Курамото модель - Kuramoto model - Wikipedia

В Курамото модель (или же Модель Курамото – Дайдо), впервые предложенный Йошики Курамото (蔵 本 由 紀, Курамото Йошики),^[1][2] это математическая модель используется для описания синхронизация. В частности, это модель поведения большого набора связанных генераторы.^[3][4] Его формулировка была мотивирована поведением систем химический и биологический осцилляторов, и он нашел широкое применение, например, в нейробиология^[5][6][7][8] и колеблющаяся динамика пламени.^[9][10] Курамото был весьма удивлен, когда поведение некоторых физических систем, а именно связанных массивов Джозефсоновские переходы, последовал его модели.^[11]

Модель делает несколько предположений, в том числе о слабой связи, о том, что генераторы идентичны или почти идентичны, и что взаимодействия синусоидально зависят от разности фаз между каждой парой объектов.

Определение

Воспроизвести медиа

Фазовая синхронизация в модели Курамото

В самой популярной версии модели Курамото считается, что каждый из осцилляторов имеет свой собственный собственная частота ${\displaystyle \omega _{i}}$, и каждый из них в равной степени связан со всеми остальными осцилляторами. Удивительно, но это полностью нелинейный модель может быть решена точно в пределе бесконечных осцилляторов, N→ ∞;^[12] в качестве альтернативы, используя аргументы самосогласования, можно получить стационарные решения параметра порядка.^[13]

Самая популярная форма модели имеет следующие основные уравнения:

${\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+{\frac {K}{N}}\sum _{j=1}^{N}\sin(\theta _{j}-\theta _{i}),\qquad i=1\ldots N}$,

где система состоит из N генераторы предельного цикла, с фазами ${\displaystyle \theta _{i}}$ и константа связи K.

В систему можно добавить шум. В этом случае исходное уравнение изменяется на:

${\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+\zeta _{i}+{\dfrac {K}{N}}\sum _{j=1}^{N}\sin(\theta _{j}-\theta _{i})}$,

куда ${\displaystyle \zeta _{i}}$ это колебание и функция времени. Если считать шум белым шумом, то:

${\displaystyle \langle \zeta _{i}(t)\rangle =0}$ ,

${\displaystyle \langle \zeta _{i}(t)\zeta _{j}(t')\rangle =2D\delta _{ij}\delta (t-t')}$

с ${\displaystyle D}$ обозначающий силу шума.

Трансформация

Преобразование, позволяющее точно решить эту модель (по крайней мере, в N → ∞ limit) выглядит следующим образом:

Определите параметры "порядка" р и ψ в качестве

${\displaystyle re^{i\psi }={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}e^{i\theta _{j}}}$.

Здесь р представляет фазу-согласованность совокупности осцилляторов и ψ указывает среднюю фазу. Умножая это уравнение на ${\displaystyle e^{-i\theta _{i}}}$ и только рассмотрение мнимой части дает:

${\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+Kr\sin(\psi -\theta _{i})}$.

Таким образом, уравнения осцилляторов больше не связаны явно; вместо этого параметры порядка определяют поведение. Обычно выполняется дальнейшее преобразование во вращающуюся систему отсчета, в которой среднее статистическое значение фаз по всем осцилляторам равно нулю (т.е. ${\displaystyle \psi =0}$). Наконец, основное уравнение становится:

${\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}-Kr\sin(\theta _{i})}$.

Большой N предел

Теперь рассмотрим случай как N стремится к бесконечности. Возьмем распределение собственных частот как грамм(ω) (предполагается нормализованный ). Затем предположим, что плотность осцилляторов в данной фазе θ, с заданной собственной частотой ω, вовремя т является ${\displaystyle \rho (\theta ,\omega ,t)}$. Нормализация требует, чтобы

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\rho (\theta ,\omega ,t)\,d\theta =1.}$

В уравнение неразрывности для осциллятора плотность будет

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial \theta }}[\rho v]=0,}$

куда v - скорость дрейфа осцилляторов, полученная при бесконечномN предел в преобразованном основном уравнении, такой что

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial \theta }}[\rho \omega +\rho Kr\sin(\psi -\theta )]=0.}$

Наконец, мы должны переписать определение параметров порядка для континуума (бесконечное N) предел. ${\displaystyle \theta _{i}}$ должен быть заменен его средним по ансамблю (по всем ${\displaystyle \omega }$) и сумму необходимо заменить на интеграл, чтобы получить

${\displaystyle re^{i\psi }=\int _{-\pi }^{\pi }e^{i\theta }\int _{-\infty }^{\infty }\rho (\theta ,\omega ,t)g(\omega )\,d\omega \,d\theta .}$

Решения

В бессвязный состояние со случайным дрейфом всех осцилляторов соответствует решению ${\displaystyle \rho =1/(2\pi )}$. В таком случае ${\displaystyle r=0}$, и между осцилляторами нет согласованности. Они равномерно распределены по всем возможным фазам, и совокупность находится в статистическом устойчивое состояние (хотя отдельные осцилляторы продолжают менять фазу в соответствии с их собственными ω).

При сцеплении K достаточно прочный, возможно полностью синхронизированное решение. В полностью синхронизированном состоянии все генераторы имеют общую частоту, хотя их фазы могут быть разными.

Решение для случая частичной синхронизации дает состояние, в котором синхронизируются только некоторые осцилляторы (близкие к средней собственной частоте ансамбля); другие генераторы дрейфуют некогерентно. Математически государство имеет

${\displaystyle \rho =\delta \left(\theta -\psi -\arcsin \left({\frac {\omega }{Kr}}\right)\right)}$

для синхронизированных генераторов, и

${\displaystyle \rho ={\frac {\rm {normalization\;constant}}{(\omega -Kr\sin(\theta -\psi ))}}}$

для дрейфующих генераторов. Отсечка происходит, когда ${\displaystyle |\omega |<Kr}$.

Связь с гамильтоновыми системами

Диссипативная модель Курамото содержится^[14] в некоторых консервативных Гамильтоновы системы с Гамильтониан формы:

${\displaystyle {\mathcal {H}}(q_{1},\ldots ,q_{N},p_{1},\ldots ,p_{N})=\sum _{i=1}^{N}{\frac {\omega _{i}}{2}}(q_{i}^{2}+p_{i}^{2})+{\frac {K}{4N}}\sum _{i,j=1}^{N}(q_{i}p_{j}-q_{j}p_{i})(q_{j}^{2}+p_{j}^{2}-q_{i}^{2}-p_{i}^{2})}$

После канонического преобразования в переменные действие-угол с действиями ${\displaystyle I_{i}=\left(q_{i}^{2}+p_{i}^{2}\right)/2}$ и углы (фазы) ${\displaystyle \phi _{i}=\mathrm {arctan2} \left(q_{i}/p_{i}\right)}$, точная динамика Курамото возникает на инвариантных многообразиях постоянной ${\displaystyle I_{i}\equiv I}$. С преобразованным гамильтонианом:

${\displaystyle {\mathcal {H'}}(I_{1},\ldots I_{N},\phi _{1}\ldots ,\phi _{N})=\sum _{i=1}^{N}\omega _{i}I_{i}-{\frac {K}{N}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{\sqrt {I_{j}I_{i}}}(I_{j}-I_{i})\sin(\phi _{j}-\phi _{i}),}$

Уравнение движения Гамильтона становится:

${\displaystyle {\frac {dI_{i}}{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}'}{\partial \phi _{i}}}=-{\frac {2K}{N}}\sum _{k=1}^{N}{\sqrt {I_{k}I_{i}}}(I_{k}-I_{i})\cos(\phi _{k}-\phi _{i})}$

и

${\displaystyle {\frac {d\phi _{i}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}'}{\partial I_{i}}}=\omega _{i}+{\frac {K}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left[2{\sqrt {I_{i}I_{k}}}\sin(\phi _{k}-\phi _{i})\right.\left.+{\sqrt {I_{k}/I_{i}}}(I_{k}-I_{i})\sin(\phi _{k}-\phi _{i})\right].}$

Итак, коллектор с ${\displaystyle I_{j}=I}$ инвариантен, потому что ${\displaystyle {\frac {dI_{i}}{dt}}=0}$ и фазовая динамика ${\displaystyle {\frac {d\phi _{i}}{dt}}}$ становится динамикой модели Курамото (с теми же константами связи для ${\displaystyle I=1/2}$). Класс гамильтоновых систем характеризует некоторые квантово-классические системы, в том числе Конденсаты Бозе – Эйнштейна.

Вариации моделей

Четкие шаблоны синхронизации в двумерном массиве осцилляторов типа Курамото с различными функциями фазового взаимодействия и топологиями пространственного взаимодействия. (А) Вертушки. (B) Волны. (C) Химеры. (D) Химеры и волны вместе. Цветовая шкала указывает фазу генератора.

Существует ряд вариантов, которые можно применить к исходной модели, представленной выше. Некоторые модели меняют топологическую структуру, другие допускают неоднородные веса, а другие изменения больше связаны с моделями, вдохновленными моделью Курамото, но не имеющими той же функциональной формы.

Варианты топологии сети

Помимо исходной модели, имеющей полную топологию, достаточно плотная сложная сеть -подобная топология поддается обработке среднего поля, используемой в решении исходной модели^[15] (видеть Трансформация и Большой N предел выше для получения дополнительной информации). Сетевые топологии, такие как кольца и связанные популяции, поддерживают химерные состояния.^[16] Можно также задаться вопросом о поведении моделей, в которых есть внутренне локальные, например одномерные топологии, прототипами которых являются цепь и кольцо. В таких топологиях, в которых связь не масштабируется согласно 1 /N, невозможно применить канонический подход среднего поля, поэтому следует полагаться на индивидуальный анализ, используя симметрии, когда это возможно, что может дать основу для абстракции общих принципов решений.

Равномерную синхронность, волны и спирали можно легко наблюдать в двумерных сетях Курамото с диффузной локальной связью. Устойчивость волн в этих моделях может быть определена аналитически с помощью методов анализа устойчивости по Тьюрингу.^[17] Равномерная синхронность имеет тенденцию быть стабильной, когда локальная связь везде положительна, тогда как волны возникают, когда связи на больших расстояниях отрицательны (тормозящая окружающая связь). Волны и синхронность связаны топологически отличной ветвью решений, известной как рябь.^[18] Это малоамплитудные пространственно-периодические отклонения, которые выходят из однородного состояния (или волнового состояния) через Бифуркация хопфа.^[19] Существование волновых решений было предсказано (но не обнаружено) Wiley, Strogatz и Гирван,^[20] которые назвали их многокручными q-состояниями.

Топологию, на которой изучается модель Курамото, можно сделать адаптивной.^[21] с использованием фитнес-модель демонстрируя улучшение синхронизации и перколяции самоорганизованным способом.

Вариации топологии сети и веса сети: от координации транспортных средств до синхронизации мозга

Воспроизвести медиа

Метрономы, изначально не совпадающие по фазе, синхронизируются небольшими движениями основания, на котором они размещены. Было показано, что эта система эквивалентна модели Курамото.^[22]

Некоторые работы в сообществе управляющих сосредоточены на модели Курамото в сетях и с неоднородными весами (т.е. сила взаимосвязи между любыми двумя осцилляторами может быть произвольной). Динамика этой модели выглядит следующим образом:

${\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+\sum _{j=1}^{N}a_{ij}\sin(\theta _{j}-\theta _{i}),\qquad i=1\ldots N}$

куда ${\displaystyle a_{ij}}$ ненулевое положительное действительное число, если осциллятор ${\displaystyle j}$ подключен к генератору ${\displaystyle i}$. Такая модель позволяет более реалистично изучить, например, стайку, обучение и координацию движений.^[23] В работе Дёрфлера и его коллег несколько теорем предоставляют строгие условия для фазовой и частотной синхронизации этой модели. Дальнейшие исследования, мотивированные экспериментальными наблюдениями в нейробиологии, сосредоточены на получении аналитических условий кластерной синхронизации гетерогенных осцилляторов Курамото на произвольных топологиях сети.^[24] Поскольку модель Курамото, по-видимому, играет ключевую роль в оценке феноменов синхронизации в мозге,^[25] Теоретические условия, поддерживающие эмпирические данные, могут проложить путь к более глубокому пониманию феномена нейрональной синхронизации.

Вариации функции фазового взаимодействия

Курамото аппроксимировал фазовое взаимодействие между любыми двумя осцилляторами его первой составляющей Фурье, а именно ${\displaystyle \Gamma (\phi )=\sin(\phi )}$, куда ${\displaystyle \phi =\theta _{j}-\theta _{i}}$. Лучшие приближения можно получить, включив компоненты Фурье более высокого порядка,

${\displaystyle \Gamma (\phi )=\sin(\phi )+a_{1}\sin(2\phi +b_{1})+...+a_{n}\sin(2n\phi +b_{n})}$,

где параметры ${\displaystyle a_{i}}$ и ${\displaystyle b_{i}}$ должны быть оценены. Например, синхронизация в сети слабосвязанных Нейроны Ходжкина-Хаксли может быть воспроизведен с использованием связанных осцилляторов, которые сохраняют первые четыре компоненты Фурье функции взаимодействия.^[26] Введение членов фазового взаимодействия высшего порядка может также вызвать интересные динамические явления, такие как частично синхронизированные состояния,^[27] гетероклинические циклы,^[28] и хаотическая динамика.^[29]

Доступность

• пикластеризация Библиотека включает Python и C ++ реализацию модели Курамото и ее модификации. Также библиотека состоит из колебательных сетей (для кластерного анализа, распознавания образов, раскраски графиков, сегментации изображений), основанных на модели Курамото и фазовом осцилляторе.

Смотрите также

• Основная функция стабилизации
• Колебательная нейронная сеть

Рекомендации

1. Курамото, Йошики (1975). Х. Араки (ред.). Конспект лекций по физике, Международный симпозиум по математическим проблемам теоретической физики. 39. Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк. п. 420.
2. Курамото Y (1984). Химические колебания, волны и турбулентность. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag.
3. Строгац С (2000). «От Курамото до Кроуфорда: изучение начала синхронизации в популяциях связанных осцилляторов» (PDF). Physica D. 143 (1–4): 1–20. Bibcode:2000PhyD..143 .... 1S. Дои:10.1016 / S0167-2789 (00) 00094-4.
4. Асеброн, Хуан А .; Bonilla, L.L .; Висенте, Перес; Конрад, Дж .; Риторт, Феликс; Спиглер, Ренато (2005). «Модель Курамото: простая парадигма феномена синхронизации» (PDF). Обзоры современной физики. 77 (1): 137–185. Bibcode:2005РвМП ... 77..137А. Дои:10.1103 / RevModPhys.77.137. HDL:2445/12768.
5. Бик, Кристиан; Гудфеллоу, Марк; Laing, Carlo R .; Мартенс, Эрик А. (2020). «Понимание динамики сетей биологических и нейронных осцилляторов посредством точных редукций среднего поля: обзор». Журнал математической неврологии. 10 (1): 9. Дои:10.1186 / s13408-020-00086-9. ЧВК  7253574. PMID  32462281.
6. Cumin, D .; Ансуорт, К. П. (2007). «Обобщение модели Kuromoto для изучения нейрональной синхронизации в головном мозге». Physica D. 226 (2): 181–196. Bibcode:2007PhyD..226..181C. Дои:10.1016 / j.physd.2006.12.004.
7. Брейкспир М, Хайтманн С, Даффертсхофер А (2010). «Генеративные модели корковых колебаний: нейробиологические последствия модели Курамото». Front Hum Neurosci. 4 (190): 190. Дои:10.3389 / fnhum.2010.00190. ЧВК  2995481. PMID  21151358.
8. Cabral J, Luckhoo H, Woolrich M, Joensson M, Mohseni H, Baker A, Kringelbach ML, Deco G (2014). «Изучение механизмов спонтанной функциональной связности в MEG: как отложенные сетевые взаимодействия приводят к структурированным огибающим амплитуд колебаний с полосовой фильтрацией». NeuroImage. 90: 423–435. Дои:10.1016 / j.neuroimage.2013.11.047. PMID  24321555.
9. Сивашинский, Г. (1977). «Диффузионно-тепловая теория ячеистого пламени». Гореть. Sci. И технологии. 15 (3–4): 137–146. Дои:10.1080/00102207708946779.
10. Форрестер, Д. (2015). «Массивы связанных химических осцилляторов». Научные отчеты. 5: 16994. arXiv:1606.01556. Bibcode:2015НатСР ... 516994Ф. Дои:10.1038 / srep16994. ЧВК  4652215. PMID  26582365.
11. Стивен Строгац, Синхронизация: зарождающаяся наука о спонтанном порядке, Гиперион, 2003.
12. Бик, Кристиан; Гудфеллоу, Марк; Laing, Carlo R .; Мартенс, Эрик А. (2020). «Понимание динамики сетей биологических и нейронных осцилляторов посредством точных редукций среднего поля: обзор». Журнал математической неврологии. 10 (1): 9. Дои:10.1186 / s13408-020-00086-9. ЧВК  7253574. PMID  32462281.
13. Строгац С (2000). «От Курамото до Кроуфорда: изучение начала синхронизации в популяциях связанных осцилляторов» (PDF). Physica D. 143 (1–4): 1–20. Bibcode:2000PhyD..143 .... 1S. Дои:10.1016 / S0167-2789 (00) 00094-4.
14. Виттаут, Дирк; Тимм, Марк (2014). «Динамика Курамото в гамильтоновых системах». Phys. Ред. E. 90 (3): 032917. arXiv:1305.1742. Bibcode:2014PhRvE..90c2917W. Дои:10.1103 / PhysRevE.90.032917. PMID  25314514. S2CID  7510614.
15. Родригес, Ф. А .; Peron, T.K .; Jie, P .; Куртс, Дж. (2016). «Модель Курамото в сложных сетях». Отчеты по физике. 610 (1): 1–98. arXiv:1511.07139. Bibcode:2016ФР ... 610 .... 1Р. Дои:10.1016 / j.physrep.2015.10.008. S2CID  119290926.
16. Abrams, D.M .; Строгац, С. (2004). «Химерные состояния для связанных осцилляторов». Письма с физическими проверками. 93 (17): 174102. arXiv:nlin / 0407045. Bibcode:2004PhRvL..93q4102A. Дои:10.1103 / Physrevlett.93.174102. PMID  15525081. S2CID  8615112.
17. Kazanci, F .; Эрментроут, Б. (2006). «Формирование структуры в массиве осцилляторов с электрической и химической связью». SIAM J Appl Math. 67 (2): 512–529. CiteSeerX  10.1.1.140.1020. Дои:10.1137/060661041.
18. Heitmann, S .; Gong, P .; Брейкспир, М. (2012). «Вычислительная роль бистабильности и бегущих волн в моторной коре». Front Comput Neurosci. 6 (67): 67. Дои:10.3389 / fncom.2012.00067. ЧВК  3438483. PMID  22973223.
19. Heitmann, S .; Эрментроут, Б. (2015). «Синхронность, волны и пульсации в пространственно связанных осцилляторах Курамото с возможностью подключения в мексиканской шляпе». Биологическая кибернетика. 109 (3): 1–15. Дои:10.1007 / s00422-015-0646-6. PMID  25677527. S2CID  18561153.
20. Wiley, D .; Strogatz, S .; Гирван, М (2006). «Размер бассейна синхронизации». Хаос. 16 (1): 015103. Bibcode:2006 Хаос..16a5103W. Дои:10.1063/1.2165594. PMID  16599769. S2CID  21173189.
21. Eom, Y.-H .; Boccaletti, S .; Калдарелли, G (2016). «Параллельное усиление перколяции и синхронизации в адаптивных сетях». Научные отчеты. 7: 015103. arXiv:1511.05468. Bibcode:2016НатСР ... 627111E. Дои:10.1038 / srep27111. ЧВК  4890019. PMID  27251577.
22. Панталеоне, Джеймс (октябрь 2002 г.). «Синхронизация метрономов» (PDF). Американский журнал физики. 70 (10): 992–1000. Bibcode:2002AmJPh..70..992P. Дои:10.1119/1.1501118.
23. Dorfler, F .; Булло, Ф. (2014). «Синхронизация в сложных сетях фазовых генераторов: Обзор». Automatica. 50 (6): 1539–1564. Дои:10.1016 / j.automatica.2014.04.012.
24. Menara, T .; Baggio, G .; Bassett, D .; Паскуалетти, Ф. (2020). «Условия устойчивости кластерных синхронизаций в сетях гетерогенных осцилляторов Курамото». IEEE Transactions по управлению сетевыми системами. 7 (1): 302–314. arXiv:1806.06083. Дои:10.1109 / TCNS.2019.2903914. S2CID  73729229.
25. Cabral, J .; Hugues, E .; Sporns, O .; Деку, Г. (2011). «Роль колебаний локальной сети в функциональной связности в состоянии покоя». NeuroImage. 57 (1): 130–139. Дои:10.1016 / j.neuroimage.2011.04.010. PMID  21511044. S2CID  13959959.
26. Hansel, D .; Mato, G .; Менье, К. (1993). «Фазовая динамика для слабосвязанных нейронов Ходжкина-Хаксли». Письма еврофизики. 23 (5): 367–372. Bibcode:1993EL ..... 23..367H. Дои:10.1209/0295-5075/23/5/011.
27. Клюзелла, По; Полити, Антонио; Розенблюм, Майкл (2016). «Минимальная модель самосогласованной частичной синхронности». Новый журнал физики. 18 (9): 093037. arXiv:1607.07178. Bibcode:2016NJPh ... 18i3037C. Дои:10.1088/1367-2630/18/9/093037. ISSN  1367-2630.
28. Hansel, D .; Mato, G .; Менье, К. (1993). «Кластеризация и медленное переключение в глобально связанных фазовых генераторах». Физический обзор E. 48 (5): 3470–3477. Bibcode:1993PhRvE..48.3470H. Дои:10.1103 / Physreve.48.3470. PMID  9961005.
29. Bick, C .; Timme, M .; Пауликат, Д .; Rathlev, D .; Эшвин, П. (2011). «Хаос в симметричных сетях фазовых осцилляторов». Письма с физическими проверками. 107 (24): 244101. arXiv:1105.2230. Bibcode:2011ПхРвЛ.107х4101Б. Дои:10.1103 / PhysRevLett.107.244101. PMID  22243002. S2CID  16144737.