Общая линейная группа - General linear group

В математика, то общая линейная группа степени п это набор п×п обратимые матрицы, вместе с работой обычных матричное умножение. Это формирует группа, потому что произведение двух обратимых матриц снова обратимо, а обратная обратимая матрица обратима, с единичной матрицей как единичный элемент группы. Группа названа так потому, что столбцы обратимой матрицы линейно независимый, следовательно, определяемые ими векторы / точки находятся в общее линейное положение, а матрицы в общей линейной группе переводят точки общего линейного положения в точки общего линейного положения.

Чтобы быть более точным, необходимо указать, какие объекты могут появляться в элементах матрицы. Например, полная линейная группа над р (набор действительные числа ) - группа п×п обратимые матрицы действительных чисел, и обозначается GL_п(р) или GL (п, р).

В более общем смысле общая линейная группа степени п по любому поле F (такой как сложные числа ) или кольцо р (например, кольцо целые числа ), - множество п×п обратимые матрицы с элементами из F (или р), снова с матричным умножением в качестве групповой операции.^[1] Типичное обозначение - GL_п(F) или GL (п, F), или просто GL (п), если поле понимается.

В более общем плане общая линейная группа векторного пространства GL (V) является абстрактным группа автоморфизмов, не обязательно записанные в виде матриц.

В специальная линейная группа, написано SL (п, F) или SL_п(F), это подгруппа из GL (п, F) состоящий из матриц с детерминант из 1.

Группа GL (п, F) и это подгруппы часто называют линейные группы или матричные группы (абстрактная группа GL (V) является линейной группой, но не матричной группой). Эти группы важны в теории групповые представления, а также возникают при изучении пространственных симметрии и симметрии векторные пространства в целом, а также изучение многочлены. В модульная группа может быть реализовано как фактор специальной линейной группы SL (2, Z).

Если п ≥ 2, то группа GL (п, F) не является абелевский.

Общая линейная группа векторного пространства

Если V это векторное пространство над полем Fобщая линейная группа V, написано GL (V) или Aut (V), является группой всех автоморфизмы из V, т.е. совокупность всех биективный линейные преобразования V → Vвместе с функциональной композицией как групповой операцией. Если V имеет конечный измерение п, то GL (V) и GL (п, F) находятся изоморфный. Изоморфизм неканоничен; это зависит от выбора основа в V. Учитывая основу (е₁, ..., е_п) из V и автоморфизм Т в GL (V), то для каждого базисного вектора е_я это

{ displaystyle Te_ {i} = sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} e_ {j}}

для некоторых констант а_ij в F; матрица, соответствующая Т тогда просто матрица с элементами, заданными а_ij.

Аналогично для коммутативного кольца р группа GL (п, р) можно интерпретировать как группу автоморфизмов свободный р-модуль M ранга п. Также можно определить GL (M) для любого р-модуль, но в целом он не изоморфен GL (п, р) (для любого п).

С точки зрения детерминант

Над полем F, матрица обратимый если и только если это детерминант не равно нулю. Следовательно, альтернативное определение GL (п, F) как группа матриц с ненулевым определителем.

Через коммутативное кольцо р, требуется больше внимания: матрица р обратима тогда и только тогда, когда его определитель является единица измерения в р, то есть если его определитель обратим в р. Следовательно, GL (п, р) может быть определена как группа матриц, определителями которых являются единицы.

Над некоммутативным кольцом р, детерминанты ведут себя не очень хорошо. В таком случае, GL (п, р) можно определить как группа единиц из матричное кольцо М (п, р).

Как группа Ли

Реальный случай

Общая линейная группа GL (п, р) над полем действительные числа настоящий Группа Ли измерения п². Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что набор всех п×п вещественные матрицы, M_п(р), образует реальное векторное пространство измерения п². Подмножество GL (п, р) состоит из тех матриц, у которых детерминант не равно нулю. Определитель - это многочлен карта, и, следовательно, GL (п, р) является открытое аффинное подмногообразие из M_п(р) (а непустой открытое подмножество из M_п(р) в Топология Зарисского ), и поэтому^[2]а гладкое многообразие того же измерения.

В Алгебра Ли из GL (п, р), обозначенный ${ displaystyle { mathfrak {gl}} _ {n},}$ состоит из всех п×п реальные матрицы с коммутатор служащая скобкой Ли.

Как многообразие, GL (п, р) не является связанный а скорее имеет два связанные компоненты: матрицы с положительным определителем и матрицы с отрицательным определителем. В компонент идентичности, обозначаемый GL⁺(п, р), состоит из реальных п×п матрицы с положительным определителем. Это тоже группа Ли размерности п²; он имеет ту же алгебру Ли, что и GL (п, р).

Группа GL (п, р) это также некомпактный. «The» ^[3] максимальная компактная подгруппа из GL (п, р) это ортогональная группа O (п), а максимальная компактная подгруппа группы GL⁺(п, р) это специальная ортогональная группа ТАК(п). Что касается SO (п), группа GL⁺(п, р) не является односвязный (кроме случаев, когда п = 1), а скорее имеет фундаментальная группа изоморфен Z для п = 2 или Z₂ для п > 2.

Сложный случай

Общая линейная группа над полем сложные числа, GL (п, C), это сложный Группа Ли сложного измерения п². Как реальная группа Ли (через реализацию) она имеет размерность 2п². Множество всех вещественных матриц образует вещественную подгруппу Ли. Им соответствуют включения

GL (п, р) п, C) 2n, р),

которые имеют реальные размеры п², 2п², и 4п² = (2п)². Сложный п-мерные матрицы можно охарактеризовать как вещественные 2п-мерные матрицы, сохраняющие линейная сложная структура - конкретно, которые коммутируют с матрицей J такой, что J² = −я, где J соответствует умножению на мнимую единицу я.

В Алгебра Ли соответствующий GL (п, C) состоит из всех п×п комплексные матрицы с коммутатор служащая скобкой Ли.

В отличие от реального случая, GL (п, C) является связанный. Это частично следует из того, что мультипликативная группа комплексных чисел C^∗ подключен. Групповое многообразие GL (п, C) не компактный; скорее это максимальная компактная подгруппа это унитарная группа U (п). Что касается U (п) групповое многообразие GL (п, C) не является односвязный но имеет фундаментальная группа изоморфен Z.

Над конечными полями

Стол Кэли из GL (2, 2), который изоморфен S₃.

Если F это конечное поле с участием q элементов, то мы иногда пишем GL (п, q) вместо того GL (п, F). Когда п простое, GL (п, п) это группа внешних автоморфизмов группы Z_п^п, а также автоморфизм группа, потому что Z_п^п абелева, поэтому группа внутренних автоморфизмов тривиально.

Получатель чего-то GL (п, q) является:

{ displaystyle prod _ {k = 0} ^ {n-1} (q ^ {n} -q ^ {k}) = (q ^ {n} -1) (q ^ {n} -q) ( q ^ {n} -q ^ {2}) cdots (q ^ {n} -q ^ {n-1}).}

Это можно показать, посчитав возможные столбцы матрицы: первый столбец может быть любым, кроме нулевого вектора; второй столбец может быть любым, но не кратным первому столбцу; и вообще k-й столбец может быть любым вектором, не входящим в линейный пролет из первых k − 1 столбцы. В q-аналог обозначение, это ${ Displaystyle [п] _ {д}! (д-1) ^ {п} д ^ {п выбрать 2}}$ .

Например, GL (3, 2) есть заказ (8 − 1)(8 − 2)(8 − 4) = 168. Это группа автоморфизмов Самолет Фано и группы Z₂³, и также известен как PSL (2, 7).

В более общем плане можно подсчитать очки Грассманиан над F: другими словами, количество подпространств данной размерности k. Для этого нужно только найти порядок стабилизатор подгруппы одного такого подпространства и делясь на только что приведенную формулу теорема о стабилизаторе орбиты.

Эти формулы связаны с Разложение Шуберта грассманиана и являются q-аналоги из Бетти числа комплексных грассманианов. Это был один из ключей к Гипотезы Вейля.

Обратите внимание, что в пределе q ↦ 1 получатель чего-то GL (п, q) переходит в 0! - но при правильной процедуре (деление на (q − 1)^п) мы видим, что это порядок симметричной группы (см. статью Лоршейда) - в философии поле с одним элементом, таким образом интерпретируется симметричная группа как общая линейная группа над полем с одним элементом: S_п ≅ GL (п, 1).

История

Полная линейная группа над простым полем, GL (ν, п), был построен и его порядок вычислен Эварист Галуа в 1832 году в своем последнем письме (к шевалье) и второй (из трех) приложенных рукописях, которые он использовал в контексте изучения Группа Галуа общего уравнения порядка п^ν.^[4]

Специальная линейная группа

Специальная линейная группа, SL (п, F), - группа всех матриц с детерминант 1. Они особенные тем, что лежат на подмножество - они удовлетворяют полиномиальному уравнению (поскольку определитель является полиномом от элементов). Матрицы этого типа образуют группу, поскольку определитель произведения двух матриц является произведением определителей каждой матрицы. SL (п, F) это нормальная подгруппа из GL (п, F).

Если мы напишем F^× для мультипликативная группа из F (исключая 0), то определитель является групповой гомоморфизм

det: GL (п, F) → F^×.

это сюръективно и его ядро особая линейная группа. Поэтому по первая теорема об изоморфизме, GL (п, F) / SL (п, F) является изоморфный к F^×. По факту, GL (п, F) можно записать как полупрямой продукт:

GL (п, F) = SL (п, F) ⋊ F^×

Специальная линейная группа также является производная группа (также известная как коммутаторная подгруппа) группы GL (п, F) (для поля или делительное кольцо F) при условии, что ${ Displaystyle п neq 2}$ или k это не поле с двумя элементами.^[5]

Когда F является р или C, SL (п, F) это Подгруппа Ли из GL (п, F) измерения п² − 1. В Алгебра Ли из SL (п, F) состоит из всех п×п матрицы над F с исчезновением след. Скобка Ли задается коммутатор.

Специальная линейная группа SL (п, р) можно охарактеризовать как группу объем и ориентация сохранение линейные преобразования р^п.

Группа SL (п, C) односвязно, а SL (п, р) не является. SL (п, р) имеет ту же фундаментальную группу, что и GL⁺(п, р), это, Z для п = 2 и Z₂ для п > 2.

Другие подгруппы

Диагональные подгруппы

Набор всех обратимых диагональные матрицы образует подгруппу GL (п, F) изоморфен (F^×)^п. В таких областях, как р и C, они соответствуют изменению масштаба пространства; так называемые расширения и сжатия.

А скалярная матрица диагональная матрица, которая является константой, умноженной на единичная матрица. Множество всех ненулевых скалярных матриц образует подгруппу GL (п, F) изоморфен F^× . Эта группа является центр из GL (п, F). В частности, это нормальная абелева подгруппа.

Центр SL (п, F) представляет собой просто набор всех скалярных матриц с единичным определителем и изоморфен группе пth корни единства в поле F.

Классические группы

Так называемое классические группы являются подгруппами GL (V), которые сохраняют некую билинейная форма в векторном пространстве V. К ним относятся

ортогональная группа, O (V), который сохраняет невырожденный квадратичная форма на V,
симплектическая группа, Sp (V), который сохраняет симплектическая форма на V (невырожденный переменная форма ),
унитарная группа, U (V), который при F = C, сохраняет невырожденную эрмитская форма на V.

Эти группы являются важными примерами групп Ли.

Связанные группы и моноиды

Проективная линейная группа

В проективная линейная группа PGL (п, F) и проективная специальная линейная группа PSL (п, F) являются частные из GL (п, F) и SL (п, F) по их центры (которые состоят из кратных содержащейся в нем единичной матрицы); они наведены действие на связанных проективное пространство.

Аффинная группа

В аффинная группа Aff (п, F) является расширение из GL (п, F) по группе переводов в F^п. Его можно записать как полупрямой продукт:

Aff (п, F) = GL (п, F) ⋉ F^п

где GL (п, F) действует на F^п естественным образом. Аффинную группу можно рассматривать как группу всех аффинные преобразования из аффинное пространство лежащий в основе векторного пространства F^п.

Аналогичные конструкции имеются и для других подгрупп общей линейной группы: например, специальная аффинная группа - подгруппа, определяемая полупрямым произведением, SL (п, F) ⋉ F^п, а Группа Пуанкаре аффинная группа, связанная с Группа Лоренца, O (1, 3, F) ⋉ F^п.

Общая полулинейная группа

В общая полулинейная группа ΓL (п, F) группа всех обратимых полулинейные преобразования, и содержит GL. Полулинейное преобразование - это преобразование, которое является линейным «с точностью до поворота», что означает «с точностью до полевой автоморфизм при скалярном умножении ». Его можно записать как полупрямое произведение:

ΓL (п, F) = Гал (F) ⋉ GL (п, F)

где Gal (F) это Группа Галуа из F (по его основное поле ), который действует на GL (п, F) действием Галуа над записями.

Главный интерес ΓL (п, F) что связанный проективная полулинейная группа PΓL (п, F) (который содержит PGL (п, F)) это группа коллинеации из проективное пространство, для п > 2, поэтому полулинейные отображения представляют интерес проективная геометрия.

Полный линейный моноид

Если снять ограничение на то, что определитель не равен нулю, полученная алгебраическая структура будет моноид, обычно называемый полный линейный моноид,^[6]^[7]^[8] но иногда также полная линейная полугруппа,^[9] общий линейный моноид^[10]^[11] и т.д. На самом деле это регулярная полугруппа.^[7]

Бесконечная общая линейная группа

В бесконечная общая линейная группа или стабильный общая линейная группа это прямой предел включений GL (п, F) → GL (п + 1, F) как верхний левый блочная матрица. Обозначается либо GL (F) или GL (∞, F), а также могут интерпретироваться как обратимые бесконечные матрицы, которые отличаются от единичной матрицы только в конечном числе мест.^[12]

Он используется в алгебраическая K-теория определять K₁, и over the real имеет хорошо понятную топологию благодаря Периодичность Ботта.

Его не следует путать с пространством (ограниченных) обратимых операторов на Гильбертово пространство, которая является большей группой и топологически намного проще, а именно стягиваемой - см. Теорема Койпера.

Смотрите также

Заметки

^ Здесь предполагается, что кольца ассоциативный и единый.
^ Поскольку топология Зарисского грубее чем метрическая топология; эквивалентно, полиномиальные отображения непрерывный.
^ Максимальная компактная подгруппа не единственна, но есть по сути уникальный, поэтому часто говорят о «максимальной компактной подгруппе».
^ Галуа, Эварист (1846). "Lettre de Galois à M. Auguste Chevalier". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. XI: 408–415. Получено 2009-02-04, GL (ν,п) обсуждается на стр. 410.
^ Супруненко, Д.А. (1976), Матричные группы, Переводы математических монографий, Американское математическое общество, Теорема II.9.4
^ Ян Окнинский (1998). Полугруппы матриц. World Scientific. Глава 2: Полный линейный моноид. ISBN 978-981-02-3445-4.
^ ^а ^б Микин (2007). «Группы и полугруппы: связи и контраст». В С. М. Кэмпбелл (ред.). Группы Сент-Эндрюс 2005. Издательство Кембриджского университета. п. 471. ISBN 978-0-521-69470-4.
^ Джон Роудс; Бенджамин Штайнберг (2009). Q-теория конечных полугрупп. Springer Science & Business Media. п. 306. ISBN 978-0-387-09781-7.
^ Эрик Джесперс; Ян Окниски (2007). Нётеровы полугрупповые алгебры. Springer Science & Business Media. 2.3: Полная линейная полугруппа. ISBN 978-1-4020-5810-3.
^ Мейнольф Гек (2013). Введение в алгебраическую геометрию и алгебраические группы. Издательство Оксфордского университета. п. 132. ISBN 978-0-19-967616-3.
^ Махир Билен Джан; Чжэньхэн Ли; Бенджамин Стейнберг; Цян Ван (2014). Алгебраические моноиды, групповые вложения и алгебраическая комбинаторика. Springer. п. 142. ISBN 978-1-4939-0938-4.
^ Милнор, Джон Уиллард (1971). Введение в алгебраическую K-теорию. Летопись математических исследований. 72. Принстон, штат Нью-Джерси: Princeton University Press. п. 25. Г-Н 0349811. Zbl 0237.18005.

внешние ссылки

[ring-1] Здесь предполагается, что кольца ассоциативный и единый.

[2] Поскольку топология Зарисского грубее чем метрическая топология; эквивалентно, полиномиальные отображения непрерывный.

[3] Максимальная компактная подгруппа не единственна, но есть по сути уникальный, поэтому часто говорят о «максимальной компактной подгруппе».

[chevalier-letter-4] Галуа, Эварист (1846). "Lettre de Galois à M. Auguste Chevalier". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. XI: 408–415. Получено 2009-02-04, GL (ν,п) обсуждается на стр. 410.

[5] Супруненко, Д.А. (1976), Матричные группы, Переводы математических монографий, Американское математическое общество, Теорема II.9.4

[Okniński1998-6] Ян Окнинский (1998). Полугруппы матриц. World Scientific. Глава 2: Полный линейный моноид. ISBN 978-981-02-3445-4.

[Meakin-7] а ^б Микин (2007). «Группы и полугруппы: связи и контраст». В С. М. Кэмпбелл (ред.). Группы Сент-Эндрюс 2005. Издательство Кембриджского университета. п. 471. ISBN 978-0-521-69470-4.

[RhodesSteinberg2009-8] Джон Роудс; Бенджамин Штайнберг (2009). Q-теория конечных полугрупп. Springer Science & Business Media. п. 306. ISBN 978-0-387-09781-7.

[JespersOkniski2007-9] Эрик Джесперс; Ян Окниски (2007). Нётеровы полугрупповые алгебры. Springer Science & Business Media. 2.3: Полная линейная полугруппа. ISBN 978-1-4020-5810-3.

[Geck2013-10] Мейнольф Гек (2013). Введение в алгебраическую геометрию и алгебраические группы. Издательство Оксфордского университета. п. 132. ISBN 978-0-19-967616-3.

[CanLi2014-11] Махир Билен Джан; Чжэньхэн Ли; Бенджамин Стейнберг; Цян Ван (2014). Алгебраические моноиды, групповые вложения и алгебраическая комбинаторика. Springer. п. 142. ISBN 978-1-4939-0938-4.

[Mil25-12] Милнор, Джон Уиллард (1971). Введение в алгебраическую K-теорию. Летопись математических исследований. 72. Принстон, штат Нью-Джерси: Princeton University Press. п. 25. Г-Н 0349811. Zbl 0237.18005.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]