Преобразование интервального обмена - Interval exchange transformation

График преобразования интервального обмена (черный) с ${\displaystyle \lambda =(1/15,2/15,3/15,4/15,5/15)}$ и ${\displaystyle \pi =(3,5,2,4,1)}$. Синим цветом обозначена орбита, начиная с ${\displaystyle 1/2}$.

В математика, преобразование интервального обмена^[1] это своего рода динамическая система это обобщает вращение круга. Фазовое пространство состоит из единичный интервал, и преобразование действует, разрезая интервал на несколько подинтервалов, а затем переставляя эти подынтервалы. Они возникают естественным образом при изучении многоугольный бильярд И в сохраняющие площадь потоки.

Формальное определение

Позволять ${\displaystyle n>0}$ и разреши ${\displaystyle \pi }$ быть перестановка на ${\displaystyle 1,\dots ,n}$. Рассмотрим вектор ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})}$ положительных действительных чисел (ширины подынтервалов), удовлетворяющих

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=1.}$

Определить карту ${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }:[0,1]\rightarrow [0,1],}$ называется преобразование интервального обмена, связанное с парой ${\displaystyle (\pi ,\lambda )}$ следующее. За ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ позволять

${\displaystyle a_{i}=\sum _{1\leq j<i}\lambda _{j}\quad {\text{and}}\quad a'_{i}=\sum _{1\leq j<\pi (i)}\lambda _{\pi ^{-1}(j)}.}$

Тогда для ${\displaystyle x\in [0,1]}$, определять

${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }(x)=x-a_{i}+a'_{i}}$

если ${\displaystyle x}$ лежит в подынтервале ${\displaystyle [a_{i},a_{i}+\lambda _{i})}$. Таким образом ${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$ действует на каждом подынтервале формы ${\displaystyle [a_{i},a_{i}+\lambda _{i})}$ по перевод, и он переставляет эти подынтервалы так, чтобы подынтервал в позиции ${\displaystyle i}$ перемещается на позицию ${\displaystyle \pi (i)}$.

Характеристики

Любое преобразование интервального обмена ${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$ это биекция из ${\displaystyle [0,1]}$ себе сохраняет Мера Лебега. Он непрерывен, за исключением конечного числа точек.

В обратный преобразования интервального обмена ${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$ снова является преобразованием интервального обмена. По сути, это трансформация ${\displaystyle T_{\pi ^{-1},\lambda '}}$ куда ${\displaystyle \lambda '_{i}=\lambda _{\pi ^{-1}(i)}}$ для всех ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$.

Если ${\displaystyle n=2}$ и ${\displaystyle \pi =(12)}$ (в обозначение цикла ), а если соединить концы отрезка в круг, то ${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$ это просто вращение круга. В Теорема Вейля о равнораспределении затем утверждает, что если длина ${\displaystyle \lambda _{1}}$ является иррациональный, тогда ${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$ является уникально эргодичный. Грубо говоря, это означает, что орбиты точек ${\displaystyle [0,1]}$ равномерно равномерно распределены. С другой стороны, если ${\displaystyle \lambda _{1}}$ рационально, то каждая точка интервала периодический, а период - знаменатель ${\displaystyle \lambda _{1}}$ (написано на самом низком уровне).

Если ${\displaystyle n>2}$, и предоставил ${\displaystyle \pi }$ удовлетворяет некоторым условиям невырожденности (а именно нет целого числа ${\displaystyle 0<k<n}$ такой, что ${\displaystyle \pi (\{1,\dots ,k\})=\{1,\dots ,k\}}$), глубокая теорема, которая была гипотезой М. Кина и независимо Уильям А. Вич^[2] и чтобы Говард Мазур ^[3] утверждает, что для почти все выбор ${\displaystyle \lambda }$ в блоке симплекс ${\displaystyle \{(t_{1},\dots ,t_{n}):\sum t_{i}=1\}}$ преобразование интервального обмена ${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$ снова уникально эргодичный. Однако для ${\displaystyle n\geq 4}$ также существует выбор ${\displaystyle (\pi ,\lambda )}$ так что ${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$ является эргодический но нет уникально эргодичный. Даже в этих случаях количество эргодических инвариантный меры из ${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$ конечно и не более ${\displaystyle n}$.

Карты интервалов имеют топологическая энтропия нуля.^[4]

Одометры

Диадический одометр ${\displaystyle T}$

Двойной одометр повторяется дважды; то есть ${\displaystyle T^{2}.}$

Двойной одометр повторяется трижды; то есть ${\displaystyle T^{3}.}$

Двойной одометр повторяется четыре раза; то есть ${\displaystyle T^{4}.}$

В диадический одометр можно понимать как интервальное преобразование обмена счетного числа интервалов. Диадический одометр проще всего записать как преобразование

${\displaystyle T\left(1,\dots ,1,0,b_{k+1},b_{k+2},\dots \right)=\left(0,\dots ,0,1,b_{k+1},b_{k+2},\dots \right)}$

определены на Канторовское пространство ${\displaystyle \{0,1\}^{\mathbb {N} }.}$ Стандартное отображение пространства Кантора в единичный интервал дан кем-то

${\displaystyle (b_{0},b_{1},b_{2},\cdots )\mapsto x=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}2^{-n-1}}$

Это отображение является сохраняющим меру гомоморфизм от набора Кантора до единичного интервала, поскольку он отображает стандартный Мера Бернулли на канторе, установленном на Мера Лебега на единичном интервале. Справа появляется изображение одометра и его первых трех итераций.

Высшие измерения

Двумерные и многомерные обобщения включают обмены полигонами, обмены полиэдрами и кусочно-изометрии.^[5]

Смотрите также

• Одометр

Примечания

1. Кин, Майкл (1975), "Преобразования интервального обмена", Mathematische Zeitschrift, 141: 25–31, Дои:10.1007 / BF01236981, МИСТЕР  0357739.
2. Вич, Уильям А. (1982), «Меры Гаусса для преобразований на пространстве интервальных отображений», Анналы математики, Вторая серия, 115 (1): 201–242, Дои:10.2307/1971391, МИСТЕР  0644019.
3. Мазур, Ховард (1982), "Преобразования интервального обмена и измеренные слоения", Анналы математики, Вторая серия, 115 (1): 169–200, Дои:10.2307/1971341, МИСТЕР  0644018.
4. Мэтью Николь и Карл Петерсен, (2009) "Эргодическая теория: основные примеры и конструкции ",Энциклопедия сложности и системологии, Springer https://doi.org/10.1007/978-0-387-30440-3_177
5. Кусочные изометрии - новая область динамических систем, Арек Гетц

Рекомендации

• Артур Авила и Джованни Форни, Слабое перемешивание для интервальных обменных преобразований и трансляционных потоков, arXiv: math / 0406326v1, https://arxiv.org/abs/math.DS/0406326