Синхронизация хаоса - Synchronization of chaos

Синхронизация хаоса это явление, которое может возникать, когда два или более рассеивающих хаотические системы связаны.

Из-за экспоненциального расхождения близлежащих траекторий хаотических систем наличие двух хаотических систем, развивающихся синхронно, может показаться удивительным. Однако синхронизация связанных или управляемых хаотических генераторов - это явление, хорошо установленное экспериментально и достаточно хорошо понимаемое теоретически.

Устойчивость синхронизации связанных систем можно проанализировать с помощью мастер стабильности. Синхронизация хаоса - это богатое явление и междисциплинарная тема с широким спектром приложений.^[1][2][3]

Синхронизация может иметь различные формы в зависимости от природы взаимодействующих систем и типа связи, а также близости между системами.

Идентичная синхронизация

Этот тип синхронизации также известен как полная синхронизация. Это можно наблюдать для одинаковых хаотических систем. Говорят, что системы полностью синхронизированы, если есть набор начальных условий, так что системы в конечном итоге развиваются одинаково во времени. В простейшем случае двух диффузно связанных динамики описывается выражением

${displaystyle x^{prime }=F(x)+alpha (y-x)}$

${displaystyle y^{prime }=F(y)+alpha (x-y)}$

где ${displaystyle F}$ - векторное поле, моделирующее изолированную хаотическую динамику, и ${displaystyle alpha }$ - параметр связи. ${displaystyle x(t)=y(t)}$ определяет инвариантное подпространство связанной системы, если это подпространство ${displaystyle x(t)=y(t)}$ локально привлекательно, то связанная система демонстрирует идентичную синхронизацию.

Если связь исчезает, осцилляторы разъединяются, и хаотическое поведение приводит к расхождению близлежащих траекторий. Полная синхронизация происходит за счет взаимодействия, если параметр связи достаточно велик, чтобы расхождение траекторий взаимодействующих систем из-за хаоса подавлялось диффузионной связью. Чтобы найти критическую силу связи, мы исследуем поведение разности ${displaystyle v=x-y}$. При условии, что ${displaystyle v}$ мала, мы можем разложить векторное поле последовательно и получить линейное дифференциальное уравнение, пренебрегая остатком Тейлора, определяющим поведение разности

${displaystyle v^{prime }=DF(x(t))v-2alpha v}$

где ${displaystyle DF(x(t))}$ обозначает якобиан векторного поля вдоль решения. Если ${displaystyle alpha =0}$ тогда получаем

${displaystyle u^{prime }=DF(x(t))u,}$

а так как динамика хаотична, имеем ${displaystyle |u(t)|leq |u(0)|e^{lambda t}}$, где ${displaystyle lambda }$ обозначает максимальный показатель Ляпунова изолированной системы. Теперь с помощью анзаца ${displaystyle v=ue^{-2alpha t}}$перейдем от уравнения для ${displaystyle v}$ к уравнению для ${displaystyle u}$. Следовательно, получаем

${displaystyle |v(t)|leq |u(0)|e^{(-2alpha +lambda )t}}$

дать критическую прочность сцепления ${displaystyle alpha _{c}=lambda /2}$, для всех ${displaystyle alpha >alpha _{c}}$ система демонстрирует полную синхронизацию. Наличие критической силы связи связано с хаотическим характером изолированной динамики.

В общем, это рассуждение приводит к правильному критическому значению связи для синхронизации. Однако в некоторых случаях можно наблюдать потерю синхронизации для значений прочности связи, превышающих критическое значение. Это происходит потому, что нелинейные члены, которые не учитываются при выводе критического значения связи, могут играть важную роль и разрушать экспоненциальную оценку поведения разности.^[4] Однако можно строго рассмотреть эту проблему и получить критическое значение, чтобы нелинейности не влияли на стабильность.^[5]

Обобщенная синхронизация

Этот тип синхронизации происходит в основном, когда связанные хаотические генераторы различны, хотя также сообщалось о случаях между идентичными генераторами. Учитывая динамические переменные (x₁,Икс₂, ...,Икс_п) и (y₁, y₂, ..., y_м), которые определяют состояние осцилляторов, обобщенная синхронизация происходит, когда существует функционал Φ, такой, что после временной эволюции от соответствующих начальных условий он равен [y₁(t), y₂(t), ..., y_м(t)] = Φ [x₁(t), х₂(t), ..., х_п(t)]. Это означает, что динамическое состояние одного из осцилляторов полностью определяется состоянием другого. Когда генераторы взаимно связаны, этот функционал должен быть обратимым, если есть конфигурация отклика возбуждения, привод определяет развитие отклика, и Φ не обязательно должен быть обратимым. Идентичная синхронизация - это частный случай обобщенной синхронизации, когда Φ - это тождество.

Фазовая синхронизация

Фазовая синхронизация происходит, когда связанные хаотические генераторы поддерживают ограниченную разность фаз, а их амплитуды остаются некоррелированными. Это явление происходит, даже если генераторы не идентичны. Наблюдение фазовой синхронизации требует предварительного определения фазы хаотического генератора. Во многих практических случаях можно найти плоскость в фазовом пространстве, в которой проекция траекторий осциллятора следует за вращением вокруг четко определенного центра. В этом случае фаза определяется углом φ (t), который описывается отрезком, соединяющим центр вращения и проекцию точки траектории на плоскость. В других случаях по-прежнему возможно определить фазу с помощью методов, предусмотренных теорией обработка сигнала, такой как Преобразование Гильберта. В любом случае, если φ₁(t) и φ₂(t) обозначают фазы двух связанных осцилляторов, синхронизация фазы задается соотношением nφ₁(t) = mφ₂(t) с m и n целыми числами.

Ожидаемая и запаздывающая синхронизация

В этих случаях синхронизированное состояние характеризуется таким интервалом времени τ, что динамические переменные осцилляторов (x₁,Икс₂, ...,Икс_п) и (x '₁, Икс'₂,...,Икс'_п), связаны соотношением x '_я(t) = х_я(t + τ); это означает, что динамика одного из осцилляторов следует за динамикой другого или опережает ее. Ожидаемая синхронизация между хаотическими осцилляторами, динамика которых описывается дифференциальные уравнения с запаздыванием, соединенных в конфигурации «возбуждение-отклик». В этом случае реакция предвосхищает динамику привода. Задержка синхронизации может возникнуть при увеличении силы связи между синхронизированными по фазе генераторами.

Синхронизация огибающей амплитуды

Это мягкая форма синхронизации, которая может возникнуть между двумя слабосвязанными хаотическими осцилляторами. В этом случае нет корреляции между фазами и амплитудами; вместо этого колебания двух систем образуют периодическую огибающую, которая имеет одинаковую частоту в двух системах.

Это имеет тот же порядок величины, что и разница между средними частотами колебаний двух хаотических осцилляторов. Часто синхронизация огибающей амплитуды предшествует фазовой синхронизации в том смысле, что, когда сила связи между двумя генераторами, синхронизированными с огибающей амплитуды, увеличивается, развивается фазовая синхронизация.

Все эти формы синхронизации обладают свойством асимптотической устойчивости. Это означает, что по достижении синхронизированного состояния эффект небольшого возмущения, разрушающего синхронизацию, быстро затухает, и синхронизация снова восстанавливается. Математически асимптотическая устойчивость характеризуется положительным Показатель Ляпунова системы, состоящей из двух осцилляторов, которая становится отрицательной при достижении хаотической синхронизации.

Некоторые хаотические системы позволяют еще сильнее контроль над хаосом, и синхронизация хаоса и контроль над хаосом составляют части того, что известно как "кибернетическая физика ".

Заметки

1. Аренас, Алекс; Диас-Гилера, Альберт; Куртс, Юрген; Морено, Ямир; Чжоу, Чансон (01.12.2008). «Синхронизация в сложных сетях». Отчеты по физике. 469 (3): 93–153. arXiv:0805.2976. Bibcode:2008ФР ... 469 ... 93А. Дои:10.1016 / j.physrep.2008.09.002.
2. Ву, Чай Ва (2007). Синхронизация в сложных сетях нелинейных динамических систем. Дои:10.1142/6570. ISBN  978-981-270-973-8.
3. Эроглу, Дениз; Lamb, Jeroen S.W .; Перейра, Тьяго (2017). «Синхронизация хаоса и его приложений». Современная физика. 58 (3): 207–243. Дои:10.1080/00107514.2017.1345844. HDL:10044/1/53479. ISSN  0010-7514.
4. Эшвин, Питер (2009-08-09). «Пузырьковый переход». Scholarpedia. 1 (8): 1725. Bibcode:2006SchpJ ... 1.1725A. Дои:10.4249 / scholarpedia.1725. ISSN  1941-6016.
5. Тьяго Перейра, Устойчивость синхронизированного движения в сложных сетях, arXiv: 1112.2297v1, 2011.

использованная литература

• Пиковский, А .; Rosemblum, M .; Куртс, Дж. (2001). Синхронизация: универсальная концепция нелинейных наук. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-53352-2.
• Гонсалес-Миранда, Дж. М. (2004). Синхронизация и контроль хаоса. Введение для ученых и инженеров. Imperial College Press. ISBN  978-1-86094-488-8.
• Фрадков А.Л. Кибернетическая физика: от управления хаосом до квантового управления. Springer-Verlag, 2007, (Предварительная русскоязычная версия: Санкт-Петербург, Наука, 2003).