Решетка связанных карт - Coupled map lattice - Wikipedia

А соединенный карта решетка (CML) это динамическая система который моделирует поведение нелинейный системы (особенно уравнения в частных производных ). Они преимущественно используются для качественного изучения хаотическая динамика пространственно протяженных систем. Это включает в себя динамику пространственно-временной хаос где количество эффективных степени свободы расходится по мере увеличения размера системы.^[1]

Особенности CML: дискретная временная динамика, дискретные базовые пространства (решетки или сети) и действительные (числовые или векторные), локальные, непрерывные переменные состояния.^[2] Изученные системы включают население, химические реакции, конвекция, поток жидкости и биологические сети. Совсем недавно CML были применены к вычислительным сетям. ^[3] определение вредоносных методов атаки и каскадные отказы.

ХМЛ сопоставимы с клеточные автоматы модели с точки зрения их дискретных характеристик.^[4] Однако ценность каждого сайта в сети клеточного автомата строго зависит от его соседа (ов) из предыдущего временного шага. Каждый сайт CML зависит только от своих соседей относительно члена сцепления в рекуррентное уравнение. Однако это сходство может быть усугублено при рассмотрении многокомпонентных динамических систем.

Вступление

CML обычно включает систему уравнений (связанных или несвязанных), конечное число переменных, глобальную или локальную схему связи и соответствующие члены связи. Основная решетка может существовать в бесконечных измерениях. Отображения, представляющие интерес в CML, обычно демонстрируют хаотическое поведение. Такие карты можно найти здесь: Список хаотических карт.

А логистическая карта демонстрирует хаотическое поведение, легко идентифицируемое в одном измерении для параметра r> 3,57:

${\displaystyle \qquad x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})}$

На рисунке 1, ${\displaystyle x_{0}}$ инициализируется случайными значениями через небольшую решетку; значения не связаны с соседними сайтами. Такой же отношение повторения применяется в каждой точке решетки, хотя параметр r немного увеличивается с каждым шагом по времени. Результатом является грубая форма хаотического поведения в решетке карты. Однако существенных пространственные корреляции или соответствующие фронты хаотического поведения. Нет очевидного порядка.

Для базовой связи мы рассматриваем связь «одного соседа», где значение на любом заданном сайте ${\displaystyle s}$ вычисляется из рекурсивных отображений как на ${\displaystyle s}$ сам и на соседнем сайте ${\displaystyle s-1}$. Параметр связи ${\displaystyle \epsilon =0.5}$ одинаково взвешен. Опять же, значение ${\displaystyle r}$ постоянна по решетке, но немного увеличивается с каждым шагом по времени.

${\displaystyle \qquad x_{n+1}=(\epsilon )[rx_{n}(1-x_{n})]_{s}+(1-\epsilon )[rx_{n}(1-x_{n})]_{s-1}}$

Несмотря на то, что рекурсия хаотична, в процессе эволюции развивается более прочная форма. Вытянутые конвективные пространства сохраняются по всей решетке (см. Рисунок 2).

Рисунок 1: Несвязанная решетка логистической карты со случайным заполнением более сорока итераций.	Рисунок 2: CML с одним соседом Схема сцепления выполнена за сорок итераций.

История

CML были впервые представлены в середине 1980-х годов в серии недавно выпущенных публикаций.^[5][6][7][8] Капрал использовал CML для моделирования химических пространственных явлений. Кузнецов стремился применить CML к электрическим схемам, разработав ренормгруппа подход (аналогичный подходу Фейгенбаума универсальность к пространственно протяженным системам). Канеко сфокусировался на более широких кругах, и он до сих пор известен как самый активный исследователь в этой области.^[9] Наиболее изученная модель CML была представлена ​​Канеко в 1983 году, где рекуррентное уравнение выглядит следующим образом:

${\displaystyle u_{s}^{t+1}=(1-\varepsilon )f(u_{s}^{t})+{\frac {\varepsilon }{2}}\left(f(u_{s+1}^{t})+f(u_{s-1}^{t})\right)\ \ \ t\in \mathbb {N} ,\ \varepsilon \in [0,1]}$

куда ${\displaystyle u_{s}^{t}\in {\mathbb {R} }\ ,}$ и ${\displaystyle f}$ это настоящее отображение.

Применяемая стратегия CML была следующей:

• Выберите набор переменных поля на решетке на макроскопическом уровне. Размерность (не ограниченная системой CML) должна быть выбрана в соответствии с исследуемым физическим пространством.
• Разложите процесс (лежащий в основе явлений) на независимые компоненты.
• Замените каждый компонент нелинейным преобразованием переменных поля в каждой точке решетки и членом связи на подходящих выбранных соседях.
• Последовательно провести динамику («процедуру») каждого агрегата.

Классификация

Система CML развивается через дискретное время путем сопоставления векторных последовательностей. Эти сопоставления являются рекурсивной функцией двух конкурирующих терминов: индивидуального нелинейный реакция, и пространственное взаимодействие (сцепление) переменной интенсивности. CML можно классифицировать по силе этого параметра (ов) связи.

Большая часть опубликованных в настоящее время работ по CML основана на слабосвязанных системах. ^[10] куда диффеоморфизмы из пространство состояний близкие к идентичности. Слабая связь с монотонный (бистабильный ) динамические режимы демонстрируют явления пространственного хаоса и популярны в нейронных моделях.^[11] Унимодальные карты со слабой связью характеризуются стабильностью периодические точки и используются сеть регуляции генов модели. Хаотические явления пространства-времени могут быть продемонстрированы с помощью хаотических отображений с учетом слабых коэффициентов связи и популярны в фаза перехода модели явлений.

Промежуточные и сильные взаимодействия - менее плодотворные области изучения. Промежуточные взаимодействия изучаются относительно фронтов и бегущие волны, изрезанные бассейны, изрезанные бифуркации, кластеры и неуникальные фазы. Взаимодействия сильной связи наиболее известны для моделирования эффектов синхронизации динамических пространственных систем, таких как Курамото модель.

Эти классификации не отражают локальные или глобальные (GML ^[12]) связующий характер взаимодействия. Они также не рассматривают частоту связи, которая может существовать как степень свободы в системе.^[13] Наконец, они не различают размеры основного пространства или граничные условия.

Удивительно, но динамика CML имеет мало общего с локальными картами, составляющими их элементарные компоненты. Для каждой модели необходимо строгое математическое исследование для определения хаотического состояния (помимо визуальной интерпретации). На этот счет были проведены строгие доказательства. В качестве примера: существование пространственно-временного хаоса в слабых пространственных взаимодействиях одномерных отображений с сильными статистическими свойствами было доказано Бунимовичем и Синаем в 1988 году.^[14] Подобные доказательства существуют для слабо связанных гиперболических отображений при тех же условиях.

Уникальные качественные классы CML

CML выявили новые классы качественной универсальности в феноменологии (CML). К таким занятиям относятся:

• Пространственная бифуркация и замороженный хаос
• Выбор шаблона
• Подбор зигзагообразных узоров и хаотическое распространение дефектов
• Пространственно-временной прерывистость
• Солитон турбулентность
• Глобальные бегущие волны, генерируемые локальными сдвигами фазы
• Пространственная бифуркация на нисходящий поток в системах с открытым потоком.

Визуальные явления

Перечисленные выше уникальные качественные классы можно визуализировать. Применяя модель Канеко 1983 к логистике ${\displaystyle {f(x_{n})}=1-ax^{2}}$ map можно наблюдать несколько качественных классов CML. Они показаны ниже, обратите внимание на уникальные параметры:

Замороженный хаос	Выбор шаблона	Хаотическое броуновское движение дефекта
Рисунок 1: Сайты разделены на неоднородные кластеры, где разделенные шаблоны рассматриваются как аттракторы. Чувствительность к начальным условиям существует относительно а < 1.5.	Рисунок 2: Кластеры почти одинакового размера (а = 1.71, ε = 0.4).	Рисунок 3: Дефекты существуют в системе и хаотически колеблются подобно броуновскому движению (а = 1.85, ε = 0.1).
Дефект турбулентности	Пространственно-временная перемежаемость I	Пространственно-временная перемежаемость II
Рисунок 4: Многие дефекты возникают и турбулентно сталкиваются (а = 1.895, ε = 0.1).	Рисунок 5: Каждый сайт периодически переходит из когерентного состояния в хаотическое (а = 1.75, ε = 0,6), фаза I.	Рисунок 6: Когерентное состояние, фаза II.
Полностью развитый пространственно-временной хаос	Бегущая волна
Рисунок 7: Большинство сайтов независимо колеблются хаотично (а = 2.00, ε = 0.3).	Рисунок 8: Волна кластеров движется с «низкими» скоростями (а = 1.47, ε = 0.5).

Количественные показатели количественного анализа

Решетки связанных карт, являющиеся прототипом пространственно-расширенных систем, которые легко моделировать, представляют собой эталон для определения и введения многих индикаторов пространственно-временного хаоса, наиболее актуальными из которых являются

• В спектр мощности в пространстве и времени
• Спектры Ляпунова^[15]
• Размерная плотность
• Энтропия Колмогорова – Синая плотность
• Распределения паттернов
• Паттерн энтропия
• Скорость распространения конечных и бесконечно малых возмущений
• Взаимная информация и корреляция в пространстве-времени
• Показатели Ляпунова, локализация Ляпуновские векторы
• Приходящее и подпространственное время Показатели Ляпунова.
• Пространственное и временное Показатели Ляпунова ^[16]

Смотрите также

• Клеточные автоматы
• Показатель Ляпунова
• Стохастические клеточные автоматы

Рекомендации

1. Канеко, Кунихико (1992). «Обзор решеток связанных карт». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки. Издательство AIP. 2 (3): 279–282. Дои:10.1063/1.165869. ISSN  1054-1500. PMID  12779975.
2. Шазот, Жан-Рене и Бастьен Фернандес. Динамика решеток связанных отображений и связанных с ними пространственно-расширенных систем. Springer, 2004. стр. 1–4.
3. Сюй, Цзянь. Ван, Сиоа Фань. «Каскадные отказы в безмасштабных решетках связанных карт». Международный симпозиум IEEE по схемам и системам «ISCAS Volume 4, (2005): 3395–3398.
4. Р. Бади и А. Полити, Сложность: иерархические структуры и масштабирование в физике (Издательство Кембриджского университета, Кембридж, Англия, 1997).
5. Канеко, К. (1984-09-01). "Удвоение периода паттернов кинк-антикинк, квазипериодичность в антиферроподобных структурах и пространственная перемежаемость в связанной логистической решетке: к прелюдии" полевой теории хаоса """. Успехи теоретической физики. Издательство Оксфордского университета (ОУП). 72 (3): 480–486. Дои:10.1143 / птп.72.480. ISSN  0033-068X.
6. Уоллер, Ирэн; Капрал, Раймонд (1984-10-01). «Пространственно-временная структура в системах связанных нелинейных осцилляторов». Физический обзор A. Американское физическое общество (APS). 30 (4): 2047–2055. Дои:10.1103 / Physreva.30.2047. ISSN  0556-2791.
7. Кратчфилд, Джеймс П. (1984). «Пространственно-временная динамика в видео обратной связи». Physica D: нелинейные явления. Elsevier BV. 10 (1–2): 229–245. Дои:10.1016/0167-2789(84)90264-1. ISSN  0167-2789.
8. Кузнецов С.П., Пиковский А.С., Известия ВУС, Радиофизика 28, 308 (1985)
9. http://chaos.c.u-tokyo.ac.jp/
10. Лекции школьного форума (CML 2004), прошедшего в Париже 21 июня - 2 июля 2004 г. Под редакцией Ж.-Р. Шазотт и Б. Фернандес. Конспект лекций по физике, 671. Springer, Berlin (2005)
11. Нодзава, Хироши (1992). «Модель нейронной сети как глобально связанная карта и приложения, основанные на хаосе». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки. Издательство AIP. 2 (3): 377–386. Дои:10.1063/1.165880. ISSN  1054-1500. PMID  12779987.
12. Хо, Мин-Чунг; Хунг, Яо-Чен; Цзян, И-Мин (2004). «Фазовая синхронизация в неоднородных глобально связанных решетках карт» (PDF). Письма о физике A. Elsevier BV. 324 (5–6): 450–457. Дои:10.1016 / j.physleta.2004.03.017. ISSN  0375-9601. Архивировано из оригинал (PDF) на 2008-12-01.
13. Келлер, Герхард; Ливерани, Карланжело (22 мая 2009 г.). «Решетки карты, связанные столкновениями» (PDF). Коммуникации по математической физике. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 291 (2): 591–597. arXiv:0811.3543. Дои:10.1007 / s00220-009-0835-z. ISSN  0010-3616. S2CID  1820988.
14. Бунимович Л.А. Синай, Я Г (1988-11-01). «Хаос пространства-времени в связанных решетках карт». Нелинейность. IOP Publishing. 1 (4): 491–516. Дои:10.1088/0951-7715/1/4/001. ISSN  0951-7715.
15. Изола, S; Politi, A; Руффо, S; Торчини, А. (1990). «Спектры Ляпунова решеток связанных отображений» (PDF). Письма о физике A. Elsevier BV. 143 (8): 365–368. Дои:10.1016 / 0375-9601 (90) 90373-в. ISSN  0375-9601.
16. Лепри, Стефано; Полити, Антонио; Торчини, Алессандро (1996). «Хронотопический анализ Ляпунова. I. Подробная характеристика одномерных систем». Журнал статистической физики. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 82 (5–6): 1429–1452. arXiv:chao-dyn / 9504005. Дои:10.1007 / bf02183390. ISSN  0022-4715. S2CID  56433838.

дальнейшее чтение

• Библиотека Google (2005 г.). Динамика решеток связанных карт.. Springer. ISBN  978-3-540-24289-5. Архивировано из оригинал на 2008-03-29.
• Шон Д. Петел; Нед Дж. Коррон; Эрик Боллт (2006). «Символическая динамика решеток связанных карт». Письма с физическими проверками. 96 (3): 034105. Дои:10.1103 / PhysRevLett.96.034105. PMID  16486708.^{[мертвая ссылка ]} Альтернативный URL
• Э. Атли Джексон (1989), Перспективы нелинейной динамики: Том 2, Cambridge University Press, 1991 г., ISBN  0-521-42633-2
• Х.Г., Шустер; У. Джаст (2005), Детерминированный хаос, John Wiley and Sons Ltd, 2005 г., ISBN  3-527-40415-5^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• Введение в хаос и нелинейную динамику

внешняя ссылка

• Канеко Лаборатория
• Институт Анри Пуанкаре, Париж, 21 июня - 2 июля 2004 г.
• Istituto dei Sistemi Complessi, Флоренция, Италия
• Веб-приложение Java CML / GML
• AnT 4.669 - инструмент моделирования и анализа динамических систем