Качающаяся машина Этвуда - Swinging Atwoods machine - Wikipedia

Машина Качающегося Этвуда. Меньшая масса, обозначенная m, может свободно качаться, тогда как большая масса M может двигаться только вверх и вниз. Предположим, что точки поворота.

В качающаяся машина Этвуда (SAM) - это механизм, напоминающий простой Машина Этвуда за исключением того, что одна из масс может качаться в двухмерной плоскости, создавая динамическая система то есть хаотичный для некоторых параметров системы и первоначальные условия.

В частности, он состоит из двух масс (маятник, масса ${\displaystyle m}$ и противовес, масса ${\displaystyle M}$) связаны нерастяжимый, безмассовая струна подвешена на двух без трения шкивы нулевого радиуса так, чтобы маятник мог свободно вращаться вокруг своего шкива, не сталкиваясь с противовесом.^[1]

Обычная машина Этвуда допускает только «побеги» (т.е. либо маятник, либо противовес в конечном итоге сталкивается со своим шкивом), за исключением ${\displaystyle M=m}$. Однако качающаяся машина Этвуда с ${\displaystyle M>m}$ имеет большой пространство параметров условий, которые приводят к множеству движений, которые можно классифицировать как завершающие или не прекращающиеся, периодические, квазипериодические или хаотические, ограниченные или неограниченные, сингулярные или неособые^[1][2] из-за маятника реактивная центробежная сила противодействовать весу противовеса.^[1] Исследование SAM началось как часть докторской диссертации 1982 г. Улыбки и слезы (имея в виду форму некоторых траекторий системы) на Николас Туфилларо в Рид Колледж, режиссер Дэвид Дж. Гриффитс.^[3]

Уравнения движения

Движение качающейся машины Этвуда для M / m = 4,5

Качающаяся машина Этвуда представляет собой систему с двумя степенями свободы. Мы можем вывести его уравнения движения, используя либо Гамильтонова механика или же Лагранжева механика. Пусть качающаяся масса будет ${\displaystyle m}$ а неподвижная масса должна быть ${\displaystyle M}$. Кинетическая энергия системы, ${\displaystyle T}$, является:

${\displaystyle {\begin{aligned}T&={\frac {1}{2}}Mv_{M}^{2}+{\frac {1}{2}}mv_{m}^{2}\\&={\frac {1}{2}}M{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle r}$ расстояние от качающейся массы до ее оси, а ${\displaystyle \theta }$ - угол качающейся массы относительно направления прямо вниз. Потенциальная энергия ${\displaystyle U}$ исключительно из-за ускорение силы тяжести:

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=Mgr-mgr\cos {\theta }\end{aligned}}}$

Затем мы можем записать лагранжиан, ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$, и гамильтониан, ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ системы:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}&=T-U\\&={\frac {1}{2}}M{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)-Mgr+mgr\cos {\theta }\\{\mathcal {H}}&=T+U\\&={\frac {1}{2}}M{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)+Mgr-mgr\cos {\theta }\end{aligned}}}$

Тогда мы можем выразить гамильтониан через канонические импульсы: ${\displaystyle p_{r}}$, ${\displaystyle p_{\theta }}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{r}&={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r}}}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {r}}}}=(M+m){\dot {r}}\\p_{\theta }&={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}\\\therefore {\mathcal {H}}&={\frac {p_{r}^{2}}{2(M+m)}}+{\frac {p_{\theta }^{2}}{2mr^{2}}}+Mgr-mgr\cos {\theta }\end{aligned}}}$

Анализ Лагранжа можно применить для получения двух связанных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle \theta }$. Во-первых, ${\displaystyle \theta }$ уравнение:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \theta }}&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}\right)\\-mgr\sin {\theta }&=2mr{\dot {r}}{\dot {\theta }}+mr^{2}{\ddot {\theta }}\\r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+g\sin {\theta }&=0\end{aligned}}}$

И ${\displaystyle r}$ уравнение:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r}}&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r}}}}\right)\\mr{\dot {\theta }}^{2}-Mg+mg\cos {\theta }&=(M+m){\ddot {r}}\end{aligned}}}$

Упростим уравнения, определив отношение масс ${\displaystyle \mu ={\frac {M}{m}}}$. Приведенное выше становится:

${\displaystyle (\mu +1){\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}+g(\mu -\cos {\theta })=0}$

Гамильтонов анализ может также применяться для определения четырех ОДУ первого порядка в терминах ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle \theta }$ и соответствующие им канонические импульсы ${\displaystyle p_{r}}$ и ${\displaystyle p_{\theta }}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {r}}&={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {p_{r}}}}={\frac {p_{r}}{M+m}}\\{\dot {p_{r}}}&=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {r}}}={\frac {p_{\theta }^{2}}{mr^{3}}}-Mg+mg\cos {\theta }\\{\dot {\theta }}&={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {p_{\theta }}}}={\frac {p_{\theta }}{mr^{2}}}\\{\dot {p_{\theta }}}&=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\theta }}}=-mgr\sin {\theta }\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что в обоих этих выводах, если установить ${\displaystyle \theta }$ и угловая скорость ${\displaystyle {\dot {\theta }}}$ к нулю, полученный частный случай - это регулярное нераскачивающееся Машина Этвуда:

${\displaystyle {\ddot {r}}=g{\frac {1-\mu }{1+\mu }}=g{\frac {m-M}{m+M}}}$

Качающаяся машина Этвуда имеет четырехмерный фазовое пространство определяется ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle \theta }$ и соответствующие им канонические импульсы ${\displaystyle p_{r}}$ и ${\displaystyle p_{\theta }}$. Однако из-за сохранения энергии фазовое пространство ограничено тремя измерениями.

Система с массивными шкивами

Если шкивы в системе считаются имеющими момент инерции ${\displaystyle I}$ и радиус ${\displaystyle R}$, тогда гамильтониан SAM равен:^[4]

${\displaystyle {\mathcal {H}}\left(r,\theta ,{\dot {r}},{\dot {\theta }}\right)=\underbrace {{\frac {1}{2}}M_{t}\left(R{\dot {\theta }}-{\dot {r}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\theta }}^{2}} _{T}+\underbrace {gr\left(M-m\cos {\theta }\right)+gR\left(m\sin {\theta }-M\theta \right)} _{U},}$

Где M_т эффективная полная масса системы,

${\displaystyle M_{t}=M+m+{\frac {I}{R^{2}}}}$

Это сводится к версии выше, когда ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle I}$ стать нулевым. Уравнения движения теперь:^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{t}({\ddot {r}}-R{\ddot {\theta }})&=r{\dot {\theta }}^{2}+g(\cos {\theta }-\mu )\\r{\ddot {\theta }}&=-2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+R{\dot {\theta }}^{2}-g\sin {\theta }\\\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle \mu _{t}=M_{t}/m}$.

Интегрируемость

Гамильтоновы системы можно классифицировать как интегрируемый и неинтегрируемый. ЗУР интегрируема, когда отношение масс ${\displaystyle \mu =M/m=3}$.^[5] Система также выглядит вполне нормально для ${\displaystyle \mu =4n^{2}-1=3,15,35,...}$, но ${\displaystyle \mu =3}$ случай - единственное известное интегрируемое отношение масс. Было показано, что система не интегрируема при ${\displaystyle \mu \in (0,1)\cup (3,\infty )}$.^[6] Для многих других значений отношения масс (и начальных условий) SAM отображает хаотическое движение.

Численные исследования показывают, что когда орбита сингулярна (начальные условия: ${\displaystyle r=0,{\dot {r}}=v,\theta =\theta _{0},{\dot {\theta }}=0}$) маятник выполняет одиночный симметричный цикл и возвращается в исходное положение, независимо от значения ${\displaystyle \theta _{0}}$. Когда ${\displaystyle \theta _{0}}$ маленький (почти вертикальный), траектория описывает «слезу», когда она большая, она описывает «сердце». Эти траектории можно точно решить алгебраически, что необычно для системы с нелинейным гамильтонианом.^[7]

Траектории

Качающаяся масса качающейся машины Этвуда движется по интересным траекториям или орбитам при различных начальных условиях и различных соотношениях масс. К ним относятся периодические орбиты и орбиты столкновения.

Неособые орбиты

Для определенных условий система выставляет сложное гармоническое движение.^[1] Орбита называется невырожденной, если качающаяся масса не касается шкива.

Выбор неособых орбит

• 

  Орбита качающейся машины Атвуда для ${\displaystyle \mu =2}$, ${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$, и нулевая начальная скорость.

• 

  Орбита качающейся машины Атвуда для ${\displaystyle \mu =3}$, ${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$, и нулевая начальная скорость.

• 

  Орбита качающейся машины Этвуда для ${\displaystyle \mu =5}$, ${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$, и нулевая начальная скорость.

• 

  Орбита качающейся машины Атвуда для ${\displaystyle \mu =6}$, ${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$, и нулевая начальная скорость.

• 

  Орбита качающейся машины Этвуда для ${\displaystyle \mu =16}$, ${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$, и нулевая начальная скорость.

• 

  Орбита качающейся машины Этвуда для ${\displaystyle \mu =19}$, ${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$, и нулевая начальная скорость.

• 

  Орбита качающейся машины Атвуда для ${\displaystyle \mu =21}$, ${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$, и нулевая начальная скорость.

• 

  Орбита качающейся машины Этвуда для ${\displaystyle \mu =24}$, ${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$, и нулевая начальная скорость.

Периодические орбиты

Орбиты типа А для ${\displaystyle \theta _{0}}$ в пределах от 0,1 до 3,1.

Когда различные гармонические составляющие в системе находятся в фазе, результирующая траектория является простой и периодической, такой как траектория «улыбки», которая напоминает траекторию обычной маятник, и различные петли.^[3][8] Как правило, периодическая орбита существует, когда выполняется следующее:^[1]

${\displaystyle r(t+\tau )=r(t),\,\theta (t+\tau )=\theta (t)}$

Простейшим случаем периодических орбит является орбита «улыбки», которую Туфилларо назвал Введите орбиты в своей статье 1984 года.^[1]

Выбор периодических орбит

• 

  Орбита "улыбки" качающейся машины Этвуда для ${\displaystyle \mu =1.665}$, ${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$, и нулевая начальная скорость.

• 

  Орбита качающейся машины Этвуда для ${\displaystyle \mu =2.394}$, ${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$, и нулевая начальная скорость.

• 

  Орбита качающейся машины Этвуда для ${\displaystyle \mu =1.1727}$, ${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$, и нулевая начальная скорость.

• 

  Орбита качающейся машины Этвуда для ${\displaystyle \mu =1.555}$, ${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$, и нулевая начальная скорость.

Особые орбиты

Движение сингулярно, если в какой-то момент качающаяся масса проходит через начало координат. Поскольку система инвариантный при обращении времени и переносе это эквивалентно тому, что маятник начинается в начале координат и запускается наружу:^[1]

${\displaystyle r(0)=0}$

Область, близкая к оси, особенная, так как ${\displaystyle r}$ близка к нулю и уравнения движения требуют деления на ${\displaystyle r}$. Поэтому для тщательного анализа этих случаев необходимо использовать специальные методы.^[9]

Ниже приведены графики произвольно выбранных особых орбит.

Выбор особых орбит

• 

  Орбита качающейся машины Этвуда для ${\displaystyle \mu =10}$, ${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$, и нулевая начальная скорость.

• 

  Орбита качающейся машины Этвуда для ${\displaystyle \mu =25}$, ${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$, и нулевая начальная скорость.

Столкновение орбит

Орбиты типа B для ${\displaystyle \theta _{0}}$ в пределах от 0,1 до 3,1.

Орбиты столкновения (или завершающие особые) орбиты - это подмножество особых орбит, образующихся, когда качающаяся масса выбрасывается из своей оси с начальной скоростью, так что она возвращается к оси вращения (т. Е. Сталкивается с ней):

${\displaystyle r(\tau )=r(0)=0,\,\tau >0}$

Самый простой случай столкновения орбит - орбиты с отношением масс 3, которые всегда будут возвращаться симметрично в исходную точку после выброса из нее, и были названы Тип B орбиты в исходной статье Туфилларо.^[1] Их также называли глазницами в форме слезы, сердца или кроличьего уха из-за их внешнего вида.^[3][7][8][9]

Когда качающаяся масса возвращается в исходное положение, масса противовеса, ${\displaystyle M}$ должен мгновенно менять направление, вызывая бесконечное натяжение соединительной струны. Таким образом, мы можем считать, что движение прекращается в это время.^[1]

Ограниченность

Для любого начального положения можно показать, что качающаяся масса ограничена кривой, которая является коническая секция.^[2] Поворот всегда фокус этой ограничивающей кривой. Уравнение для этой кривой может быть получено путем анализа энергии системы и использования сохранения энергии. Предположим, что ${\displaystyle m}$ освобожден от покоя в ${\displaystyle r=r_{0}}$ и ${\displaystyle \theta =\theta _{0}}$. Таким образом, общая энергия системы составляет:

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}M{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)+Mgr-mgr\cos {\theta }=Mgr_{0}-mgr_{0}\cos {\theta _{0}}}$

Однако обратите внимание, что в граничном случае скорость качающейся массы равна нулю.^[2] Следовательно, мы имеем:

${\displaystyle Mgr-mgr\cos {\theta }=Mgr_{0}-mgr_{0}\cos {\theta _{0}}}$

Чтобы увидеть, что это уравнение конического сечения, мы выделяем для ${\displaystyle r}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\frac {h}{1-{\frac {\cos {\theta }}{\mu }}}}\\h&=r_{0}\left(1-{\frac {\cos {\theta _{0}}}{\mu }}\right)\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что числитель является константой, зависящей только от начального положения в этом случае, поскольку мы предположили, что начальное состояние находится в состоянии покоя. Однако постоянная энергии ${\displaystyle h}$ также может быть вычислен для ненулевой начальной скорости, и уравнение остается верным во всех случаях.^[2] В эксцентриситет конического сечения ${\displaystyle {\frac {1}{\mu }}}$. За ${\displaystyle \mu >1}$, это эллипс, а система ограничена, и качающаяся масса всегда остается внутри эллипса. За ${\displaystyle \mu =1}$, это парабола и для ${\displaystyle \mu <1}$ это гипербола; в любом из этих случаев он не ограничен. В качестве ${\displaystyle \mu }$ становится сколь угодно большим, ограничивающая кривая приближается к окружности. Область, ограниченная кривой, известна как область Хилла.^[2]

Недавнее трехмерное расширение

В 2016 году был анонсирован новый интегрируемый случай проблемы трехмерной вращающейся машины Этвуда (3D-SAM).^[10] Как и в 2D-версии, проблема интегрируема, когда ${\displaystyle M=3m}$.

Рекомендации

1. Туфилларо, Николас Б .; Abbott, Tyler A .; Гриффитс, Дэвид Дж. (1984). «Качающаяся машина Этвуда». Американский журнал физики. 52 (10): 895–903. Bibcode:1984AmJPh..52..895T. Дои:10.1119/1.13791.
2. Туфилларо, Николас Б .; Nunes, A .; Касасаяс, Дж. (1988). «Неограниченные орбиты качающейся машины Этвуда». Американский журнал физики. 56: 1117. Bibcode:1988AmJPh..56.1117T. Дои:10.1119/1.15774.
3. Туфилларо, Николас Б. (1982). Улыбки и слезы (Тезис). Рид Колледж.
4. Пужоль, Оливье; Perez, J.P .; Simo, C .; Саймон, С .; Вейль, Дж. (2010). «Качающаяся машина Этвуда: экспериментальные и численные результаты, а также теоретическое исследование». Physica D. 239 (12): 1067–1081. arXiv:0912.5168. Bibcode:2010PhyD..239.1067P. Дои:10.1016 / j.physd.2010.02.017.
5. Туфилларо, Николас Б. (1986). «Интегрируемое движение качающейся машины Этвуда». Американский журнал физики. 54 (2): 142. Bibcode:1986AmJPh..54..142T. Дои:10.1119/1.14710.
6. Casasayas, J .; Nunes, A .; Туфилларо, Н. (1990). «Качающаяся машина Этвуда: интегрируемость и динамика». Journal de Physique. 51 (16): 1693–1702. Дои:10.1051 / jphys: 0199000510160169300. ISSN  0302-0738.
7. Туфилларо, Николас Б. (1994). "Слеза и сердечные орбиты качающейся машины Этвудса". Американский журнал физики. 62 (3): 231–233. arXiv:chao-dyn / 9302006. Bibcode:1994AmJPh..62..231T. Дои:10.1119/1.17602.
8. Туфилларо, Николас Б. (1985). «Движения качающейся машины Этвуда». Journal de Physique. 46 (9): 1495–1500. Дои:10.1051 / jphys: 019850046090149500.
9. Туфилларо, Николас Б. (1985). «Столкновение орбит качающейся машины Этвуда» (PDF). Journal de Physique. 46: 2053–2056. Дои:10.1051 / jphys: 0198500460120205300.
10. Эльмандух, А.А. (2016). «Об интегрируемости движения трехмерного качающегося станка Этвуда и связанных с этим проблем». Письма о физике A. 380: 989. Bibcode:2016ФЛА..380..989Е. Дои:10.1016 / j.physleta.2016.01.021.

дальнейшее чтение

• Алмейда, М.А., Морейра, И.С. и Santos, F.C. (1998) "Об анализе Зиглина-Йошиды для некоторых классов однородных гамильтоновых систем", Бразильский журнал физики Том 28, номер 4, Сан-Паулу, декабрь.
• Баррера, Эммануэль Ян (2003) Динамика двухкачажной машины Этвуда, Б.С. Диссертация, Национальный институт физики, Филиппинский университет.
• Бабелон, О., М. Талон, М.К. Пейранере (2010), «Анализ Ковалевски качающейся машины Этвуда», Журнал физики A: математический и теоретический Vol. 43 (8).
• Брун Б. (1987) "Хаос и порядок в слабосвязанных системах нелинейных осцилляторов". Physica Scripta Том 35 (1).
• Дж. Касасаяс, Н. Б. Туфилларо и А. Нунес (1989) "Бесконечное многообразие качающейся машины Этвуда". Европейский журнал физики Том 10 (10), с. 173.
• Касасаяс, Дж., А. Нуньес и Н. Б. Туфилларо (1990) «Качающаяся машина Этвуда: интегрируемость и динамика». Journal de Physique Том 51, стр. 1693.
• Чоудхури, А. Рой и М. Дебнат (1988) "Качающаяся машина Этвуда. Дальняя и близкая к резонансной области", Международный журнал теоретической физики, Vol. 27 (11), с. 1405-1410.
• Гриффитс Д. Дж. И Т. А. Эбботт (1992) "Комментарий к" "Удивительная демонстрация механики" " Американский журнал физики Том 60 (10), с. 951-953.
• Морейра, И. и М.А. Алмейда (1991) «Симметрии Нётер и качающаяся машина Этвуда», Журнал физики II Франция 1, стр. 711-715.
• А. Нунес, Дж. Касасаяс и Н. Б. Туфилларо (1995) "Периодические орбиты интегрируемой качающейся машины Атвуда". Американский журнал физики Том 63 (2), с. 121-126.
• Ouazzani-T.H., A. и Ouzzani-Jamil, M., (1995) "Бифуркации торов Лиувилля интегрируемого случая качающейся машины Атвуда". Il Nuovo Cimento B Vol. 110 (9).
• Оливье, Пуйоль, JP Perez, JP Ramis, C. Simo, S. Simon, JA Weil (2010), «Качающаяся машина Этвуда: экспериментальные и численные результаты, а также теоретическое исследование». Physica D 239. С. 1067–1081.
• Sears, R. (1995) "Комментарий к" Удивительной демонстрации механики ", Американский журнал физики, Vol. 63 (9), с. 854-855.
• Йехиа, Х.М., (2006) "Об интегрируемости движения тяжелой частицы на наклонном конусе и качающейся машине Атвуда", Сообщения об исследованиях в области механики Vol. 33 (5), стр. 711–716.

внешняя ссылка

• Пример использования в бакалавриате: симплектические интеграторы
• Курс Имперского колледжа
• Oscilaciones en la máquina de Atwood
• «Улыбки и слезы» (1982)
• 2007 Мастерская
• 2010 Видео экспериментальной качающейся машины Этвуда
• Обновленная информация о качающейся машине Этвуда на заседании APS 2010 г., 8:24, пятница, 19 марта 2010 г., Портленд, Орегон
• Интерактивное веб-приложение Swinging Atwood's Machine
• Открытый исходный код Java для запуска Swinging Atwood's Machine