Стандартная карта - Standard map

Фазовое пространство стандартного отображения с вариацией параметра

{displaystyle K}

от 0 до 5,19 (

{displaystyle p_ {n}}

по оси y,

{displaystyle heta _ {n}}

по оси x). Обратите внимание на появление «пунктирной» зоны, подписи хаотичное поведение.

Орбиты стандартной карты для K = 0.6.

Орбиты стандартной карты для K = 0.971635.

Орбиты стандартной карты для K = 1.2.

Орбиты стандартной карты для K = 2,0. Большая зеленая область - это основная хаотическая область на карте.

Единая орбита стандартной карты для K= 2,0. Увеличенный крупный план с центром в

{displaystyle heta = 0,282}

, п = 0,666, общая ширина / высота 0,02. Обратите внимание на чрезвычайно равномерное распределение орбиты.

В стандартная карта (также известный как Карта Чирикова – Тейлора или как Стандартная карта Чирикова) является сохраняющим площадь хаотическая карта из квадрата со стороной ${displaystyle 2pi}$ на себя.^[1] Он построен Поверхность Пуанкаре сечения из отбитый ротатор, и определяется:

{displaystyle p_ {n + 1} = p_ {n} + Ksin (heta _ {n})}

{displaystyle heta _ {n + 1} = heta _ {n} + p_ {n + 1}}

куда ${displaystyle p_ {n}}$ и ${displaystyle heta _ {n}}$ берутся по модулю ${displaystyle 2pi}$ .

Свойства хаоса стандартной карты были установлены Борис Чириков в 1969 г.

Физическая модель

Эта карта описывает Поверхность Пуанкаре сечения движения простой механической системы, известной как отбитый ротатор. Ротатор с ударом состоит из стержня, на который не действует сила тяжести, который может вращаться без трения в плоскости вокруг оси, расположенной на одном из его концов, и который периодически ударяется о другой наконечник.

Стандартная карта - это поверхность сечения, нанесенная стробоскопическая проекция от переменных вращателя с ударом.^[1] Переменные ${displaystyle heta _ {n}}$ и ${displaystyle p_ {n}}$ соответственно определяют угловое положение ручки и ее угловой момент после п-й удар. Постоянная K измеряет интенсивность ударов ногой по ротатору.

В отбитый ротатор аппроксимирует системы, изучаемые в областях механика частиц, физика ускорителя, физика плазмы, и физика твердого тела. Например, круговой ускорители частиц ускорять частицы, применяя периодические толчки, когда они циркулируют в лучевой трубке. Таким образом, структура балки может быть приближена к ротору с толчком. Однако эта карта интересна с фундаментальной точки зрения физики и математики, потому что это очень простая модель консервативной системы, которая отображает Гамильтонов хаос. Поэтому полезно изучить развитие хаоса в такой системе.

Основные свойства

За ${displaystyle K = 0}$ отображение линейное и только периодическое и квазипериодическое. орбиты возможны. Когда построено в фазовое пространство (θ–п плоскости) периодические орбиты выглядят как замкнутые кривые, а квазипериодические орбиты - как ожерелья замкнутых кривых, центры которых лежат на другой, большей замкнутой кривой. Наблюдаемый тип орбиты зависит от начальных условий карты.

Нелинейность карты увеличивается с увеличением K, а вместе с ним и возможность наблюдать хаотическая динамика для соответствующих начальных условий. Это проиллюстрировано на рисунке, который отображает набор различных орбит, разрешенных для стандартной карты для различных значений ${displaystyle K> 0}$ . Все показанные орбиты являются периодическими или квазипериодическими, за исключением зеленой, которая хаотична и развивается в большой области фазового пространства как очевидно случайный набор точек. Особенно примечательна чрезвычайная однородность распределения в хаотической области, хотя это может быть обманчивым: даже внутри хаотических областей существует бесконечное количество уменьшающихся малых островов, которые никогда не посещаются во время итерации, как показано на крупном плане.