SL2 (R) - SL2(R)

В математика, то специальная линейная группа SL (2, R) или SL₂(Р) это группа из 2 × 2 вещественные матрицы с детерминант один:

${displaystyle {mbox{SL}}(2,mathbf {R} )=left{left({egin{matrix}a&bc&dend{matrix}}ight):a,b,c,din mathbf {R} {mbox{ and }}ad-bc=1ight}.}$

Это связаны некомпактный просто настоящая группа Ли размерности 3 с приложениями в геометрия, топология, теория представлений, и физика.

SL (2,р) действует на сложная верхняя полуплоскость дробно-линейными преобразованиями. В групповое действие факторов через частное PSL (2, R) (2 × 2 проективная специальная линейная группа над р). В частности,

PSL (2,р) = SL (2,р)/{±я},

где я обозначает 2 × 2 единичная матрица. Он содержит модульная группа PSL (2,Z).

Также тесно связаны 2-кратные группа покрытия, Мп (2,р), а метаплектическая группа (думая о SL (2,р) как симплектическая группа ).

Еще одна родственная группа - SL^±(2,р) группа вещественных матриц 2 × 2 с определителем ± 1; это чаще используется в контексте модульная группа, Однако.

Описания

SL (2,р) - группа всех линейные преобразования из р² что сохранить ориентированный площадь. это изоморфный к симплектическая группа Sp (2,р) и особая унитарная группа СУ (1,1). Он также изоморфен группе единичной длины кокватернионы. Группа SL^±(2,р) сохраняет неориентированную область: он может перевернуть ориентацию.

Фактор PSL (2,р) имеет несколько интересных описаний:

• Это группа ориентация -сохранение проективные преобразования из реальная проективная линия р ∪ {∞}.
• Это группа конформный автоморфизмы из единичный диск.
• Это группа ориентация -сохранение изометрии из гиперболическая плоскость.
• Это ограниченный Группа Лоренца трехмерного Пространство Минковского. Эквивалентно, он изоморфен неопределенная ортогональная группа ТАК⁺(1,2). Отсюда следует, что SL (2,р) изоморфна вращательная группа Вращение (2,1)⁺.

Элементы модульной группы PSL (2,Z) имеют дополнительные интерпретации, как и элементы группы SL (2,Z) (как линейные преобразования тора), и эти интерпретации также можно рассматривать в свете общей теории SL (2,р).

Омографии

Элементы PSL (2,р) находятся омографии на реальная проективная линия р ∪ {∞}:

${displaystyle [x,1]mapsto [x, 1]{egin{pmatrix}a&c&dend{pmatrix}} = [ax+b, cx+d] = [{frac {ax+b}{cx+d}}, 1].}$

Эти проективные преобразования образуют подгруппу в PSL (2,C), который действует на Сфера Римана к Преобразования Мебиуса.

Когда реальная линия считается границей гиперболическая плоскость, PSL (2,р) выражает гиперболические движения.

Преобразования Мебиуса

Элементы PSL (2,р) действуют на комплексной плоскости преобразованиями Мёбиуса:

${displaystyle zmapsto {frac {az+b}{cz+d}};;;;{mbox{ (where }}a,b,c,din mathbf {R} {mbox{)}}.}$

Это и есть набор преобразований Мёбиуса, сохраняющих верхняя полуплоскость. Отсюда следует, что PSL (2,р) - группа конформных автоморфизмов верхней полуплоскости. Посредством Теорема римана отображения, это также группа конформных автоморфизмов единичного круга.

Эти преобразования Мёбиуса действуют как изометрии из модель верхней полуплоскости гиперболического пространства, а соответствующие преобразования Мёбиуса диска являются гиперболическими изометриями Модель диска Пуанкаре.

Вышеупомянутая формула также может быть использована для определения преобразований Мёбиуса двойной и двойные (также известные как разделенные комплексные) числа. Соответствующие геометрии находятся в нетривиальных соотношениях^[1] к Геометрия Лобачевского.

Присоединенное представительство

Группа SL (2,р) действует на своей алгебре Ли sl (2,р) к спряжение (помните, что элементы алгебры Ли также представляют собой матрицы 2 на 2), что дает точную 3-мерную линейную представление PSL (2,р). Альтернативно это можно описать как действие PSL (2,р) на пространстве квадратичные формы на р². В результате получается следующее представление:

${displaystyle {egin{bmatrix}a&bc&dend{bmatrix}}mapsto {egin{bmatrix}a^{2}&2ab&b^{2}ac&ad+bc&bdc^{2}&2cd&d^{2}end{bmatrix}}.}$

В Форма убийства на sl (2,р) имеет подпись (2,1), и индуцирует изоморфизм между PSL (2,р) и Группа Лоренца ТАК⁺(2,1). Это действие PSL (2,р) на Пространство Минковского ограничивается изометрическим действием PSL (2,р) на модель гиперболоида гиперболической плоскости.

Классификация элементов

В собственные значения элемента А ∈ SL (2,р) удовлетворяют характеристический многочлен

${displaystyle lambda ^{2},-,mathrm {tr} (A),lambda ,+,1,=,0}$

и поэтому

${displaystyle lambda ={frac {mathrm {tr} (A)pm {sqrt {mathrm {tr} (A)^{2}-4}}}{2}}.}$

Это приводит к следующей классификации элементов с соответствующим действием на евклидовой плоскости:

• Если | tr (А) | <2, то А называется эллиптический, и сопряжен с вращение.
• Если | tr (А) | = 2, то А называется параболический и является картирование сдвига.
• Если | tr (А) | > 2, то А называется гиперболический и является сжатие.

Названия соответствуют классификации конические секции к эксцентриситет: если определить эксцентриситет как половину абсолютного значения трассы (ε = ½ tr; деление на 2 корректирует влияние размера, тогда как абсолютное значение соответствует игнорированию общего коэффициента ± 1, например, при работе в PSL (2, р)), то получаем: ${displaystyle epsilon <1}$, эллиптическая; ${displaystyle epsilon =1}$параболический; ${displaystyle epsilon >1}$, гиперболический.

Элемент идентичности 1 и отрицательный элемент идентичности -1 (в PSL (2,р) они одинаковы), имеют след ± 2 и, следовательно, по этой классификации являются параболическими элементами, хотя часто их рассматривают отдельно.

Та же классификация используется для SL (2,C) и PSL (2,C) (Преобразования Мебиуса ) и PSL (2,р) (реальные преобразования Мебиуса) с добавлением «локсодромных» преобразований, соответствующих сложным трассам; аналогичные классификации используются в других местах.

Подгруппа, содержащаяся с эллиптическими (соответственно параболическими, гиперболическими) элементами, а также тождественной и отрицательной тождественностью, называется эллиптическая подгруппа (соответственно, параболическая подгруппа, гиперболическая подгруппа).

Это классификация на подмножества, нет подгруппы: эти множества не замкнуты относительно умножения (произведение двух параболических элементов не обязательно должно быть параболическим и т. д.). Однако все элементы сопряжены в один из 3 стандартных однопараметрические подгруппы (возможно, умноженное на ± 1), как подробно описано ниже.

Топологически, поскольку след является непрерывным отображением, эллиптические элементы (исключая ± 1) являются открытый набор, как и гиперболические элементы (исключая ± 1), а параболические элементы (включая ± 1) являются закрытый набор.

Эллиптические элементы

В собственные значения для эллиптического элемента являются как сложными, так и сопрягать ценности на единичный круг. Такой элемент сопряжен с вращение евклидовой плоскости - их можно интерпретировать как повороты в возможно неортогональном базисе - и соответствующий элемент PSL (2,р) действует как (сопряжено с) a вращение гиперболической плоскости и Пространство Минковского.

Эллиптические элементы модульная группа должны иметь собственные значения {ω, ω⁻¹}, где ω примитивный 3-й, 4-й или 6-й корень единства. Это все элементы модулярной группы с конечным порядок, и они действуют на тор как периодические диффеоморфизмы.

Элементы следа 0 можно назвать «круговыми элементами» (по аналогии с эксцентриситетом), но это делается редко; им соответствуют элементы с собственными значениями ±я, и сопряжены повороту на 90 °, а квадрат -я: они неидентичность инволюции в PSL (2).

Эллиптические элементы сопряжены в подгруппу поворотов евклидовой плоскости, специальная ортогональная группа SO (2); угол поворота arccos половины трассы, причем знак поворота определяется ориентацией. (Вращение и обратное ему вращение сопряжены в GL (2), но не в SL (2).)

Параболические элементы

Параболический элемент имеет только одно собственное значение, равное 1 или -1. Такой элемент действует как картирование сдвига на евклидовой плоскости и соответствующий элемент из PSL (2,р) действует как ограничение вращения гиперболической плоскости и как нулевое вращение из Пространство Минковского.

Параболические элементы модульная группа вести себя как Ден скручивает тора.

Параболические элементы сопряжены в двухкомпонентную группу стандартных ножниц × ±я: ${displaystyle left({egin{smallmatrix}1&lambda &1end{smallmatrix}}ight) imes {pm I}}$. Фактически, все они сопряжены (в SL (2)) одной из четырех матриц ${displaystyle left({egin{smallmatrix}1&pm 1&1end{smallmatrix}}ight)}$, ${displaystyle left({egin{smallmatrix}-1&pm 1&-1end{smallmatrix}}ight)}$ (в GL (2) или SL^±(2) знак ± можно опустить, но в SL (2) нельзя).

Гиперболические элементы

В собственные значения для гиперболического элемента являются как действительными, так и обратными. Такой элемент действует как сжатие евклидовой плоскости и соответствующий элемент из PSL (2,р) действует как перевод гиперболической плоскости и как Повышение лоренца на Пространство Минковского.

Гиперболические элементы модульная группа вести себя как Диффеоморфизмы Аносова тора.

Гиперболические элементы сопряжены в двухкомпонентную группу стандартных сжатий × ±я: ${displaystyle left({egin{smallmatrix}lambda &lambda ^{-1}end{smallmatrix}}ight) imes {pm I}}$; то гиперболический угол гиперболического вращения задается формулой аркош половины трассы, но знак может быть положительным или отрицательным: в отличие от эллиптического случая сжатие и обратное ему сопряжены в SL₂ (поворотом по осям; для стандартных осей поворот на 90 °).

Классы сопряженности

К Нормальная форма Джордана, матрицы классифицируются с точностью до сопряженности (в GL (п,C)) собственными значениями и нильпотентностью (конкретно, нильпотентность означает, что единицы встречаются в жордановых клетках). Таким образом, элементы SL (2) классифицируются с точностью до сопряженности в GL (2) (или действительно SL^±(2)) по следу (поскольку определитель фиксирован, а след и определитель определяют собственные значения), кроме случаев, когда собственные значения равны, поэтому ± I и параболические элементы следа +2 и следа -2 не сопряжены (первые не имеют недиагональные записи в жордановой форме, а последние -).

Вплоть до сопряжения в SL (2) (вместо GL (2)) существует дополнительная точка отсчета, соответствующая ориентации: вращение по часовой стрелке и против часовой стрелки (эллиптическое) не сопряжены, равно как и положительный и отрицательный сдвиг, как описано выше. ; таким образом, для абсолютного значения следа меньше 2, существует два класса сопряженности для каждого следа (вращения по часовой стрелке и против часовой стрелки), для абсолютного значения следа, равного 2, существует три класса сопряженности для каждой трассы (положительный сдвиг, идентичность, отрицательный сдвиг ), а для абсолютного значения трассы больше 2 существует один класс сопряженности для данной трассы.

Топология и универсальное покрытие

Как топологическое пространство, PSL (2,р) можно описать как единичный касательный пучок гиперболической плоскости. Это связка кругов, и имеет естественный структура контактов вызванный симплектическая структура на гиперболической плоскости. SL (2,р) является 2-кратным покрытием PSL (2,р), и его можно рассматривать как набор спиноры на гиперболической плоскости.

Фундаментальная группа SL (2,р) является бесконечным циклическая группа Z. В универсальная группа покрытий, обозначенный ${displaystyle {overline {{mbox{SL}}(2,mathbf {R} )}}}$, является примером конечномерной группы Ли, не являющейся матричная группа. Это, ${displaystyle {overline {{mbox{SL}}(2,mathbf {R} )}}}$ не признает верный, конечномерные представление.

Как топологическое пространство, ${displaystyle {overline {{mbox{SL}}(2,mathbf {R} )}}}$ является линейным расслоением над гиперболической плоскостью. При наполнении левоинвариантом метрика, то 3-х коллекторный ${displaystyle {overline {{mbox{SL}}(2,mathbf {R} )}}}$ становится одним из восемь геометрий Терстона. Например, ${displaystyle {overline {{mbox{SL}}(2,mathbf {R} )}}}$ является универсальным покрытием единичного касательного расслоения к любому гиперболическая поверхность. Любой коллектор по образцу ${displaystyle {overline {{mbox{SL}}(2,mathbf {R} )}}}$ ориентируема и является связка кругов над некоторой двумерной гиперболической орбифолд (а Волоконное пространство Зейферта ).

В группа кос B₃ это универсальное центральное расширение из модульная группа.

Под этим покрытием прообраз модульной группы PSL (2,Z) это группа кос на 3 генераторах, B₃, какой универсальное центральное расширение модульной группы. Это решетки внутри соответствующих алгебраических групп, и это алгебраически соответствует универсальной накрывающей группе в топологии.

2-кратную накрывающую группу можно идентифицировать как Mp (2,р), а метаплектическая группа, думая о SL (2,р) как симплектическая группа Sp (2,р).

Вышеупомянутые группы вместе образуют последовательность:

${displaystyle {overline {mathrm {SL} (2,mathbf {R} )}} o cdots o mathrm {Mp} (2,mathbf {R} ) o mathrm {SL} (2,mathbf {R} ) o mathrm {PSL} (2,mathbf {R} ).}$

Однако существуют и другие накрывающие группы PSL (2,р) соответствующий всем п, так как п Z < Z ≅ π₁ (PSL (2,р)), которые образуют решетка накрывающих групп по делимости; эти покрывают SL (2,р) если и только если п даже.

Алгебраическая структура

В центр SL (2,р) - двухэлементная группа {± 1}, а группа частное PSL (2,р) является просто.

Дискретные подгруппы PSL (2,р) называются Фуксовы группы. Это гиперболический аналог евклидова группы обоев и Фриз-группы. Самым известным из них является модульная группа PSL (2,Z), который действует на мозаику гиперболической плоскости идеальными треугольниками.

В круговая группа ТАК (2) это максимальная компактная подгруппа SL (2,р), а окружность SO (2) / {± 1} - максимальная компактная подгруппа в PSL (2,р).

В Множитель Шура дискретной группы PSL (2,р) намного больше, чем Z, и универсальный центральное расширение намного больше универсальной накрывающей группы. Однако эти большие центральные расширения не принимают во внимание топологию и несколько патологичны.

Теория представлений

Основная статья: Теория представлений SL2 (R)

SL (2,р) - вещественная некомпактная простая группа Ли, и является расщепляемой вещественной формой комплексной группы Ли SL (2,C). В Алгебра Ли SL (2,р), обозначаемый sl (2,р), является алгеброй всех действительных, бесследный Матрицы 2 × 2. Это Алгебра Бьянки типа VIII.

Конечномерная теория представлений SL (2,р) эквивалентно теория представлений SU (2), которая является компактной вещественной формой SL (2,C). В частности, SL (2,р) не имеет нетривиальных конечномерных унитарных представлений. Это особенность любой связной простой некомпактной группы Ли. Схема доказательства см. неунитарность представлений.

Бесконечномерная теория представлений SL (2,р) довольно интересно. В группе есть несколько семейств унитарных представлений, детально разработанных Гельфанд и Наймарк (1946), В. Баргманн (1947), и Хариш-Чандра (1952).

Смотрите также

• линейная группа
• специальная линейная группа
• проективная линейная группа
• модульная группа
• SL (2,C) (Преобразования Мёбиуса)
• проективное преобразование
• Фуксова группа
• Таблица групп Ли
• Аносов поток

Рекомендации

1. Кисиль, Владимир В. (2012). Геометрия преобразований Мёбиуса. Эллиптическое, параболическое и гиперболическое действия SL (2, R). Лондон: Imperial College Press. п. xiv + 192. Дои:10.1142 / p835. ISBN  978-1-84816-858-9. Г-Н  2977041.

• Баргманн, Валентин (1947). «Неприводимые унитарные представления группы Лоренца». Анналы математики. 48 (3): 568–640. Дои:10.2307/1969129. JSTOR  1969129. Г-Н  0021942.
• Гельфанд, Израиль Моисеевич; Ноймарк, Марк Аронович (1946). «Унитарные представления группы Лоренца». Акад. Sci. СССР. J. Phys. 10: 93–94. Г-Н  0017282.
• Хариш-Чандра (1952). "Формула Планшереля для вещественной унимодулярной группы 2 × 2". Proc. Natl. Акад. Sci. СОЕДИНЕННЫЕ ШТАТЫ АМЕРИКИ. 38: 337–342. Дои:10.1073 / pnas.38.4.337. Г-Н  0047055. ЧВК  1063558. PMID  16589101.
• Ланг, Серж (1985). ${displaystyle mathrm {SL} _{2}(mathbf {R} )}$. Тексты для выпускников по математике. 105. Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-1-4612-5142-2. ISBN  0-387-96198-4. Г-Н  0803508.
• Терстон, Уильям (1997). Трехмерная геометрия и топология. Vol. 1. Принстонский математический ряд. 35. Под редакцией Сильвио Леви. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-08304-5. Г-Н  1435975.