Эластичный маятник - Elastic pendulum

«Весенний маятник» перенаправляется сюда. Не следует путать с одномерной вертикалью. пружинно-массовая система с гравитацией, ср. также Простое гармоническое движение # Масса на пружине..

В физика и математика, в районе динамические системы, упругий маятник^[1][2] (также называемый пружинный маятник^[3][4] или качающаяся пружина) это физическая система где кусок массы соединен с весна так что результирующее движение содержит элементы как простой маятник и одномерный пружинно-массовая система.^[2] В системе выставлены хаотичное поведение и является чувствительный к первоначальные условия.^[2] Движение упругого маятника регулируется набором связанных обыкновенные дифференциальные уравнения.

Анализ и интерпретация

2 DOF упругий маятник с графиками в полярных координатах. ^[5]

Система намного сложнее простого маятника, поскольку свойства пружины добавляют системе дополнительное измерение свободы. Например, когда пружина сжимается, меньший радиус заставляет пружину двигаться быстрее из-за сохранения угловой момент. Также возможно, что пружина имеет диапазон, который перекрывается движением маятника, что делает ее практически нейтральной по отношению к движению маятника.

Лагранжиан

Пружина имеет оставшуюся длину ${\displaystyle l_{0}}$ и может растягиваться до длины ${\displaystyle x}$. Угол колебания маятника составляет ${\displaystyle \theta }$.

В Лагранжиан ${\displaystyle L}$ является:

${\displaystyle L=T-V}$

где ${\displaystyle T}$ это кинетическая энергия и ${\displaystyle V}$ это потенциальная энергия.

Увидеть. Закон Гука потенциальная энергия самой пружины:

${\displaystyle V_{k}={\frac {1}{2}}kx^{2}}$

где ${\displaystyle k}$ - жесткость пружины.

Потенциальная энергия от сила тяжести, с другой стороны, определяется высотой массы. Для данного угла и смещения потенциальная энергия равна:

${\displaystyle V_{g}=-gm(l_{0}+x)\cos \theta }$

где ${\displaystyle g}$ это гравитационное ускорение.

Кинетическая энергия определяется как:

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}mv^{2}}$

где ${\displaystyle v}$ это скорость массы. Связать ${\displaystyle v}$ остальным переменным скорость записывается как комбинация движения вдоль и перпендикулярно пружине:

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+(l_{0}+x)^{2}{\dot {\theta }}^{2})}$

Итак, лагранжиан становится:^[1]

${\displaystyle L=T-V_{k}-V_{g}}$

${\displaystyle L[x,{\dot {x}},\theta ,{\dot {\theta }}]={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+(l_{0}+x)^{2}{\dot {\theta }}^{2})-{\frac {1}{2}}kx^{2}+gm(l_{0}+x)\cos \theta }$

Уравнения движения

С двумя степени свободы, за ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle \theta }$, уравнения движения можно найти с помощью двух Уравнения Эйлера-Лагранжа:

${\displaystyle {\partial L \over \partial x}-{\operatorname {d} \over \operatorname {d} t}{\partial L \over \partial {\dot {x}}}=0}$

${\displaystyle {\partial L \over \partial \theta }-{\operatorname {d} \over \operatorname {d} t}{\partial L \over \partial {\dot {\theta }}}=0}$

За ${\displaystyle x}$:^[1]

${\displaystyle m(l_{0}+x){\dot {\theta }}^{2}-kx+gm\cos \theta -m{\ddot {x}}=0}$

${\displaystyle {\ddot {x}}}$ изолированные:

${\displaystyle {\ddot {x}}=(l_{0}+x){\dot {\theta }}^{2}-{\frac {k}{m}}x+g\cos \theta }$

И для ${\displaystyle \theta }$:^[1]

${\displaystyle -gm(l_{0}+x)\sin \theta -m(l_{0}+x)^{2}{\ddot {\theta }}-2m(l_{0}+x){\dot {x}}{\dot {\theta }}=0}$

${\displaystyle {\ddot {\theta }}}$ изолированные:

${\displaystyle {\ddot {\theta }}=-{\frac {g}{l_{0}+x}}\sin \theta -{\frac {2{\dot {x}}}{l_{0}+x}}{\dot {\theta }}}$

Упругий маятник теперь описан двумя связанными обыкновенные дифференциальные уравнения. Это можно решить численно. Кроме того, можно использовать аналитические методы для изучения интригующего явления порядка-хаоса-порядка.^[6] в этой системе.

Смотрите также

• Двойной маятник
• Осциллятор Дуффинга
• Маятник (математика)
• Пружинно-массовая система

Рекомендации

1. Сяо, Цисун; и другие. «Динамика упругого маятника» (PDF).
2. Покорный, Павел (2008). «Условие устойчивости для вертикальных колебаний трехмерного упругого маятника с тяжелой пружиной» (PDF). Регулярная и хаотическая динамика. 13 (3): 155–165. Bibcode:2008RCD .... 13..155P. Дои:10.1134 / S1560354708030027.
3. Сивасринивас, Колукула. «Весенний маятник».
4. Хилл, Кристиан (19 июля 2017 г.). «Пружинный маятник».
5. Симионеску, П.А. (2014). Инструменты компьютерного построения графиков и моделирования для пользователей AutoCAD (1-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1-4822-5290-3.
6. Анураг, Анураг; Басудеб, Мондаль; Бхаттачарджи, Джаянта Кумар; Чакраборти, Сагар (2020). «Понимание перехода порядок-хаос-порядок в плоском упругом маятнике». Physica D. 402: 132256. Дои:10.1016 / j.physd.2019.132256.

дальнейшее чтение

• Покорный, Павел (2008). «Условие устойчивости для вертикальных колебаний трехмерного упругого маятника с тяжелой пружиной» (PDF). Регулярная и хаотическая динамика. 13 (3): 155–165. Bibcode:2008RCD .... 13..155P. Дои:10.1134 / S1560354708030027.
• Покорный, Павел (2009). «Продолжение периодических решений диссипативных и консервативных систем: приложение к упругому маятнику» (PDF). Математические проблемы в инженерии. 2009: 1–15. Дои:10.1155/2009/104547.

внешняя ссылка

• Головацкий В., Головацкая Ю. (2019) «Колебания упругого маятника» (интерактивная анимация), Wolfram Demonstrations Project, опубликовано 19 февраля 2019 г.