Карта Пуанкаре - Poincaré map

Двумерное сечение Пуанкаре вынужденного Уравнение Дуффинга

В математика, особенно в динамические системы, а первая карта повторения или же Карта Пуанкаре, названный в честь Анри Пуанкаре, является пересечением периодическая орбита в пространство состояний из непрерывная динамическая система с некоторым подпространством меньшей размерности, называемым Раздел Пуанкаре, поперечный к поток системы. Точнее, рассматривается периодическая орбита с начальными условиями в пределах секции пространства, которая затем покидает эту секцию, и наблюдает точку, в которой эта орбита сначала возвращается в секцию. Затем создается карта чтобы отправить первую точку во вторую, отсюда и название первая карта повторения. Трансверсальность сечения Пуанкаре означает, что периодические орбиты, начинающиеся на подпространстве, протекают через него, а не параллельно ему.^{[нужна цитата ]}

Отображение Пуанкаре можно интерпретировать как дискретная динамическая система с пространством состояний, которое на одно измерение меньше исходной непрерывной динамической системы. Поскольку он сохраняет многие свойства периодических и квазипериодических орбит исходной системы и имеет пространство состояний меньшей размерности, он часто используется для более простого анализа исходной системы.^{[нужна цитата ]} На практике это не всегда возможно, поскольку не существует общего метода построения отображения Пуанкаре.

Отображение Пуанкаре отличается от сюжет повторения в этом пространстве, а не во времени, определяется, когда наносить точку. Например, местоположение Луны, когда Земля находится в перигелий - сюжет повторения; геометрическое место Луны, когда она проходит через плоскость, перпендикулярную орбите Земли, и проходит через Солнце и Землю в перигелии, является картой Пуанкаре.^{[нужна цитата ]} Он использовался Мишель Энон изучать движение звезд в галактика, потому что путь звезды, проецируемой на плоскость, выглядит как запутанный беспорядок, в то время как карта Пуанкаре показывает структуру более четко.

Определение

В разделе Пуанкаре S, отображение Пуанкаре п точка проектов Икс на точку п(Икс).

Позволять (р, M, φ) быть глобальная динамическая система, с р в действительные числа, M в фазовое пространство и φ в функция эволюции. Пусть γ - периодическая орбита через точку п и S - локальное дифференцируемое и поперечное сечение φ через п, называется Раздел Пуанкаре через п.

Учитывая открытый и связанный район ${\displaystyle U\subset S}$ из п, а функция

${\displaystyle P:U\to S}$

называется Карта Пуанкаре для орбиты γ на Раздел Пуанкаре S через точку п если

• п(п) = п
• п(U) является окрестностью п и п:U → п(U) это диффеоморфизм
• за каждую точку Икс в U, то положительная полуорбита из Икс пересекает S впервые в п(Икс)

Отображения Пуанкаре и анализ устойчивости

Отображения Пуанкаре можно интерпретировать как дискретная динамическая система. В стабильность периодической орбиты исходной системы тесно связана с устойчивостью неподвижной точки соответствующего отображения Пуанкаре.

Позволять (р, M, φ) быть дифференцируемая динамическая система с периодической орбитой γ через п. Позволять

${\displaystyle P:U\to S}$

- соответствующее отображение Пуанкаре через п. Мы определяем

${\displaystyle P^{0}:=\operatorname {id} _{U}}$

${\displaystyle P^{n+1}:=P\circ P^{n}}$

${\displaystyle P^{-n-1}:=P^{-1}\circ P^{-n}}$

и

${\displaystyle P(n,x):=P^{n}(x)}$

тогда (Z, U, п) - дискретная динамическая система с пространством состояний U и функция эволюции

${\displaystyle P:\mathbb {Z} \times U\to U.}$

По определению эта система имеет фиксированную точку в п.

Периодическая орбита γ непрерывной динамической системы равна стабильный тогда и только тогда, когда фиксированная точка п дискретной динамической системы устойчива.

Периодическая орбита γ непрерывной динамической системы равна асимптотически устойчивый тогда и только тогда, когда фиксированная точка п дискретной динамической системы асимптотически устойчива.

Смотрите также

• Повторение Пуанкаре
• Стробоскопическая карта
• Карта Энона
• Сюжет повторения
• Отражающая функция Мироненко
• Инвариантная мера

Рекомендации

• Тешл, Джеральд. Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы.. Провиденс: Американское математическое общество.

внешняя ссылка

• Шивакумар Джолад, Карта Пуанкаре и ее приложение к задаче "вращающийся магнит", (2005)