Топологическая энтропия - Topological entropy

Эта статья об энтропии в геометрии и топологии. Для использования в других целях см. Энтропия (значения).

В математика, то топологическая энтропия топологического динамическая система неотрицательный расширенное действительное число это мера сложности системы. Топологическая энтропия была впервые введена в 1965 г. Адлер, Конхейм и МакЭндрю. Их определение было смоделировано после определения Колмогоров – Синай, или же метрическая энтропия. Позже Динабург и Руфус Боуэн дал другое, более слабое определение, напоминающее Хаусдорфово измерение. Второе определение прояснило смысл топологической энтропии: для системы, заданной повторяющаяся функция, топологическая энтропия представляет собой экспоненциальный рост скорость количества различимых орбиты итераций. Важно вариационный принцип связывает понятия топологической и теоретико-меры энтропии.

Определение

А топологическая динамическая система состоит из Хаусдорфово топологическое пространство Икс (обычно считается компактный ) и непрерывный собственная карта ж. Его топологическая энтропия неотрицательный расширенное действительное число которые могут быть определены различными способами, которые, как известно, эквивалентны.

Определение Адлера, Конхейма и МакЭндрю

Позволять Икс - компактное хаусдорфово топологическое пространство. Для любого конечного открытого крышка C из Икс, позволять ЧАС(C) быть логарифм (обычно по основанию 2) наименьшего числа элементов C эта обложка Икс.^[1] Для двух обложек C и D, позволять ${displaystyle Cvee D}$ - их (минимальное) общее измельчение, состоящее из всех непустых пересечений множества из C с набором из D, и аналогично для нескольких обложек.

Для любого непрерывная карта ж: Икс → Икссуществует следующий предел:

${displaystyle H(f,C)=lim _{n o infty }{frac {1}{n}}H(Cvee f^{-1}Cvee ldots vee f^{-n+1}C).}$

Тогда топологическая энтропия из ж, обозначенный час(ж), определяется как супремум из ЧАС(ж,C) по всевозможным конечным покрытиям C из Икс.

Интерпретация

Части C можно рассматривать как символы, которые (частично) описывают положение точки Икс в Икс: все точки Икс ∈ C_я присваивается символ C_я . Представьте себе, что позиция Икс измеряется (неточно) определенным устройством, и что каждая часть C соответствует одному из возможных результатов измерения. Целое число ${displaystyle H(Cvee f^{-1}Cvee ldots vee f^{-n+1}C)}$ затем представляет минимальное количество «слов» длины п необходимо для кодирования точек Икс по поведению их первых п - 1 повторяется под ж, или, иначе говоря, общее количество «сценариев» поведения этих итераций, «видимых» секцией C. Таким образом, топологическая энтропия - это среднее (на итерацию) количество Информация необходимо для описания длинных итераций карты ж.

Определение Боуэн и Динабург

Это определение ^[2][3][4] использует метрика на Икс (на самом деле единообразная структура хватит). Это более узкое определение, чем у Адлера, Конхейма и МакЭндрю,^[5] поскольку он требует дополнительной метрической структуры в топологическом пространстве (но не зависит от выбора метрики, порождающей данную топологию). Однако на практике топологическую энтропию Боуэна-Динабурга вычислить гораздо проще.

Позволять (Икс, d) быть компактный метрическое пространство и ж: Икс → Икс быть непрерывная карта. Для каждого натуральное число п, новая метрика d_п определяется на Икс по формуле

${displaystyle d_{n}(x,y)=max{d(f^{i}(x),f^{i}(y)):0leq i<n}.}$

Учитывая любые ε > 0 и п ≥ 1, две точки Икс находятся ε-закрыть по этой метрике, если их первые п итерации ε-Закрыть. Эта метрика позволяет отличать в окрестности орбиты точки, которые удаляются друг от друга во время итерации, от точек, которые перемещаются вместе. Подмножество E из Икс как говорят (п, ε) -отделенный если каждая пара различных точек E по крайней мере ε отдельно в метрике d_п. Обозначим через N(п, ε) максимум мощность из (п, ε) -разделенный набор. В топологическая энтропия карты ж определяется

${displaystyle h(f)=lim _{epsilon o 0}left(limsup _{n o infty }{frac {1}{n}}log N(n,epsilon )ight).}$

Интерпретация

С Икс компактный, N(п, ε) конечно и представляет собой количество различимых сегментов орбиты длиной п, предполагая, что мы не можем различать точки внутри ε друг друга. Непосредственный аргумент показывает, что предел, определяющий час(ж) всегда существует в расширенная реальная линия (но могло быть бесконечно). Этот предел можно интерпретировать как меру среднего экспоненциального роста числа различимых сегментов орбиты. В этом смысле он измеряет сложность топологической динамической системы (Икс, ж). Руфус Боуэн расширил это определение топологической энтропии таким образом, чтобы Икс быть некомпактным в предположении, что отображение ж является равномерно непрерывный.

Характеристики

• Топологическая энтропия - это инвариантный топологических динамических систем, что означает, что он сохраняется топологическая сопряженность.
• Позволять ${displaystyle f}$ быть экспансивный гомеоморфизм компактного метрического пространства ${displaystyle X}$ и разреши ${displaystyle C}$ быть топологическим генератором. Тогда топологическая энтропия ${displaystyle f}$ относительно ${displaystyle C}$ равна топологической энтропии ${displaystyle f}$, т.е.

${displaystyle h(f)=H(f,C).}$

• Позволять ${displaystyle f:Xightarrow X}$ - непрерывное преобразование компактного метрического пространства ${displaystyle X}$, позволять ${displaystyle h_{mu }(f)}$ быть теоретико-мерная энтропия из ${displaystyle f}$ относительно ${displaystyle mu }$ и разреши ${displaystyle M(X,f)}$ быть набором всех ${displaystyle f}$-инвариантные вероятностные борелевские меры на Икс. Тогда вариационный принцип энтропии^[6] утверждает, что

${displaystyle h(f)=sup _{mu in M(X,f)}h_{mu }(f)}$.

• В общем, максимум количества ${displaystyle h_{mu }}$ по набору ${displaystyle M(X,f)}$ не достигается, но если дополнительно карта энтропии ${displaystyle mu mapsto h_{mu }(f):M(X,f)ightarrow mathbb {R} }$ является полунепрерывный сверху, то мера максимальной энтропии, т. е. мера ${displaystyle mu }$ в ${displaystyle M(X,f)}$ с ${displaystyle h_{mu }(f)=h(f)}$ - существуют.

• Если ${displaystyle f}$ имеет единственную меру максимальной энтропии ${displaystyle mu }$, тогда ${displaystyle f}$ является эргодический относительно ${displaystyle mu }$.

Примеры

• Позволять ${displaystyle sigma :Sigma _{k}ightarrow Sigma _{k}}$ к ${displaystyle x_{n}mapsto x_{n-1}}$ обозначить полный двусторонний k-сдвиг на символах ${displaystyle {1,dots ,k}}$. Позволять ${displaystyle C={[1],dots ,[k]}}$ обозначим разбиение ${displaystyle Sigma _{k}}$ в цилиндры длиной 1. Затем ${displaystyle igvee _{j=0}^{n}sigma ^{-1}(C)}$ это раздел ${displaystyle Sigma _{k}}$ для всех ${displaystyle nin mathbb {N} }$ а количество наборов ${displaystyle k^{n}}$ соответственно. Перегородки - это открытые крышки и ${displaystyle C}$ является топологическим генератором. Следовательно

${displaystyle h(sigma )=H(sigma ,C)=lim _{nightarrow infty }{frac {1}{n}}log k^{n}=log k}$. Теоретико-мерная энтропия Бернулли ${displaystyle left({frac {1}{k}},dots ,{frac {1}{k}}ight)}$-меры также ${displaystyle log k}$. Следовательно, это мера максимальной энтропии. Далее можно показать, что других мер максимальной энтропии не существует.

• Позволять ${displaystyle A}$ быть неприводимым ${displaystyle k imes k}$ матрица с записями в ${displaystyle {0,1}}$ и разреши ${displaystyle sigma :Sigma _{A}ightarrow Sigma _{A}}$ быть соответствующим поддвиг конечного типа. потом ${displaystyle h(sigma )=log lambda }$ куда ${displaystyle lambda }$ это самый большой положительный собственное значение из ${displaystyle A}$.

Примечания

1. С Икс компактный, ЧАС(C) всегда конечно, даже для бесконечного покрытия C. Использование произвольных покрытий дает такое же значение энтропии.
2. Боуэн, Руфус (1971). «Энтропия для групповых эндоморфизмов и однородных пространств». Труды Американского математического общества. 153: 401. Дои:10.1090 / S0002-9947-1971-0274707-X. ISSN  0002-9947.
3. Боуэн, Руфус (1971). "Периодические точки и меры для диффеоморфизмов аксиомы А". Труды Американского математического общества. 154: 377. Дои:10.2307/1995452. ISSN  0002-9947.
4. Динабург, Ефим (1970). «ВЗАИМОСВЯЗЬ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ЭНТРОПИИ И МЕТРИЧЕСКОЙ ЭНТРОПИИ». Доклады Академии Наук СССР. 170: 19.
5. Адлер, Р. Л .; Konheim, A. G .; МакЭндрю, М. Х. (1965). «Топологическая энтропия». Труды Американского математического общества. 114 (2): 309. Дои:10.1090 / S0002-9947-1965-0175106-9. ISSN  0002-9947.
6. Гудман, Т. Н. Т. (1971). «Связь топологической энтропии и энтропии меры». Бюллетень Лондонского математического общества. 3 (2): 176–180. Дои:10.1112 / blms / 3.2.176. ISSN  1469-2120.

Смотрите также

• Теория замешивания Милнора-Терстона
• Для измерения корреляций в системах с топологический порядок видеть Топологическая энтропия запутанности
• Среднее измерение

Рекомендации

• Adler, R.L .; Konheim, Allan G .; МакЭндрю, M.H. (1965). «Топологическая энтропия». Труды Американского математического общества. 114 (2): 309–319. Дои:10.2307/1994177. JSTOR  1994177. Zbl  0127.13102.
• Дмитрий Аносов (2001) [1994], «Топологическая энтропия», Энциклопедия математики, EMS Press
• Рой Адлер, Томаш Даунарович, Михал Мисюревич, Топологическая энтропия в Scholarpedia
• Уолтерс, Питер (1982). Введение в эргодическую теорию. Тексты для выпускников по математике. 79. Springer-Verlag. ISBN  0-387-95152-0. Zbl  0475.28009.

внешняя ссылка

• http://www.scholarpedia.org/article/Topological_entropy

Эта статья включает материал из Topological Entropy on PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.