Верное представительство - Faithful representation

В математика, особенно в районе абстрактная алгебра известный как теория представлений, а верное представление ρ группа ${\displaystyle G}$ на векторное пространство ${\displaystyle V}$ это линейное представление в котором разные элементы ${\displaystyle g}$ из ${\displaystyle G}$ представлены различными линейными отображениями ${\displaystyle \rho (g)}$.

На более абстрактном языке это означает, что групповой гомоморфизм

${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$

является инъективный (или же один к одному ).

Предостережение: Хотя представления ${\displaystyle G}$ над полем ${\displaystyle K}$ находятся де-факто такой же как ${\displaystyle K[G]}$-модули (с ${\displaystyle K[G]}$ обозначая групповая алгебра группы ${\displaystyle G}$), точное представление ${\displaystyle G}$ не обязательно верный модуль для групповой алгебры. Фактически каждый верный ${\displaystyle K[G]}$-модуль является точным представлением ${\displaystyle G}$, но обратное неверно. Рассмотрим, например, естественное представление симметричная группа ${\displaystyle S_{n}}$ в ${\displaystyle n}$ размеры по матрицы перестановок, что, безусловно, верно. Здесь порядок группы ${\displaystyle n}$! в то время как ${\displaystyle n\times n}$ матрицы образуют векторное пространство размерности ${\displaystyle n^{2}}$. Как только ${\displaystyle n}$ не меньше 4, подсчет размерностей означает, что между матрицами перестановок должна иметь место некоторая линейная зависимость (поскольку ${\displaystyle 24>16}$); это соотношение означает, что модуль групповой алгебры не точен.

Характеристики

Представление ${\displaystyle V}$ конечной группы ${\displaystyle G}$ над алгебраически замкнутым полем ${\displaystyle K}$ нулевой характеристики является точным (как представление) тогда и только тогда, когда каждое неприводимое представление ${\displaystyle G}$ происходит как субпредставление ${\displaystyle S^{n}V}$ (в ${\displaystyle n}$-я симметричная степень представления ${\displaystyle V}$) для достаточно высокого ${\displaystyle n}$. Также, ${\displaystyle V}$ является точным (как представление) тогда и только тогда, когда каждое неприводимое представление ${\displaystyle G}$ происходит как субпредставление

${\displaystyle V^{\otimes n}=\underbrace {V\otimes V\otimes \cdots \otimes V} _{n{\text{ times}}}}$

(в ${\displaystyle n}$-я тензорная степень представления ${\displaystyle V}$) для достаточно высокой ${\displaystyle n}$.^{[нужна цитата ]}

Рекомендации

"верное представление", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]