Уравнение Дуффинга - Duffing equation

А Раздел Пуанкаре вынужденного уравнения Дуффинга, предполагающего хаотическое поведение ${\displaystyle (\alpha =1,}$ ${\displaystyle \beta =5,}$ ${\displaystyle \delta =0.02,}$ ${\displaystyle \gamma =8}$ и ${\displaystyle \omega =0.5)}$.

В Уравнение Дуффинга (или же Осциллятор Дуффинга), названный в честь Георг Даффинг (1861–1944), является нелинейный второго порядка дифференциальное уравнение используется для моделирования определенных демпфированные и ведомые генераторы. Уравнение имеет вид

${\displaystyle {\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}=\gamma \cos(\omega t)\,}$

где (неизвестная) функция ${\displaystyle x=x(t)}$ это смещение во времени ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle {\dot {x}}}$ это первый производная из ${\displaystyle x}$ по времени, т.е. скорость, и ${\displaystyle {\ddot {x}}}$ - вторая производная по времени от ${\displaystyle x,}$ т.е. ускорение. Цифры ${\displaystyle \delta ,}$ ${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle \beta ,}$ ${\displaystyle \gamma }$ и ${\displaystyle \omega }$ даны константы.

Уравнение описывает движение затухающего осциллятора с более сложным потенциал чем в простые гармонические колебания (что соответствует случаю ${\displaystyle \beta =\delta =0}$); физически он моделирует, например, упругий маятник чья весна жесткость не совсем подчиняется Закон Гука.

Уравнение Дуффинга представляет собой пример динамической системы, которая демонстрирует хаотичное поведение. Кроме того, система Дуффинга представлена ​​в частотный отклик явление скачкообразного резонанса, что-то вроде частоты гистерезис поведение.

Параметры

Параметры в приведенном выше уравнении:

• ${\displaystyle \delta }$ контролирует количество демпфирование,
• ${\displaystyle \alpha }$ управляет линейным жесткость,
• ${\displaystyle \beta }$ контролирует степень нелинейности возвращающей силы; если ${\displaystyle \beta =0,}$ Уравнение Дуффинга описывает простой гармонический осциллятор,
• ${\displaystyle \gamma }$ это амплитуда периодической движущей силы; если ${\displaystyle \gamma =0}$ система лишена движущей силы, и
• ${\displaystyle \omega }$ это угловая частота периодической движущей силы.

Уравнение Дуффинга можно рассматривать как описывающее колебания массы, прикрепленной к нелинейному весна и линейный демпфер. Возвратная сила, создаваемая нелинейной пружиной, тогда равна ${\displaystyle \alpha x+\beta x^{3}.}$

Когда ${\displaystyle \alpha >0}$ и ${\displaystyle \beta >0}$ весна называется пружина закалки. Наоборот, для ${\displaystyle \beta <0}$ это смягчающая весна (все еще с ${\displaystyle \alpha >0}$). Следовательно, прилагательные закалка и смягчение используются по отношению к уравнению Дуффинга в целом, в зависимости от значений ${\displaystyle \beta }$ (и ${\displaystyle \alpha }$).^[1]

Число параметров в уравнении Дуффинга можно уменьшить на два путем масштабирования, например экскурсия ${\displaystyle x}$ и время ${\displaystyle t}$ можно масштабировать как:^[2] ${\displaystyle \tau =t{\sqrt {\alpha }}}$ и ${\displaystyle y=x\alpha /\gamma ,}$ предполагая ${\displaystyle \alpha }$ положительна (возможны другие масштабирования для разных диапазонов параметров или для другого акцента в исследуемой задаче). Потом:^[3]

${\displaystyle {\ddot {y}}+2\eta \,{\dot {y}}+y+\varepsilon \,y^{3}=\cos(\sigma \tau ),}$   куда   ${\displaystyle \eta ={\frac {\delta }{2{\sqrt {\alpha }}}},}$   ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\beta \gamma ^{2}}{\alpha ^{3}}}.}$   и   ${\displaystyle \sigma ={\frac {\omega }{\sqrt {\alpha }}}.}$

Точками обозначено дифференцирование ${\displaystyle y(\tau )}$ относительно ${\displaystyle \tau .}$ Это показывает, что решения вынужденного и демпфированного уравнения Дуффинга можно описать с помощью трех параметров (${\displaystyle \varepsilon ,}$ ${\displaystyle \eta }$ и ${\displaystyle \sigma }$) и два первоначальные условия (т.е. для ${\displaystyle y(t_{0})}$ и ${\displaystyle {\dot {y}}(t_{0})}$).

Методы решения

В общем случае уравнение Дуффинга не допускает точного символьного решения. Однако хорошо работают многие приблизительные методы:

• Расширение в Ряд Фурье может предоставить уравнение движения с произвольной точностью.
• В ${\displaystyle x^{3}}$ термин, также называемый Срок действия, можно аппроксимировать как малую, а систему рассматривать как возмущенный простой гармонический осциллятор.
• В Метод Фробениуса дает сложное, но работоспособное решение.
• Любой из разнообразных числовые методы Такие как Метод Эйлера и Рунге-Кутта может быть использован.
• В метод гомотопического анализа (HAM) также сообщалось для получения приближенных решений уравнения Дуффинга, также для сильной нелинейности.^[4][5]

В частном случае незатухающий (${\displaystyle \delta =0}$) и без привода (${\displaystyle \gamma =0}$) Уравнения Дуффинга точное решение можно получить, используя Эллиптические функции Якоби.^[6]

Ограниченность решения для свободного осциллятора.

Незатухающий осциллятор

Умножение незатухающего и невынужденного уравнения Дуффинга, ${\displaystyle \gamma =\delta =0,}$ с ${\displaystyle {\dot {x}}}$ дает:^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {x}}\left({\ddot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}\right)=0\\&\Rightarrow {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\tfrac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\tfrac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\tfrac {1}{4}}\beta x^{4}\right]=0\\&\Rightarrow {\tfrac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\tfrac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\tfrac {1}{4}}\beta x^{4}=H,\end{aligned}}}$

с ЧАС константа. Значение ЧАС определяется начальными условиями ${\displaystyle x(0)}$ и ${\displaystyle {\dot {x}}(0).}$

Замена ${\displaystyle y={\dot {x}}}$ в ЧАС показывает, что система Гамильтониан:

${\displaystyle {\dot {x}}=+{\frac {\partial H}{\partial y}},}$   ${\displaystyle {\dot {y}}=-{\frac {\partial H}{\partial x}}}$   с   ${\displaystyle \quad H={\tfrac {1}{2}}y^{2}+{\tfrac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\tfrac {1}{4}}\beta x^{4}.}$

Когда оба ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ положительны, решение ограничено:^[7]

${\displaystyle |x|\leq {\sqrt {2H/\alpha }}}$   и   ${\displaystyle |{\dot {x}}|\leq {\sqrt {2H}},}$

с гамильтонианом ЧАС быть положительным.

Демпфированный осциллятор

Аналогично для затухающего осциллятора^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {x}}\left({\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}\right)=0\\&\Rightarrow {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\tfrac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\tfrac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\tfrac {1}{4}}\beta x^{4}\right]=-\delta \,\left({\dot {x}}\right)^{2}\\&\Rightarrow {\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} t}}=-\delta \,\left({\dot {x}}\right)^{2}\leq 0,\end{aligned}}}$

поскольку ${\displaystyle \delta \geq 0}$ для демпфирования. Без принуждения затухающий осциллятор Дуффинга окажется в (одном из) своих стабильный точка равновесия (s). Точки равновесия, стабильные и нестабильные, находятся в ${\displaystyle \alpha x+\beta x^{3}=0.}$ Если ${\displaystyle \alpha >0}$ устойчивое равновесие находится при ${\displaystyle x=0.}$ Если ${\displaystyle \alpha <0}$ и ${\displaystyle \beta >0}$ устойчивые положения равновесия ${\displaystyle x=+{\sqrt {-\alpha /\beta }}}$ и ${\displaystyle x=-{\sqrt {-\alpha /\beta }}.}$

Частотный отклик

Частотный отклик ${\displaystyle z/\gamma }$ как функция ${\displaystyle \omega /{\sqrt {\alpha }}}$ для уравнения Дуффинга с ${\displaystyle \alpha =\gamma =1}$ и демпфирование ${\displaystyle \delta =0.1.}$ Пунктирные участки частотной характеристики нестабильны.^[3]

Вынужденный осциллятор Дуффинга с кубической нелинейностью описывается следующим обыкновенным дифференциальным уравнением:

${\displaystyle {\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}=\gamma \cos(\omega t).}$

В частотный отклик осциллятора описывает амплитуда ${\displaystyle z}$ отклика в установившемся состоянии уравнения (т.е. ${\displaystyle x(t)}$) при данном частота возбуждения ${\displaystyle \omega .}$ Для линейного осциллятора с ${\displaystyle \beta =0,}$ частотная характеристика также линейна. Однако при ненулевом кубическом коэффициенте частотная характеристика становится нелинейной. В зависимости от типа нелинейности осциллятор Дуффинга может показывать частотную характеристику упрочнения, смягчения или смешанного упрочнения-смягчения. В любом случае, используя метод гомотопического анализа или же гармонический баланс, можно вывести уравнение частотной характеристики в следующем виде:^[9][5]

${\displaystyle \left[\left(\omega ^{2}-\alpha -{\frac {3}{4}}\beta z^{2}\right)^{2}+\left(\delta \omega \right)^{2}\right]\,z^{2}=\gamma ^{2}.}$

Для параметров уравнения Дуффинга приведенное выше алгебраическое уравнение дает устойчивое состояние амплитуда колебаний ${\displaystyle z}$ при заданной частоте возбуждения.

Вывод частотной характеристики

С помощью метода гармонического баланса ищется приближенное решение уравнения Дуффинга вида:[9] ${\displaystyle x=a\,\cos(\omega t)+b\,\sin(\omega t)=z\,\cos(\omega t-\phi ),}$   с   ${\displaystyle z^{2}=a^{2}+b^{2}}$   и   ${\displaystyle \tan \phi ={\frac {b}{a}}.}$ Применение в уравнении Дуффинга приводит к: ${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(-\omega ^{2}\,a+\omega \,\delta \,b+\alpha \,a+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{3}+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a\,b^{2}-\gamma \right)\,\cos \left(\omega \,t\right)\\&+\left(-\omega ^{2}\,b-\omega \,\delta \,a+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,b^{3}+\alpha \,b+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{2}\,b\right)\,\sin \left(\omega \,t\right)\\&+\left({\tfrac {1}{4}}\,\beta \,a^{3}-{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a\,b^{2}\right)\,\cos \left(3\,\omega \,t\right)+\left({\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{2}\,b-{\tfrac {1}{4}}\,\beta \,b^{3}\right)\,\sin \left(3\,\omega \,t\right)=0.\end{aligned}}}$ Пренебрегая супергармоники в ${\displaystyle 3\omega ,}$ два условия, предшествующие ${\displaystyle \cos(\omega t)}$ и ${\displaystyle \sin(\omega t)}$ должно быть равно нулю. Как результат, ${\displaystyle {\begin{aligned}&-\omega ^{2}\,a+\omega \,\delta \,b+\alpha \,a+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{3}+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a\,b^{2}=\gamma \qquad {\text{and}}\\&-\omega ^{2}\,b-\omega \,\delta \,a+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,b^{3}+\alpha \,b+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{2}\,b=0.\end{aligned}}}$ Возведение обоих уравнений в квадрат и сложение приводит к амплитудно-частотной характеристике: ${\displaystyle \left[\left(\omega ^{2}-\alpha -{\frac {3}{4}}\beta z^{2}\right)^{2}+\left(\delta \omega \right)^{2}\right]\,z^{2}=\gamma ^{2},}$ как указано выше.

Прыжки

Скачки в АЧХ. Параметры: ${\displaystyle \alpha =\gamma =1,}$,${\displaystyle \beta =0.04}$ и ${\displaystyle \delta =0.1.}$^[9]

Для определенных диапазонов параметров в уравнении Дуффинга частотная характеристика больше не может быть однозначная функция частоты нагнетания ${\displaystyle \omega .}$ Для твердеющего пружинного осциллятора (${\displaystyle \alpha >0}$ и достаточно большой позитив ${\displaystyle \beta >\beta _{c+}>0}$) частотная характеристика переходит в высокочастотную сторону, а в низкочастотную сторону для смягчающего пружинного генератора (${\displaystyle \alpha >0}$ и ${\displaystyle \beta <\beta _{c-}<0}$). Нижняя свисающая сторона нестабильна - то есть части, обозначенные пунктирной линией на фигурах частотной характеристики - и не может быть реализована в течение длительного времени. Следовательно, проявляется феномен скачка:

• когда угловая частота ${\displaystyle \omega }$ медленно увеличивается (с фиксированными другими параметрами), отклик амплитуда ${\displaystyle z}$ падает в А внезапно на Б,
• если частота ${\displaystyle \omega }$ медленно уменьшается, затем в точке C амплитуда подскакивает до D, после чего следует верхняя ветвь частотной характеристики.

Скачки A – B и C – D не совпадают, поэтому система показывает гистерезис в зависимости от направления развертки частоты.^[9]

Примеры

Трассы времени и фазовые портреты

период-1 колебание при ${\displaystyle \gamma =0.20}$

период-2 колебания при ${\displaystyle \gamma =0.28}$

период-4 колебание при ${\displaystyle \gamma =0.29}$

период-5 колебание на ${\displaystyle \gamma =0.37}$

хаос в ${\displaystyle \gamma =0.50}$

период-2 колебания при ${\displaystyle \gamma =0.65}$

Некоторые типичные примеры Временные ряды и фазовые портреты уравнения Дуффинга, показывая появление субгармоники через бифуркация удвоения периода - также хаотичное поведение - показаны на рисунках ниже. Амплитуда воздействия увеличивается от ${\displaystyle \gamma =0.20}$ к ${\displaystyle \gamma =0.65.}$ Остальные параметры имеют значения: ${\displaystyle \alpha =-1,}$ ${\displaystyle \beta =+1,}$ ${\displaystyle \delta =0.3}$ и ${\displaystyle \omega =1.2.}$ Начальные условия: ${\displaystyle x(0)=1}$ и ${\displaystyle {\dot {x}}(0)=0.}$ Красные точки на фазовых портретах временами ${\displaystyle t}$ которые являются целое число несколько из период ${\displaystyle T=2\pi /\omega .}$^[10]

Рекомендации

В соответствии

1. Thompson, J.M.T .; Стюарт, Х. (2002). Нелинейная динамика и хаос. Джон Вили и сыновья. п. 66. ISBN  9780471876847.
2. Лифшиц, Р .; Кросс, М. (2008). «Нелинейная механика наномеханических и микромеханических резонаторов». В Шустере, Х.Г. (ред.). Обзоры нелинейной динамики и сложности. Вайли. С. 8–9. ISBN  9783527407293. LCCN  2008459659.
3. Brennan, M.J .; Ковачич, I .; Carrella, A .; Уотерс, Т. (2008). «О скачках вверх и вниз осциллятора Дуффинга». Журнал звука и вибрации. 318 (4–5): 1250–1261. Дои:10.1016 / j.jsv.2008.04.032.
4. Ковачич и Бреннан (2011 г., стр. 123–127).
5. Tajaddodianfar, F .; Yazdi, M.R.H .; Пишкенари, Х.Н. (2016). «Нелинейная динамика резонаторов MEMS / NEMS: аналитическое решение методом гомотопического анализа». Микросистемные технологии. Дои:10.1007 / s00542-016-2947-7.
6. Рэнд, Р.Х. (2012), Конспект по нелинейным колебаниям (PDF), 53, Корнельский университет, стр. 13–17.
7. Бендер и Орзаг (1999), п. 546)
8. Такаши Канамару (ред.). «Осциллятор Дуффинга». Scholarpedia.
9. Джордан и Смит (2007), стр. 223–233).
10. На основе примеров, приведенных в Джордан и Смит (2007), стр. 453–462).

Исторический

• Даффинг, Г. (1918), Erzwungene Schwingungen bei veränderlicher Eigenfrequenz und ihre technische Bedeutung [Вынужденные колебания с переменной собственной частотой и их техническая значимость] (на немецком языке), Heft 41/42, Брауншвейг: Vieweg, vi + 134 стр., OCLC  12003652

Другой

• Аддисон, П.С. (1997), Фракталы и хаос: иллюстрированный курс, CRC Press, стр. 147–148, ISBN  9780849384431
• Бендер, К.; Орзаг, С.А. (1999), Расширенные математические методы для ученых и инженеров I: асимптотические методы и теория возмущений, Springer, стр. 545–551, ISBN  9780387989310
• Jordan, D.W .; Смит, П. (2007), Нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения - Введение для ученых и инженеров (4-е изд.), Oxford University Press, ISBN  978-0-19-920824-1
• Ковачич, I .; Бреннан, М.Дж., ред. (2011), Уравнение Дуффинга: нелинейные осцилляторы и их поведение, Wiley, 392 стр., ISBN  978-0-470-71549-9

внешняя ссылка

• Осциллятор Дуффинга на Scholarpedia
• Страница MathWorld
• Пчелинцев, А.Н .; Ахмад, С. (2020). «Решение уравнения Дуффинга методом степенных рядов» (PDF). Труды ТГТУ. 26 (1): 118–123.