phys. Chem. Chem. Phys., 2020, https://doi.org/10.1039/D0CP01804J
6. Арнольд, Владимир, 1997, Торонтские лекции, Лекция 2: Симплектизация, комплексификация и математические троицы, Июнь 1997 г. (последнее обновление - август 1998 г.). TeX, PostScript, PDF
7. Полиматематика: математика - это единая наука или набор искусств? На сервере с 10.03.99 г. Абстрактные, TeX, PostScript, PDF; см. таблицу на странице 8
8. Les trinités remarquables, Фредерик Шапотон (На французском)
9. Ле Брюйн, Ливен (17 июня 2008 г.), Троицы Арнольда
10. Ле Брюйн, Ливен (20 июня 2008 г.), Троицы Арнольда версия 2.0
11. Арифметические группы и аффинные E₈ Диаграмма Дынкина, Джон Ф. Дункан, в Группы и симметрии: от шотландцев неолита до Джона Маккея
12. Ле Брюйн, Ливен (22 апреля 2009 г.), граф монстров и наблюдение Маккея
13. Костант, Бертрам (1995), "График усеченного икосаэдра и последняя буква Галуа" (PDF), Замечает амер. Математика. Soc., 42 (4): 959–968, см .: Вложение PS1 (2, 5) в PSI (2, 11) и письмо Галуа к шевалье.
14. Ле Брюн, Ливен (12 июня 2008 г.), Последнее письмо Галуа, в архиве из оригинала от 15.08.2010
15. (Костант 1995, п. 964)
16. Мартин, Пабло; Зингерман, Дэвид (17 апреля 2008 г.), От бипланов к квартике Клейна и бакиболлу (PDF)
17. Арнольд 1997, стр. 13
18. (Маккей, Джон и Себбар, Абделла 2007, п. 11) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFMcKay, _JohnSebbar, _Abdellah2007 (Помогите)
19. Ян-Хуэй Хэ и Джон Маккей, https://arxiv.org/abs/1505.06742

• Бурбаки, Николас (1968), «Главы 4–6», Groupes et algebres de Lie, Париж: Герман
• Арнольд, Владимир (1976), «Проблемы современной математики», в Феликс Э. Браудер (ред.), Математические разработки, возникающие из проблем Гильберта, Труды симпозиумов по чистой математике, 28, Американское математическое общество, п.46, Проблема VIII. В A-D-E классификации (В. Арнольд).
• Диксон, Леонард Э. (1959), «XIII: Группы правильных тел; уравнения пятой степени», Алгебраические теории, Нью-Йорк: Dover Publications.
• Хазевинкель, Михиэль; Хесселинг; Siersma, JD .; Велдкамп, Ф. (1977), «Повсеместное распространение диаграмм Кокстера Дынкина. (Введение в проблему A-D-E)» (PDF), Nieuw Archief v. Wiskunde, 35 (3): 257–307
• Маккей, Джон (1980), «Графы, особенности и конечные группы», Proc. Symp. Чистая математика., Амер. Математика. Soc., 37: 183– и 265–
• Маккей, Джон (1982), "Представления и графы Кокстера", "Геометрическая вена", Coxeter Festschrift, Берлин: Springer-Verlag, стр. 549–
• Кац, Виктор Г. (1990), Бесконечномерные алгебры Ли (3-е изд.), Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-46693-8
• Маккей, Джон (1 января 2001 г.), Быстрое введение в теорию ADE
• Проктор, Р. А. (декабрь 1993 г.), "Две забавные классификации диаграмм Дынкина", Американский математический ежемесячник, 100 (10): 937–941, Дои:10.2307/2324217, ISSN  0002-9890, JSTOR  2324217
• McKay, J .; Себбар, Абделлах (2007). «Воспроизводимые функции: введение». Границы теории чисел, физики и геометрии, II. Springer. С. 373–386. Дои:10.1007/978-3-540-30308-4_10.
• Стекольщик, Р. (2008), Заметки о преобразованиях Кокстера и корреспонденции Маккея, Монографии Спрингера по математике, Дои:10.1007/978-3-540-77398-3, ISBN  978-3-540-77398-6
• ван Хобокен, Джорис (2002), Платоновы тела, бинарные полиэдральные группы, клейновы особенности и алгебры Ли типа A, D, E (PDF), Магистерская работа, Амстердамский университет, архив из оригинал (PDF) на 2012-04-26, получено 2011-11-23

внешние ссылки

• Джон Баэз, Результаты этой недели по математической физике: Неделя 62, Неделя 63, Неделя 64, Неделя 65 С 28 августа 1995 г. по 3 октября 1995 г. и Неделя 230, 4 мая 2006 г.
• Переписка Маккея, Тони Смит
• Классификация ADE, соответствие Маккея и теория струн, Любош Мотль, Система отсчета, 7 мая 2006 г.