Карта пекарей - Bakers map - Wikipedia

Пример мера который инвариантен относительно действия (невращенного) отображения пекаря: инвариантная мера. Применение карты пекаря к этому изображению всегда дает точно такое же изображение.

В теория динамических систем, то карта пекаря это хаотичный карта из единичного квадрата в себя. Он назван в честь замешивание операция, которая пекари Применяется к тесту: тесто разрезается пополам, две половинки накладываются друг на друга и сжимаются.

Карту пекаря можно понимать как двустороннюю оператор смены би-бесконечного двух состояний решетчатая модель. Карта пекаря топологически сопряженный к карта подковы. В физика, цепочка связанных карт пекаря может использоваться для моделирования детерминированных распространение.

Как и во многих детерминированных динамических системах, карта пекаря изучается по ее действию на пространство функций, определенных на единичном квадрате. Карта пекаря определяет оператор в пространстве функций, известный как оператор передачи карты. Карта пекаря - это точно решаемый модель детерминированный хаос, в этом собственные функции и собственные значения оператора трансфера можно определить явно.

Формальное определение

Есть два альтернативных определения карты пекаря, которые широко используются. Одно определение загибает или поворачивает одну из нарезанных половинок перед ее соединением (аналогично карта подковы ), а другой - нет.

Свернутая карта пекаря действует на единичный квадрат как

${\displaystyle S_{\text{baker-folded}}(x,y)={\begin{cases}(2x,y/2)&{\text{for }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\(2-2x,1-y/2)&{\text{for }}{\frac {1}{2}}\leq x<1.\end{cases}}}$

Когда верхняя часть не перевернута, карта может быть записана как

${\displaystyle S_{\text{baker-unfolded}}(x,y)=\left(2x-\left\lfloor 2x\right\rfloor \,,\,{\frac {y+\left\lfloor 2x\right\rfloor }{2}}\right).}$

Свернутая карта пекаря является двумерным аналогом карта палатки

${\displaystyle S_{\mathrm {tent} }(x)={\begin{cases}2x&{\text{for }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\2(1-x)&{\text{for }}{\frac {1}{2}}\leq x<1\end{cases}}}$

а развернутая карта аналогична Карта Бернулли. Обе карты топологически сопряжены. Карту Бернулли можно понять как карту, которая постепенно сокращает цифры из диадического расширения Икс. В отличие от карты палатки, карта пекаря обратима.

Характеристики

Карта пекаря сохраняет двумерное Мера Лебега.

Повторное нанесение карты пекаря на точки красного и синего цвета, изначально разделенные. После нескольких итераций кажется, что красная и синяя точки полностью перемешаны.

Карта сильное перемешивание и это топологическое смешение.

В оператор передачи ${\displaystyle U}$ сопоставляет функции единичного квадрата с другими функциями единичного квадрата; это дается

${\displaystyle \left[Uf\right](x,y)=(f\circ S^{-1})(x,y).}$

Воспроизвести медиа

Квадрат единицы отсчета находится вверху, а внизу показан результат, когда квадрат перемещается слева направо.

Оператором трансфера является унитарный на Гильбертово пространство из квадратично интегрируемые функции на единицу площади. Спектр непрерывен, и, поскольку оператор унитарен, собственные значения лежат на единичной окружности. Трансфер-оператор не унитарен по площади ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{x}\otimes L_{y}^{2}}$ функций, полиномиальных по первой координате и интегрируемых с квадратом по второй. На этом пространстве он имеет дискретный неунитарный убывающий спектр.

Как оператор смены

Карту пекаря можно понять как двустороннюю оператор смены на символическая динамика одномерной решетки. Рассмотрим, например, бибесконечную струну

${\displaystyle \sigma =\left(\ldots ,\sigma _{-2},\sigma _{-1},\sigma _{0},\sigma _{1},\sigma _{2},\ldots \right)}$

где каждая позиция в строке может принимать одно из двух двоичных значений ${\displaystyle \sigma _{k}\in \{0,1\}}$. Действие оператора сдвига на эту строку:

${\displaystyle \tau (\ldots ,\sigma _{k},\sigma _{k+1},\sigma _{k+2},\ldots )=(\ldots ,\sigma _{k-1},\sigma _{k},\sigma _{k+1},\ldots )}$

то есть каждая позиция решетки сдвигается на единицу влево. Бесконечная строка может быть представлена ​​двумя действительными числами ${\displaystyle 0\leq x,y\leq 1}$ в качестве

${\displaystyle x(\sigma )=\sum _{k=0}^{\infty }\sigma _{-k}2^{-(k+1)}}$

и

${\displaystyle y(\sigma )=\sum _{k=0}^{\infty }\sigma _{k+1}2^{-(k+1)}.}$

В этом представлении оператор сдвига имеет вид

${\displaystyle \tau (x,y)=\left(2x-\left\lfloor 2x\right\rfloor \,,\,{\frac {y+\left\lfloor 2x\right\rfloor }{2}}\right)}$

что можно увидеть как развернутую карту пекаря, приведенную выше.

Смотрите также

• Процесс Бернулли

Рекомендации

• Хироши Х. Хасагава и Уильям С. Сапфир (1992). «Унитарность и необратимость в хаотических системах». Физический обзор A. 46: 7401. CiteSeerX  10.1.1.31.9775. Дои:10.1103 / PhysRevA.46.7401.
• Рональд Дж. Фокс, "Построение жорданового базиса для карты Бейкера", Хаос, 7 стр. 254 (1997) Дои:10.1063/1.166226
• Дин Дж. Дрибе, Полностью хаотические карты и нарушенная симметрия времени, (1999) Kluwer Academic Publishers, Дордрехт, Нидерланды ISBN  0-7923-5564-4 (Изложение собственных функций карты Бейкера).