Диффеоморфизм Аносова - Anosov diffeomorphism

В математика, особенно в областях динамические системы и геометрическая топология, Карта Аносова на многообразие M это определенный тип отображения, из M себе, с достаточно четко обозначенными локальными направлениями «расширения» и «сжатия». Системы Аносова - частный случай Аксиома А системы.

Диффеоморфизмы Аносова были представлены Дмитрий Викторович Аносов, которые доказали, что их поведение было в правильном смысле общий (когда они вообще существуют).^[1]

Обзор

Следует различать три тесно связанных определения:

Если дифференцируемый карта ж на M имеет гиперболическая структура на касательный пучок, то он называется Карта Аносова. Примеры включают Карта Бернулли, и Карта кошек Арнольда.
Если карта диффеоморфизм, то он называется Диффеоморфизм Аносова.
Если течь на многообразии разбивает касательное расслоение на три инвариантных подгруппы, с одним подгруппой, которая экспоненциально сжимается, и другой, которая экспоненциально расширяется, и третьей, нерасширяющейся, не сжимающейся одномерной подгруппой (охватываемой направлением потока), то поток называется Аносов поток.

Классическим примером диффеоморфизма Аносова является Карта кошек Арнольда.

Аносов доказал, что диффеоморфизмы Аносова являются структурно стабильный и образуют открытое подмножество отображений (потоков) с C¹ топология.

Не всякое многообразие допускает диффеоморфизм Аносова; например, таких диффеоморфизмов на сфера . Простейшими примерами допускающих их компактных многообразий являются торы: они допускают так называемые линейные диффеоморфизмы Аносова, которые являются изоморфизмами, не имеющими собственного значения модуля 1. Было доказано, что любой другой диффеоморфизм Аносова на торе является топологически сопряженный к одному из таких.

Проблема классификации многообразий, допускающих диффеоморфизмы Аносова, оказалась очень сложной, и по состоянию на 2012 г.^{[Обновить]} нет ответа. Единственные известные примеры: инфранильные многообразия, и предполагается, что они единственные.

Достаточным условием транзитивности является неблуждаемость всех точек: ${ Displaystyle Omega (е) = M}$ .

Также неизвестно, каждый ли ${ displaystyle C ^ {1}}$ сохраняющий объем диффеоморфизм Аносова эргодичен. Аносов доказал это под ${ displaystyle C ^ {2}}$ предположение. Это также верно для ${ displaystyle C ^ {1+ alpha}}$ сохраняющие объем диффеоморфизмы Аносова.

Для ${ displaystyle C ^ {2}}$ транзитивный диффеоморфизм Аносова ${ displaystyle f двоеточие M to M}$ существует уникальная мера SRB (аббревиатура расшифровывается как Sinai, Ruelle и Bowen) ${ displaystyle mu _ {f}}$ поддерживается на ${ displaystyle M}$ так что его бассейн ${ Displaystyle Б ( му _ {е})}$ имеет полный объем, где

{ displaystyle B ( mu _ {f}) = left {x in M: { frac {1} {n}} sum _ {k = 0} ^ {n-1} delta _ { f ^ {k} x} to mu _ {f} right }.}

Поток Аносова на (касательных расслоениях) римановых поверхностей

В качестве примера в этом разделе развивается случай течения Аносова на касательный пучок из Риманова поверхность отрицательного кривизна. Этот поток можно понять в терминах потока на касательном пучке Модель полуплоскости Пуанкаре гиперболической геометрии. Римановы поверхности отрицательной кривизны можно определить как Фуксовы модели, то есть как частные верхняя полуплоскость и Фуксова группа. Для следующего пусть ЧАС быть верхней полуплоскостью; пусть Γ - фуксова группа; позволять M = ЧАС/ Γ - риманова поверхность отрицательной кривизны как фактор, полученный от "M" по действию группы Γ, и пусть ${ displaystyle T ^ {1} M}$ - касательное расслоение векторов единичной длины на многообразии M, и разреши ${ displaystyle T ^ {1} H}$ - касательное расслоение векторов единичной длины на ЧАС. Обратите внимание, что пучок векторов единичной длины на поверхности - это основной пакет комплекса линейный пакет.

Векторные поля Ли

Начнем с того, что ${ displaystyle T ^ {1} H}$ изоморфен Группа Ли PSL (2,р). Эта группа является группой сохраняющих ориентацию изометрии верхней полуплоскости. В Алгебра Ли PSL (2,р) является sl (2,р) и представлен матрицами

{ displaystyle J = { begin {pmatrix} 1/2 & 0 0 & -1 / 2 end {pmatrix}} qquad X = { begin {pmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {pmatrix} } qquad Y = { begin {pmatrix} 0 & 0 1 & 0 end {pmatrix}}}

которые имеют алгебру

{ Displaystyle [J, X] = X qquad [J, Y] = - Y qquad [X, Y] = 2J}

В экспоненциальные карты

{ displaystyle g_ {t} = exp (tJ) = { begin {pmatrix} e ^ {t / 2} & 0 0 & e ^ {- t / 2} end {pmatrix}} qquad h_ { t} ^ {*} = exp (tX) = { begin {pmatrix} 1 & t 0 & 1 end {pmatrix}} qquad h_ {t} = exp (tY) = { begin {pmatrix} 1 & 0 t & 1 конец {pmatrix}}}

определить правоинвариантный потоки на многообразии ${ displaystyle T ^ {1} H = operatorname {PSL} (2, mathbb {R})}$ , а также на ${ displaystyle T ^ {1} M}$ . Определение ${ displaystyle P = T ^ {1} H}$ и ${ displaystyle Q = T ^ {1} M}$ эти потоки определяют векторные поля на п и Q, векторы которой лежат в TP и TQ. Это просто стандартные, обычные векторные поля Ли на многообразии группы Ли, и приведенное выше представление является стандартным изложением векторного поля Ли.

Аносов поток

Связь с потоком Аносова происходит из осознания того, что ${ displaystyle g_ {t}}$ это геодезический поток на п и Q. Векторные поля Ли, будучи (по определению) инвариантными под действием элемента группы, следует, что эти поля остаются инвариантными по отношению к конкретным элементам. ${ displaystyle g_ {t}}$ геодезического потока. Другими словами, пробелы TP и TQ разбиты на три одномерных пространства, или подгруппы, каждый из которых инвариантен относительно геодезического потока. Последний шаг - заметить, что векторные поля в одном подгруппе расширяются (и расширяются экспоненциально), поля в другом не меняются, а поля в третьем сжимаются (и делают это экспоненциально).

Точнее, касательный пучок TQ можно записать как прямая сумма

{ Displaystyle TQ = E ^ {+} oplus E ^ {0} oplus E ^ {-}}

или в какой-то момент ${ Displaystyle г cdot е = д в Q}$ , прямая сумма

{ displaystyle T_ {q} Q = E_ {q} ^ {+} oplus E_ {q} ^ {0} oplus E_ {q} ^ {-}}

соответствующие генераторы алгебры Ли Y, J и Икссоответственно переносятся левым действием группового элемента г, от происхождения е к точке q. То есть есть ${ displaystyle E_ {e} ^ {+} = Y, E_ {e} ^ {0} = J}$ и ${ displaystyle E_ {e} ^ {-} = X}$ . Эти пространства каждое подгруппы, и сохраняются (инвариантны) под действием геодезический поток; то есть под действием элементов группы ${ displaystyle g = g_ {t}}$ .

Чтобы сравнить длины векторов в ${ displaystyle T_ {q} Q}$ в разных точках q, нужна метрика. Любые внутренний продукт в ${ displaystyle T_ {e} P = sl (2, mathbb {R})}$ продолжается до левоинвариантного Риманова метрика на п, а значит, и к римановой метрике на Q. Длина вектора ${ displaystyle v in E_ {q} ^ {+}}$ экспоненциально расширяется как exp (t) под действием ${ displaystyle g_ {t}}$ . Длина вектора ${ displaystyle v in E_ {q} ^ {-}}$ экспоненциально сжимается как exp (-t) под действием ${ displaystyle g_ {t}}$ . Векторы в ${ displaystyle E_ {q} ^ {0}}$ без изменений. Это можно увидеть, изучив, как коммутируют элементы группы. Геодезический поток инвариантен,

{ displaystyle g_ {s} g_ {t} = g_ {t} g_ {s} = g_ {s + t}}

но два других сжимаются и расширяются:

{ displaystyle g_ {s} h_ {t} ^ {*} = h_ {t exp (-s)} ^ {*} g_ {s}}

и

{ displaystyle g_ {s} h_ {t} = h_ {t exp (s)} g_ {s}}

где напомним, что касательный вектор в ${ displaystyle E_ {q} ^ {+}}$ дается производная, относительно т, из кривая ${ displaystyle h_ {t}}$ , Настройки ${ displaystyle t = 0}$ .

Геометрическая интерпретация течения Аносова

Действуя по делу ${ displaystyle z = i}$ верхней полуплоскости, ${ displaystyle g_ {t}}$ соответствует геодезический на верхней полуплоскости, проходящей через точку ${ displaystyle z = i}$ . Акция стандартная Преобразование Мёбиуса действие SL (2,р) в верхней полуплоскости, так что

{ displaystyle g_ {t} cdot i = { begin {pmatrix} exp (t / 2) & 0 0 & exp (-t / 2) end {pmatrix}} cdot i = i exp ( t)}

Общая геодезическая задается формулой

{ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} cdot i exp (t) = { frac {ai exp (t) + b} {ci exp (t) + d }}}

с участием а, б, c и d настоящий, с ${ displaystyle ad-bc = 1}$ . Кривые ${ displaystyle h_ {t} ^ {*}}$ и ${ displaystyle h_ {t}}$ называются орициклы. Орициклы соответствуют движению нормальных векторов горосфера в верхней полуплоскости.

Смотрите также

Заметки

^ Дмитрий Васильевич Аносов, Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны, (1967) Proc. Стеклова Математика. 90.

использованная литература

«Y-система, U-система, C-система», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Энтони Мэннинг, Динамика геодезических и орицикловых потоков на поверхностях постоянной отрицательной кривизны, (1991), появляясь как Глава 3 в Эргодическая теория, символическая динамика и гиперболические пространства, Тим Бедфорд, Майкл Кин и Кэролайн Серии, ред. Издательство Оксфордского университета, Оксфорд (1991). ISBN 0-19-853390-X (Дает объяснительное введение в поток Аносова на SL (2,р).)
В статье использован материал из диффеоморфизма Аносова по PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.
Тошиказу Сунада, Магнитные потоки на римановой поверхности, Proc. KAIST Math. Мастерская (1993), 93–108.

[1] Дмитрий Васильевич Аносов, Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны, (1967) Proc. Стеклова Математика. 90.

[1]