Карта Энона - Hénon map - Wikipedia

Аттрактор Энона для а = 1,4 и б = 0.3

Аттрактор Энона для а = 1,4 и б = 0.3

В Карта Энона иногда называют Аттрактор Энона-Помо / карта, ^[1] это дискретное время динамическая система. Это один из наиболее изученных примеров динамические системы эта выставка хаотичное поведение. Карта Энона берет точку (Икс_п, у_п) на плоскости и сопоставляет ее с новой точкой

${\displaystyle {\begin{cases}x_{n+1}=1-ax_{n}^{2}+y_{n}\\y_{n+1}=bx_{n}.\end{cases}}}$

Карта зависит от двух параметров, а и б, что для классическая карта Энона иметь ценности а = 1,4 и б = 0,3. Для классических значений отображение Энона хаотично. Для других значений а и б карта может быть хаотичной, прерывистый, или сходятся к периодическая орбита. Обзор типа поведения карты при различных значениях параметров можно получить из ее диаграмма орбиты.

Карта была представлена Мишель Энон как упрощенная модель Раздел Пуанкаре из Модель Лоренца. Для классической карты начальная точка плоскости будет приближаться к набору точек, известному как Hénon странный аттрактор, или расходятся до бесконечности. Аттрактор Энона - это фрактал, гладкие в одном направлении и Кантор набор в другой. Численные оценки дают измерение корреляции 1,25 ± 0,02^[2] и Хаусдорфово измерение 1,261 ± 0,003^[3] для аттрактора классического отображения.

Аттрактор

Диаграмма орбит для отображения Энона с b = 0,3. Более высокая плотность (темнее) указывает на повышенную вероятность переменной Икс приобретение этого значения для данного значения а. Обратите внимание на спутник области хаоса и периодичности вокруг а = 1,075 - они могут возникнуть в зависимости от начальных условий для Икс и у.

Карта Энона отображает две точки в себя: это инвариантные точки. Для классических значений а и б отображения Энона одна из этих точек находится на аттракторе:

${\displaystyle x={\frac {{\sqrt {609}}-7}{28}}\approx 0.631354477,}$

${\displaystyle y={\frac {3\left({\sqrt {609}}-7\right)}{280}}\approx 0.189406343.}$

Эта точка нестабильна. Точки, близкие к этой фиксированной точке и вдоль склона 1,924, будут приближаться к фиксированной точке, а точки на склоне -0,156 будут перемещаться от фиксированной точки. Эти наклоны возникают из-за линеаризации стабильное многообразие и неустойчивый коллектор фиксированной точки. Неустойчивое многообразие неподвижной точки в аттракторе содержится в странный аттрактор карты Энона.

У карты Энона нет странного аттрактора для всех значений параметров. а и б. Например, сохраняя б при фиксированном значении 0,3 бифуркационная диаграмма показывает, что для а = 1.25, отображение Энона имеет стабильную периодическую орбиту в качестве аттрактора.

Цвитанович и др. показали, как структуру странного аттрактора Энона можно понять в терминах нестабильных периодических орбит внутри аттрактора.

Классическое отображение Энона (15 итераций). Под-итерации рассчитываются с использованием трехступенчатой ​​декомпозиции.

Разложение

Карту Энона можно разложить на изгиб, сохраняющий площадь:

${\displaystyle (x_{1},y_{1})=(x,1-ax^{2}+y)\,}$,

сокращение в Икс направление:

${\displaystyle (x_{2},y_{2})=(bx_{1},y_{1})\,}$,

и отражение в строке у = Икс:

${\displaystyle (x_{3},y_{3})=(y_{2},x_{2})\,}$.

Одномерное разложение

Карта Энона также может быть разложена на одномерную карту, определенную аналогично Последовательность Фибоначчи.

${\displaystyle x_{n+1}=1-ax_{n}^{2}+bx_{n-1}}$

Особые случаи и низкопериодические орбиты

Если решить одномерную карту Хенона для особого случая:

${\displaystyle X=x_{n-1}=x_{n}=x_{n+1}}$

Приходим к простой квадратике:

${\displaystyle X=1-aX^{2}+bX}$

Или же

${\displaystyle 0=-aX^{2}+(b-1)X+1}$

В квадратичная формула дает:

${\displaystyle X={b-1\pm {\sqrt {b^{2}-2b+1+4a}} \over 2a}}$

В частном случае b = 1 это упрощается до

${\displaystyle X={\pm {\sqrt {a}} \over a}}$

Если, кроме того, a находится в виде ${\displaystyle {1 \over c^{n}}}$ формула дополнительно упрощается до

${\displaystyle X=\pm c^{n/2}}$

На практике начальная точка (X, X) будет следовать четырехточечной петле в двух измерениях, проходящей через все квадранты.

${\displaystyle (X,X)=(X,-X)}$

${\displaystyle (X,-X)=(-X,-X)}$

${\displaystyle (-X,-X)=(-X,X)}$

${\displaystyle (-X,X)=(X,X)}$

История

В 1976 году во Франции аттрактор Лоренца проанализировал физик. Ив Помо который выполняет серию численных расчетов с J.L. Ibanez.^[4] Этот анализ является своего рода дополнением к работе Рюэля (и Лэнфорда), представленной в 1975 году. Их интересует аттрактор Лоренца, то есть тот, который соответствует исходным дифференциальным уравнениям, и его геометрическая структура. Помо и Ибанез комбинируют свои численные расчеты с результатами математического анализа, основанного на использовании сечений Пуанкаре. Растяжение, сворачивание, чувствительность к начальным условиям естественным образом связываются в этом контексте с аттрактором Лоренца. Если анализ, в конечном счете, очень математический, Помо и Ибанез следуют в некотором смысле физическому подходу, экспериментируя с системой Лоренца численно.

Эти опыты открывают две возможности. Они позволяют выделить сингулярное поведение системы Лоренца: существует переход, характеризующийся критическим значением параметров системы, при котором система переключается из положения странного аттрактора в конфигурацию предельного цикла. Важность будет раскрыта самим Помо (и соавтором Полем Манневиллем) через «сценарий» Прерывистость, предложенный в 1979 г.

Второй путь, предложенный Помо и Ибанесом, - это идея реализации динамических систем, даже более простых, чем у Лоренца, но имеющих схожие характеристики, и которые позволят более четко доказать «свидетельства», обнаруженные с помощью численных расчетов. Поскольку рассуждения основаны на разделе Пуанкаре, он предлагает создать приложение плоскости самой по себе, а не дифференциальное уравнение, имитируя поведение Лоренца и его странный аттрактор. Он строит ее специально, что позволяет ему лучше обосновывать свои рассуждения.

В январе 1976 года Помо представил свою работу во время семинара в Обсерватории Лазурного берега, на котором присутствовал Мишель Энон. Мишель Энон использует предложение Помо, чтобы получить простую систему со странным аттрактором.^[5][6]

Смотрите также

• Карта подковы
• Теорема Такенса

Примечания

1. Раздел 13.3.2; Сюй, Чие Су. Отображение от ячейки к ячейке: метод глобального анализа нелинейных систем. Vol. 64. Springer Science & Business Media, 2013.
2. П. Грассбергер; И. Прокачча (1983). «Измерение странностей странных аттракторов». Physica. 9D (1–2): 189–208. Bibcode:1983PhyD .... 9..189G. Дои:10.1016/0167-2789(83)90298-1.
3. Д.А. Рассел; J.D. Hanson; Э. Отт (1980). «Размерность странных аттракторов». Письма с физическими проверками. 45 (14): 1175. Bibcode:1980ПхРвЛ..45.1175Р. Дои:10.1103 / PhysRevLett.45.1175.
4. "Помо_Ибанез 1976".
5. "L'attracteur de Hénon".
6. "Два французских образца: Ив Помо и Мишель Энон".

Рекомендации

• М. Энон (1976). «Двумерное отображение со странным аттрактором». Коммуникации по математической физике. 50 (1): 69–77. Bibcode:1976CMaPh..50 ... 69H. Дои:10.1007 / BF01608556.
• Предраг Цвитанович; Гемуну Гунаратне; Итамар Прокачча (1988). «Топологические и метрические свойства странных аттракторов типа Энона». Физический обзор A. 38 (3): 1503–1520. Bibcode:1988ПхРвА..38.1503С. Дои:10.1103 / PhysRevA.38.1503. PMID  9900529.
• Карлес Симо (1979). «Об аттракторе Энона-Помо». Журнал статистической физики. 21: 465–494.
• Мишель Энон и Ив Помо (1976). «Два странных аттрактора с простой структурой». Уравнения турбулентности и Навье-Стокса.. Спрингер: 29–68.
• M. Michelitsch; О. Э. Рёсслер (1989). «Новая функция на карте Хенона». Компьютеры и графика. 13 (2): 263–265. Дои:10.1016/0097-8493(89)90070-8.. Перепечатано в: Хаос и фракталы, Путешествие по компьютерной графике: Десятилетний сборник передовых исследований (под ред. К. А. Пиковера). Амстердам, Нидерланды: Elsevier, стр. 69–71, 1998.
• Кузнецов, Николай; Рейтманн, Фолькер (2020). Оценка размерности аттрактора для динамических систем: теория и вычисления. Чам: Спрингер.

внешняя ссылка

• Интерактивная карта Хенона и Аттрактор Хенона в Хаотические карты
• Еще одна интерактивная версия карты Хенон А. Луна
• Орбитальная диаграмма карты Энона К. Пеллисер-Лостао и Р. Лопес-Руис по работе Эда Пегга-младшего, Демонстрационный проект Wolfram.
• Код Matlab для карты Hénon М.Сузена
• Моделирование карты Энона в javascript (Experience.math.cnrs.fr) Марка Монтичелли.