Двойной маятник - Double pendulum

Двойной маятник состоит из двух маятники прикреплен конец в конец.

В физика и математика, в районе динамические системы, а двойной маятник это маятник с другим маятником, прикрепленным к его концу, и представляет собой простой физическая система это показывает богатые динамическое поведение с сильная чувствительность к начальным условиям.^[1] Движение двойного маятника регулируется набором связанных обыкновенные дифференциальные уравнения и является хаотичный.

Анализ и интерпретация

Можно рассмотреть несколько вариантов двойного маятника; две конечности могут быть равной или неравной длины и массы, они могут быть простые маятники или составные маятники (также называемые сложными маятниками), а движение может быть трехмерным или ограничиваться вертикальной плоскостью. В следующем анализе конечности приняты как идентичные составные маятники длиной л и масса м, и движение ограничено двумя измерениями.

Двойной составной маятник

Движение двойного составного маятника (от численное интегрирование уравнений движения)

Траектории двойного маятника

В составном маятнике масса распределена по его длине. Если масса распределена равномерно, то центр массы каждой конечности находится в средней точке, и конечность имеет момент инерции из я = 1/12мл² об этом.

Углы между каждой конечностью и вертикалью удобно использовать в качестве обобщенные координаты определение конфигурация системы. Эти углы обозначаются θ₁ и θ₂. Положение центра масс каждого стержня можно записать в терминах этих двух координат. Если происхождение Декартова система координат считается находящимся в точке подвеса первого маятника, тогда центр масс этого маятника находится в точке:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {l}{2}}\sin \theta _{1}\\y_{1}&=-{\frac {l}{2}}\cos \theta _{1}\end{aligned}}}$

а центр масс второго маятника находится в

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&=l\left(\sin \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\sin \theta _{2}\right)\\y_{2}&=-l\left(\cos \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\cos \theta _{2}\right)\end{aligned}}}$

Этой информации достаточно, чтобы написать лагранжиан.

Лагранжиан

В Лагранжиан является

${\displaystyle {\begin{aligned}L&={\text{kinetic energy}}-{\text{potential energy}}\\&={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}m\left({{\dot {x}}_{1}}^{2}+{{\dot {y}}_{1}}^{2}+{{\dot {x}}_{2}}^{2}+{{\dot {y}}_{2}}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\end{aligned}}}$

Первый член - это линейный кинетическая энергия из центр массы тел, а второй член - это вращающийся кинетическая энергия вокруг центра масс каждого стержня. Последний член - это потенциальная энергия тел в однородном гравитационном поле. В точечная запись указывает на производная по времени рассматриваемой переменной.

Подставляя координаты выше и переставляя уравнение, получаем

${\displaystyle L={\tfrac {1}{6}}ml^{2}\left({{\dot {\theta }}_{2}}^{2}+4{{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+3{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right)+{\tfrac {1}{2}}mgl\left(3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}\right).}$

Есть только одна сохраняющаяся величина (энергия) и нет сохраняющихся импульсов. Два обобщенных импульса можно записать как

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{\theta _{1}}&={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{1}}}}={\tfrac {1}{6}}ml^{2}\left(8{{\dot {\theta }}_{1}}+3{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right)\\p_{\theta _{2}}&={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{2}}}}={\tfrac {1}{6}}ml^{2}\left(2{{\dot {\theta }}_{2}}+3{{\dot {\theta }}_{1}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right).\end{aligned}}}$

Эти выражения могут быть перевернутый получить

${\displaystyle {\begin{aligned}{{\dot {\theta }}_{1}}&={\frac {6}{ml^{2}}}{\frac {2p_{\theta _{1}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{2}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}\\{{\dot {\theta }}_{2}}&={\frac {6}{ml^{2}}}{\frac {8p_{\theta _{2}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{1}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}.\end{aligned}}}$

Остальные уравнения движения записываются как

${\displaystyle {\begin{aligned}{{\dot {p}}_{\theta _{1}}}&={\frac {\partial L}{\partial \theta _{1}}}=-{\tfrac {1}{2}}ml^{2}\left({{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+3{\frac {g}{l}}\sin \theta _{1}\right)\\{{\dot {p}}_{\theta _{2}}}&={\frac {\partial L}{\partial \theta _{2}}}=-{\tfrac {1}{2}}ml^{2}\left(-{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+{\frac {g}{l}}\sin \theta _{2}\right).\end{aligned}}}$

Эти последние четыре уравнения представляют собой явные формулы для временной эволюции системы с учетом ее текущего состояния. Это невозможно^{[нужна цитата ]} пойти дальше и проинтегрировать эти уравнения аналитически, чтобы получить формулы для θ₁ и θ₂ как функции времени. Однако можно выполнить это интегрирование численно, используя Рунге Кутта метод или аналогичные методы.

Хаотическое движение

График времени переворота маятника в зависимости от начальных условий

Длительная выдержка двойного маятника, демонстрирующего хаотическое движение (отслеживается с помощью СВЕТОДИОД )

Двойной маятник претерпевает хаотическое движение, и показывает чувствительную зависимость от первоначальные условия. Изображение справа показывает количество времени, прошедшее до того, как маятник перевернется, в зависимости от исходного положения при отпускании в состоянии покоя. Здесь начальное значение θ₁ колеблется вдоль Икс-направление от −3 до 3. Начальное значение θ₂ колеблется вдоль у-направление, от -3 до 3. Цвет каждого пикселя указывает, переворачивается ли маятник в пределах:

• 10√​^л⁄_г (зеленый)
• 100√​^л⁄_г (красный)
• 1000√​^л⁄_г (фиолетовый) или
• 10000√​^л⁄_г (синий).

Три двойных маятника с почти одинаковыми начальными условиями со временем расходятся, показывая хаотический характер системы.

Начальные условия, не ведущие к перевороту внутри 10000√​^л⁄_г нанесены белым цветом.

Граница центральной белой области частично определяется законом сохранения энергии следующей кривой:

${\displaystyle 3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}=2.}$

В пределах области, определенной этой кривой, то есть если

${\displaystyle 3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}>2,}$

тогда ни один из маятников энергетически невозможно перевернуть. За пределами этой области маятник может перевернуться, но определить, когда он перевернется, - сложный вопрос. Аналогичное поведение наблюдается для двойного маятника, состоящего из двух точечные массы а не два стержня с распределенной массой.^[2]

Отсутствие собственной частоты возбуждения привело к использованию системы двойного маятника в сейсмостойких конструкциях в зданиях, где само здание является первичным перевернутым маятником, а вторичная масса соединена, чтобы завершить двойной маятник.

Смотрите также

• Двойной перевернутый маятник
• Маятник (математика)
• В учебниках физики середины 20-го века термин «двойной маятник» обозначает одиночный боб, подвешенный на струне, которая, в свою очередь, подвешена на V-образной струне. Этот тип маятник, который производит Кривые Лиссажу, теперь называется Маятник Блэкберна.

Заметки

1. Levien, R. B .; Тан, С. М. (1993). «Двойной маятник: эксперимент в хаосе». Американский журнал физики. 61 (11): 1038. Bibcode:1993AmJPh..61.1038L. Дои:10.1119/1.17335.
2. Алекс Смолл, Образец финального проекта: одна сигнатура хаоса в двойном маятнике, (2013). Отчет, созданный в качестве примера для студентов. Включает вывод уравнений движения и сравнение двойного маятника с двумя точечными массами и двойного маятника с двумя стержнями.

использованная литература

• Мейрович, Леонард (1986). Элементы вибрационного анализа (2-е изд.). McGraw-Hill Наука / Инженерия / Математика. ISBN  0-07-041342-8.
• Эрик В. Вайсштейн, Двойной маятник (2005), ScienceWorld (содержит подробную информацию о сложных уравнениях) и "Двойной маятник "Роб Моррис, Вольфрам Демонстрационный проект, 2007 (анимация этих уравнений).
• Питер Линч, Двойной маятник, (2001). (Моделирование Java-апплета.)
• Северо-Западный университет, Двойной маятник, (Моделирование Java-апплета.)
• Группа теоретической астрофизики высоких энергий в UBC, Двойной маятник, (2005).

внешние ссылки

• Анимации и объяснения двойной маятник и физический двойной маятник (две квадратные пластины) Майк Уитленд (Сиднейский университет)

• Интерактивное моделирование JavaScript физики с открытым исходным кодом с подробными уравнениями двойной маятник
• Интерактивное моделирование Javascript двойной маятник
• Моделирование физики двойного маятника от www.myphysicslab.com с помощью код JavaScript с открытым исходным кодом
• Моделирование, уравнения и объяснение Маятник Ротта
• Видео сравнения двойного маятника с одинаковыми начальными условиями запуска на YouTube
• Симулятор двойного маятника - Симулятор с открытым исходным кодом, написанный на C ++ с использованием Набор инструментов Qt.
• Онлайн-симулятор Java из Воображаемая выставка.